二分查找模板--从题目中讲解三大二分模板

二分查找的特点：最恶心、细节最多、最容易写出死循环的算法

1.朴素的二分模板

1.1题目链接：704.二分查找

1.2题目描述：

1.3算法流程：

1.4算法代码：

1.5朴素二分模板：

2.查找左,右边界的二分模板

2.1题目链接：34.在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

2.2题目描述：

2.3算法思路：

2.4算法代码

2.5左右边界的二分模板：

2.6左右边界模板的记忆方法：

1.朴素的二分模板

1.1题目链接：704.二分查找

1.2题目描述：

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

提示：

你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
n 将在 [1, 10000]之间。
nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

1.3算法流程：

a.定义left，right指针分别指向数组的左右区间。

b.找到待查找区间的中间点mid，找到之后分三种情况讨论：

arr[mid] == target说明正好找到，返回mid的值；
arr[mid] > target 说明[mid，right]这段区间都大于target的，因此舍去右边区间，在左边[left, mid-1]的区间继续查找，即让right = mid - 1，然后重复2过程
arr[mid] < target 说明[left，mid]这段区间的值都是小于target的，因此舍去左边区间，在右边[mid+1,right]区间继续查找，即让left = mid+1，然后重复2过程；

c.当left和right错开时，说明整个区间都没有这个数，返回-1

1.4算法代码：

class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left = 0,right = nums.size()-1;while(left<=right){int mid = left + (right-left)/2;//防止溢出if(target>nums[mid]){left = mid+1;}else if(target < nums[mid]){right = mid-1;}elsereturn mid;}return -1;}
};

1.5朴素二分模板：

while(left <= right)
{int mid = left + (right - left) / 2;if(....)left = mid + 1;else if(...)right = mid - 1;elsereturn.....;
}

2.查找左,右边界的二分模板

2.1题目链接：34.在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

2.2题目描述：

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

示例 2：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]

示例 3：

输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]

2.3算法思路：

用的还是二分思想，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间一分为二，然后舍去其中一个区间，然后再另一个区间内查找；

方便描述，用x表示该元素，resLeft表示左边界，resRight表示右边界。

寻找左边界思路：
我们注意到左边界划分的两个区间的特点：

左边区间[left,resLeft - 1]都是小于x的；
右边区间(包括左边界)[resLeft，right]都是大于等于x的；

因此，关于mid的落点，我们可以分为下面两种情况：

当我们mid落在[left,resLeft - 1]区间的时候，也就是arr[mid] < target。说明[left,mid]都是可以舍去的，此时更新left到mid+1的位置，继续再[mid+1，right]上寻找左边界；
当mid落在[resLeft, right]的区间的时候，也就是arr[mid] >= target。说明[mid+1，right]（因为mid可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时更新right到mid的位置，继续在[left, mid]上寻找左边界；
由此，就可以通过二分，来快速寻找左边界；

注意：这里找中间元素需要向下取整

因为后续移动左右指针的时候：

左指针：left = mid+1，是会向后移动的，因此区间是会缩小的；
右指针：right = mid，可能会原地踏步(比如：如果向上取整的话，如果剩下1，2两个元素，left == 1，right == 2，mid == 2.更新区间之后，left，right，mid的值没有改变，就会陷入死循环)

因此一定要注意，当right = mid的时候，要向下取整。

寻找右边界思路：

寻右边界：

用resRight表示右边界；

我们注意到右边界的特点：

左边区间(包括有边界)[left,resRight]都是小于等于x的；
右边区间[resRight+1,right]都是大于x的；

因此，关于mid的落点，我们可以分为下面两种情况：

当我们的mid落在[left,resRight]区间的时候，说明[left，mid-1](mid不可以舍去，因为有可能是最终结果)都是可以舍去的，此时更新left到mid的位置。
当mid落在[resRight+1，right]的区间的时候，说明[mid，right]内的元素是可以舍去的，此时更新right到mid-1的位置；

由此，就可以通过二分，来快速寻找右边界；

注意：这里找中间元素需要向上取整。

左值真：left = mid，可能会原地踏步(比如：如果向下取整的话，如果剩下1，2两个元素，left == 1，right == 2，mid == 1。更新区间之后，left，right，mid的值没有改变，就会陷入死循环)。
右指针：right = mid-1，是会向前移动的，因此区间是会缩小的；

因此一定要注意，当right = mid的时候，要向下取整。

2.4算法代码

class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {if(nums.size() == 0){return {-1,-1};}int begin = 0;//1.二分左端点int left = 0,right = nums.size()-1;while(left < right){int mid = left + (right - left)/2;if(nums[mid]>=target)right = mid;elseleft = mid+1;       }//判断是否有结果if(nums[left] != target) return {-1,-1};else begin = left;left = 0,right = nums.size()-1;while(left < right){int mid = left + (right - left + 1)/2;if(nums[mid]>target)right = mid-1;elseleft = mid;}return {begin,right};}
};

2.5左右边界的二分模板：

//寻找左边界
while (left < right)
{int mid = left + (right - left) / 2;if (......)left = mid + 1;else right = mid;
}
//寻炸右边界
while (left < right)
{int mid = left + (right - left +1) / 2;if (......)left = mid;else right = mid - 1;
}

2.6左右边界模板的记忆方法：

当只有两个元素，left指向左边的元素，right指向右边的元素。因为只有当left = right的时候才是找到边界。所以

当mid指向左边的元素时，想要left = right，就必须right = mid，且right向左，所以是寻找左边界且right = mid,left = mid+1。

当mid指向右边的元素时，想要left = right，就必须left = mid，且left向左，所以是寻找右边界且left = mid，right = mid-1。

mid指向右边的是，mid = left +（right-left+1)/2

mid指向左边的是，mid = left + (right - left)/2