代码随想录算法训练营第四十一天 | 121. 买卖股票的最佳时机 ， 122.买卖股票的最佳时机II ， 123.买卖股票的最佳时机III

目录

 121. 买卖股票的最佳时机

思路

暴力

贪心

动态规划

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

2.确定递推公式

3.dp数组如何初始化

4.确定遍历顺序

5.举例推导dp数组

方法一： 贪心

方法二：动态规划1

方法三：动态规划2

方法四：动态规划3

心得收获 

122.买卖股票的最佳时机II  

思路

方法一：动态规划

方法二：动态规划

123.买卖股票的最佳时机III  

思路

1.确定dp数组以及下标的含义

2.确定递推公式

3.dp数组如何初始化

4.确定遍历顺序

5.举例推导dp数组

方法一：动态规划-二维

方法二：动态规划-一维

 121. 买卖股票的最佳时机

  • 题目链接：力扣题目链接

  • 文章讲解：代码随想录 

  • 视频讲解：动态规划之 LeetCode：121.买卖股票的最佳时机1

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

  • 示例 1：

  • 输入：[7,1,5,3,6,4]

  • 输出：5
    解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

  • 示例 2：

  • 输入：prices = [7,6,4,3,1]

  • 输出：0
    解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

思路

暴力

这道题目最直观的想法，就是暴力，找最优间距了。

贪心

因为股票就买卖一次，那么贪心的想法很自然就是取最左最小值，取最右最大值，那么得到的差值就是最大利润。

动态规划

动规五部曲分析如下：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ，这里可能有同学疑惑，本题中只能买卖一次，持有股票之后哪还有现金呢？

其实一开始现金是0，那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i]， 这是一个负数。

dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

注意这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态

很多同学把“持有”和“买入”没区分清楚。

在下面递推公式分析中，我会进一步讲解。

2.确定递推公式

如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来

  • 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
  • 第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]

那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);

如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来

  • 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
  • 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

这样递推公式我们就分析完了

3.dp数组如何初始化

由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出

其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。

那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] -= prices[0];

dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0;

4.确定遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是由dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。

5.举例推导dp数组

以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：

121.买卖股票的最佳时机

dp[5][1]就是最终结果。

为什么不是dp[5][0]呢？

因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！

方法一： 贪心

class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:low = float("inf")result = 0for i in range(len(prices)):low = min(low, prices[i]) #取最左最小价格result = max(result, prices[i] - low) #直接取最大区间利润return result

方法二：动态规划1

class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:length = len(prices)if length == 0:return 0dp = [[0] * 2 for _ in range(length)]dp[0][0] = -prices[0]dp[0][1] = 0for i in range(1, length):dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -prices[i])dp[i][1] = max(dp[i-1][1], prices[i] + dp[i-1][0])return dp[-1][1]

方法三：动态规划2

class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:length = len(prices)dp = [[0] * 2 for _ in range(2)] #注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组dp[0][0] = -prices[0]dp[0][1] = 0for i in range(1, length):dp[i % 2][0] = max(dp[(i-1) % 2][0], -prices[i])dp[i % 2][1] = max(dp[(i-1) % 2][1], prices[i] + dp[(i-1) % 2][0])return dp[(length-1) % 2][1]

方法四：动态规划3

class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:length = len(prices)dp0, dp1 = -prices[0], 0 #注意这里只维护两个常量，因为dp0的更新不受dp1的影响for i in range(1, length):dp1 = max(dp1, dp0 + prices[i])dp0 = max(dp0, -prices[i])return dp1

心得收获 

有童鞋可能对推导公式有很大疑惑，具体的解释可以看下面：

1、确定dp数组以及下标的含义 ：
每天其实就是两种状态，手里有股票和手里没股票，再加上“某天”这个维度，所以用一个二维的就可以表示所有天数的情况。

dp数组有i行，i就是天数。有两列，表示某一天的两种情况。

dp[i][0]：表示第i天手里持有股票的状态

这里持有的这个股票有两种情况：

  1. 前面一直没买过股票，买了第i天这个股票，
  2. 第i天之前的某一天已经买了一个股票，一直没卖，然后一直持有到第i天

dp[i][1]表示，第i天手里不持有股票状态

这里的不持有股票有三种情况：

  1. 从第0天到第i天，一直没买过股票
  2. 第i天之前的某一天买过股票，我们在第i天卖掉
  3. 在第i天之前已经有过一次买股票和一次卖股票的操作了所以在第i天是不持有股票的状态

2、递推公式 dp[i][0] = max(dp[i-1][0],-prices[i]) 前面说过，持有股票有两种情况：

  1. 如果是之前就有股票，那么就是dp[i-1][0]，
  2. 如果之前一直没买股票，然后买了第i天这个股票，那么我们的利润应该是-prices[i]

     为什么不是dp[i-1][1]-prices[i]？从两个方面都可以解释：

  1. 一方面，本题只能买股票一次，如果我们选择第i天买这个股票，那么我们第i天之前只能是什么操作都不做。那么我们的利润应该一直都是0，所以当我们第i天买这个股票时，我们的利润变成了-prices[i]。
  2. 第二个方面，我们前面已经解释过了不持有股票的状态，有三种情况而只有第一种情况是符合题意的，此时的利润依旧是-prices[i]

dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]+prices[i]) 前面说过，不持有股票有三种情况：

第一种情况（一直没买过股票）和第三种情况（第i天之前已经进行过一次买卖股票的操作）都可以用dp[i-1][1]表示

第二种情况就是第i天之前买过，我们在第i天卖掉，所以就是dp[i-1][0]+prices[i]

该分析来源于，视频讲解的评论区

122.买卖股票的最佳时机II  

  • 题目链接：力扣题目链接

  • 文章讲解：代码随想录 

  • 视频讲解：动态规划，股票问题第二弹 | LeetCode：122.买卖股票的最佳时机II

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

  • 示例 1:

  • 输入: [7,1,5,3,6,4]

  • 输出: 7
    解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。

  • 示例 2:

  • 输入: [1,2,3,4,5]

  • 输出: 4
    解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

  • 示例 3:

  • 输入: [7,6,4,3,1]

  • 输出: 0
    解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

提示：

  • 1 <= prices.length <= 3 * 10 ^ 4
  • 0 <= prices[i] <= 10 ^ 4

思路

本题和121. 买卖股票的最佳时机的唯一区别是本题股票可以买卖多次了（注意只有一只股票，所以再次购买前要出售掉之前的股票）

其他的思路都是一样的，只有推导公式时是有一些区别：

在121. 买卖股票的最佳时机中，因为股票全程只能买卖一次，所以如果买入股票，那么第i天持有股票即dp[i][0]一定就是 -prices[i]。

而本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。

那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]。

方法一：动态规划

class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:length = len(prices)dp = [[0] * 2 for _ in range(length)]dp[0][0] = -prices[0]dp[0][1] = 0for i in range(1, length):dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i]) #注意这里是和121. 买卖股票的最佳时机唯一不同的地方dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i])return dp[-1][1]

方法二：动态规划

class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:length = len(prices)dp = [[0] * 2 for _ in range(2)] #注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组dp[0][0] = -prices[0]dp[0][1] = 0for i in range(1, length):dp[i % 2][0] = max(dp[(i-1) % 2][0], dp[(i-1) % 2][1] - prices[i])dp[i % 2][1] = max(dp[(i-1) % 2][1], dp[(i-1) % 2][0] + prices[i])return dp[(length-1) % 2][1]

123.买卖股票的最佳时机III  

  • 题目链接：力扣题目链接

  • 文章讲解：代码随想录 

  • 视频讲解：动态规划，股票至多买卖两次，怎么求？ | LeetCode：123.买卖股票最佳时机III

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

  • 示例 1:

  • 输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]

  • 输出：6 解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3。

  • 示例 2：

  • 输入：prices = [1,2,3,4,5]

  • 输出：4 解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

  • 示例 3：

  • 输入：prices = [7,6,4,3,1]

  • 输出：0 解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为0。

  • 示例 4：

  • 输入：prices = [1] 输出：0

提示：

  • 1 <= prices.length <= 10^5
  • 0 <= prices[i] <= 10^5

思路

关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。

接来下我用动态规划五部曲详细分析一下：

1.确定dp数组以及下标的含义

一天一共就有五个状态，

  1. 没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
  2. 第一次持有股票
  3. 第一次不持有股票
  4. 第二次持有股票
  5. 第二次不持有股票

dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。

需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。

例如 dp[i][1] ，并不是说 第i天一定买入股票，有可能 第 i-1天 就买入了，那么 dp[i][1] 延续买入股票的这个状态。

2.确定递推公式

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

  • 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
  • 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

那么dp[i][1]究竟选 dp[i-1][0] - prices[i]，还是dp[i - 1][1]呢？

一定是选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

同理dp[i][2]也有两个操作：

  • 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
  • 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

同理可推出剩下状态部分：

dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);

dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

3.dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

此时还没有买入，怎么就卖出呢？ 其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？

第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。

所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];

同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

4.确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

5.举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]为例

123.买卖股票的最佳时机III

大家可以看到红色框为最后两次卖出的状态。

现在最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。如果想不明白的录友也可以这么理解：如果第一次卖出已经是最大值了，那么我们可以在当天立刻买入再立刻卖出。所以dp[4][4]已经包含了dp[4][2]的情况。也就是说第二次卖出手里所剩的钱一定是最多的。

所以最终最大利润是dp[4][4]

方法一：动态规划-二维

class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:if len(prices) == 0:return 0dp = [[0] * 5 for _ in range(len(prices))]dp[0][1] = -prices[0]dp[0][3] = -prices[0]for i in range(1, len(prices)):dp[i][0] = dp[i-1][0]dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] + prices[i])dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] - prices[i])dp[i][4] = max(dp[i-1][4], dp[i-1][3] + prices[i])return dp[-1][4]

方法二：动态规划-一维

class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:if len(prices) == 0:return 0dp = [0] * 5 dp[1] = -prices[0]dp[3] = -prices[0]for i in range(1, len(prices)):dp[1] = max(dp[1], dp[0] - prices[i])dp[2] = max(dp[2], dp[1] + prices[i])dp[3] = max(dp[3], dp[2] - prices[i])dp[4] = max(dp[4], dp[3] + prices[i])return dp[4]

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Iptables firewall 防火墙Iptables简述一、Iptables的四表五链1.filter表2.nat表3.raw表4. mangle表5.数据包的流通过程 二、快速上手1. 查看规则2. 规则详细3. 添加规则4. 自定义链 三、关于iptables和docker1. 背景2. 解决方案 firewall 防火墙 从逻辑上讲&#xff0c;可以分…
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