数据结构—— 初识二叉树

1.树概念及结构

1.1树的概念

树是由根和子树构成

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的

1. 树有一个特殊的结点,称为根结点,根结点就是第一个节点

2. 除根结点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个子节点

3. 树是递归定义

4.在树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树


1.2 树的相关概念

点的度:一个点含有的子树的个数称为点的如上图:A的为6(A B C D E F G)

重要部分:


* 叶节点或终端节点:子节点为0的节点称为; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶节点

* 非终端节点或分支节点:度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G...等结点为分支节点

* 双亲结点或父结点:若一个结点含有子结点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点

* 孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该结点的子结点; 如上图:B是A的孩子节点

* 树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4


了解一下:

兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点

树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6(A B C D E F G)

结点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推

堂兄弟结点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟节点

结点的祖先:从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图:A是所有节点的祖先

子孙:以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙

森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林(并查集,文件系统)


1.3 树的表示方法

树结构存储表示起来比较麻烦,既然保存值域,也要保存结点和结点之间

这里使用 "左孩子右兄弟 "表示法(子节点和兄弟节点)

也就是说不管有多少个孩子,每个节点只指向第一个孩子

1.A指向子节点B,A没有兄弟节点,指向空 

2.B指向子节点D,B指向兄弟节点C,C没有兄弟节点,指向空 

3.D没有子节点,D指向兄弟节点E,E指向兄弟节点F,F没有兄弟节点,指向空

4.E指向子节点H,H指向兄弟节点I,I没有兄弟节点,指向空 


struct TreeNode
{int val;struct Node* leftchild;struct Node* rightBrother;};


2.二叉树概念及结构


2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:

                                                1. 或者为空

                                                2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成 

                                                3. 二叉树不存在度大于2的结点

                                                4.二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树


                                          


2.2 特殊的二叉树:

1. 满二叉树:每一个层的节点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树

也就是说,如果一棵二叉树的层数为K,且结点总数是(2^k - 1),则它就是满二叉树

 

 2. 完全二叉树:前h-1层都是满的,最后一层不是满的,最后一层从左到右必须是连续的,如果不是连续的那么就不是完全二叉树

连续的:

不连续的: 

 满二叉树是一种特殊的完全二叉树,但是完全二叉树不是满二叉树


2.3 满二叉树和完全二叉树的位置计算

假设父节点在数组中的下标为i,那么:

                                                        1.左孩子在数组中的下标为:2*i+1 

                                                        2.右孩子在数组中的下标为:2*i+2

假设孩子在数组中的下标为i,那么:

                                                        父在数组中的下标为:(i - 1)/ 2

在这里不区分左孩子和右孩子,因为除以会向下取整


3. 堆的概念及结构

3.1 

1. 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值

2. 堆在逻辑上是一棵完全二叉树,物理上就是数组

3. 堆分为小堆和大堆

大堆:a. 完全二叉树

           b. 任何一个父亲 > = 儿子

特点:根是最小

        

小堆: a. 完全二叉树

           b. 任何一个父亲 < = 儿子

特点:根是最大


3.2 堆的实现

Heap.h

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#pragma once
#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>typedef int HPDataType;typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;
}HP;//堆的初始化
void HPInit(HP* php);//堆的销毁
void HPDestroy(HP* php);//堆的插入
void HPPush(HP* php, HPDataType x);//堆的删除
void HPPop(HP* php);// 取堆顶的数据
HPDataType HPTop(HP* php);//堆的判空
bool HPEmpty(HP* php);void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);void AdjustUp(HPDataType* a, int child);void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);

Heap.c分解分析

堆的初始化

//堆的初始化
void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}

堆的销毁

//堆的销毁
void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}

堆的插入 

//堆的插入
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);//判断内存是否满if (php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));if (tmp == NULL){perror("realloc fail");return;}php->a = tmp;php->capacity = newcapacity;}//插入数据php->a[php->size] = x;php->size++;//插入数据之后需要向上调整AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

堆的插入逻辑交换图表(向上调整)

堆的插入数据之后是否向上调整

//堆的插入数据之后是否向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{//孩子/2找到父节点int parent = (child - 1) / 2;//孩子大于0就进入/继续while (child > 0){//如果孩子小于父亲if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);//交换child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}

堆的交换

//堆的交换
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}

堆的删除:一般是删除根

思路:排序删除:交换根和最后一个子节点的位置,再删除根,之后再进行向下调整算法(向下调整的前提是左右子树都是大小堆),然后根据左右子树的大小选择小的那个进行调整

//堆的删除
void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);//交换下标为0的根和末尾数据的位置Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;//删除//向下调整AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

堆的向下调整

思路:先假设左孩子小,然后找出小的那个孩子,再判断右孩子是否小于n并且右孩子小于左孩子 

                                          向下调整的前提是左右子树都是大小堆                                                

//堆的向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{// 先假设左孩子小int child = parent * 2 + 1;// child >= n说明孩子不存在,调整到叶子了while (child < n) {// 找出小的那个孩子//判断右孩子是否小于n并且右孩子小于左孩子 if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child]){++child;}//if (a[child] > a[parent]) 大堆//孩子小于父亲if (a[child] < a[parent])//小堆{//交换Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;//赋予//继续算左孩子child = parent * 2 + 1;}else{break;}
}

取堆顶的数据

// 取堆顶的数据
HPDataType HPTop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);return php->a[0];
}

堆的判空

//堆的判空
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}


Heap.c全部代码

#include"Heap.h"//堆的初始化
void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}//堆的销毁
void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}//堆的插入
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);//判断内存是否满if (php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));if (tmp == NULL){perror("realloc fail");return;}php->a = tmp;php->capacity = newcapacity;}//插入数据php->a[php->size] = x;php->size++;//插入数据之后需要向上调整AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}//堆的插入数据之后是否向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{//孩子/2找到父节点int parent = (child - 1) / 2;//孩子大于0就进入/继续while (child > 0){//如果孩子小于父亲if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);//交换child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}//堆的交换
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}//堆的删除
void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);//交换下标为0的根和末尾数据的位置Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;//删除//向下调整AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}//堆的向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{// 先假设左孩子小int child = parent * 2 + 1;// child >= n说明孩子不存在,调整到叶子了while (child < n) {// 找出小的那个孩子//判断右孩子是否小于n并且右孩子小于左孩子 if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child]){++child;}//if (a[child] > a[parent]) 大堆//孩子小于父亲if (a[child] < a[parent])//小堆{//交换Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;//赋予//继续算左孩子child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}// 取堆顶的数据
HPDataType HPTop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);return php->a[0];
}//堆的判空
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}

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