动态规划-打家劫舍Ⅱ

该题是打家劫舍Ⅰ的升级版并与其相关，如果对其感兴趣的话可以先看看打家劫舍Ⅰ

题目描述

一个专业的小偷，计划偷窃一个环形街道上沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警 。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组 nums ，请计算在不触动警报装置的情况下 ，今晚能够偷窃到的最高金额。

解题思路

该题与打家劫舍Ⅰ的区别在于这是一个环形街道。

解决这个问题的一种方法是将其拆分为两个子问题：

不考虑第一个房屋，只考虑从第二个房屋到最后一个房屋的最大金额。

不考虑最后一个房屋，只考虑从第一个房屋到倒数第二个房屋的最大金额。

对于每个子问题，我们可以使用标准的动态规划方法来解决。其中的rob1()函数是打家劫舍Ⅰ中的解决方法。

class Solution {
public:int rob1(vector<int>& nums, int begin, int end) {if (begin > end)return 0;int n = end - begin + 1;vector<int> dp(n, 0);if (n == 1)return nums[begin];dp[0] = nums[begin];                       // 偷第一家dp[1] = max(nums[begin], nums[begin + 1]); // 偷第一家或第二家for (int i = 2; i < n; ++i) {// 对于第i家，有两种选择：偷或不偷// 如果偷第i家，则不能偷第i-1家，最大金额为dp[i-2] + nums[i]// 如果不偷第i家，则最大金额为dp[i-1]（即偷到第i-1家的最大金额）dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i+begin], dp[i - 1]);}return dp[n - 1];}int rob(vector<int>& nums) {int n = nums.size();return max(nums[0] + rob1(nums, 2, n - 2), rob1(nums, 1, n - 1));}
};

在rob1函数中：

我们首先处理了一些基本情况，比如没有房屋、只有一家房屋或只有两家房屋的情况。
然后，我们使用动态规划来解决更一般的情况。我们定义了一个dp数组，其中dp[i]表示从第一家房屋到第i+begin家房屋（在nums数组中的索引）为止能偷到的最大金额。注意，这里的i是相对于dp数组的索引，而begin是nums数组中当前考虑的子范围的起始索引。
我们通过遍历dp数组（从索引2开始，因为前两家已经初始化）来填充它。对于每个i，我们计算偷第i+begin家房屋和不偷第i+begin家房屋两种情况下的最大金额，并取两者中的较大值作为dp[i]的值。
最后，我们返回dp[n-1]，即从第一家房屋到当前考虑的子范围的最后一家房屋为止能偷到的最大金额。