1，罗尔中值定理

若f(x)
1）在闭区间[a,b]上连续；
2）在开区间(a,b)上可导；
3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)；
则在(a,b)内至少有一点$\epsilon$使得$f^{\prime }(\epsilon )=0$.

证明：
Note: 极值定理：如果f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在此区间内有最大值和最小值。
分三种情况讨论：
1）若f(x)的最大值和最小值都在端点处（可以理解为分f(x)为单调函数），由f(a)=f(b)知，f(x)在此区间内为常函数，显然$f^{\prime }(\epsilon )=0$.
2）若f(x)非单调，且在(a,b)上存在最大值，不妨设最大值点在$x=\epsilon$处，对于$x\in (a,\epsilon ),很显然\frac{f(x)-f(\epsilon )}{x-\epsilon }>=0,则f^{\prime }(\epsilon )={\lim }_{x\to {\epsilon }^{-}}\frac{f(x)-f(\epsilon )}{x-\epsilon }>=0$；对于$x\in (\epsilon ,b),有\frac{f(x)-f(\epsilon )}{x-\epsilon }<=0,则f^{\prime }(\epsilon )={\lim }_{x\to {\epsilon }^{+}}\frac{f(x)-f(\epsilon )}{x-\epsilon }<=0$；所以$f^{\prime }(\epsilon )=0$。
3）同理可证f(x)非单调，且在(a,b)上存在最小值的情况。

2，拉格朗日中值定理

若f(x)
1）在闭区间[a,b]上连续；
2）在开区间(a,b)上可导；
则在(a,b)内至少有一点$\epsilon$使得$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\epsilon )(b-a)$成立。

证明：
令$g(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)-f(x)$
则g(x)满足
1）在闭区间[a,b]上连续；
2）在开区间(a,b)上可导；
3）g(a)=g(b)=0。
由罗尔中值定理得至少有一点$\epsilon 使得g^{\prime }(\epsilon )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}-f^{\prime }(\epsilon )=0，即f(b)-f(a)=f^{\prime }(\epsilon )(b-a)$。

3，柯西中值定理
若函数f(x)和g(x)满足：
1）在闭区间[a,b]上连续；
2）在开区间(a,b)上可导；
3）对于任意的$x\in (a,b)，g^{\prime }(x)不等于0$。
则在(a,b)内至少有一点$\epsilon$使得$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\epsilon )}{g^{\prime }(\epsilon )}$成立。

证明：
1）如果g(a)=g(b)，则由罗尔中值定理，在(a,b)范围内至少有一点$\epsilon 使得f^{\prime }(\epsilon )=0$，与条件3）矛盾，所以此种情况不可能发生。
2）令$h(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(x)。$易得：
1）h(x)在闭区间[a,b]上连续；
2）h(x)在开区间(a,b)上可导；
3）$h(a)=h(b)=\frac{f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}，由罗尔中值定理得，至少存在一点\epsilon 使得h^{\prime }(\epsilon )=f^{\prime }(\epsilon )-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}{g}^{\prime }(\epsilon )=0，命题得证。$

柯西中值定理的几何意义：
用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。

Reference

https://zh.wikipedia.org/wiki/柯西中值定理