前言

小时候听过一个小孩练琴的故事，老师让他先弹最简单的第一小节，小孩练了两天后弹不出。接着，老师让他直接去练更难的第二小节，小孩练习了几天后还是弹不出，开始感觉到挫败和烦躁了。

小孩以为老师之后会让他从简单的开始练，谁知老师直接让他开始练最难的一小节。小孩不干了，问老师是不是故意刁难他。

老师笑笑，让他现在弹弹第一小节试试。神奇的是，小孩竟然发现自己已经能完整弹出来了。

这有点像我现在的学习状况，前些天我还没搞明白线性模型和多层感知机，就去看了后面卷积神经网络的内容。现在再回看前面的内容时，竟然发现有点豁然开朗了，所以有了前一篇文章。

当然并不是学任何东西都可以像练琴故事里那样，往后学着学着，前面的自然就会了。

我想说的其实是，不要老想着有什么很好的学习方法，陷入“完美主义”而迟迟不开始学。

学就是了，或许学着学着，你就可以搞明白之前觉得困惑的地方。

当然，也不能非常头铁，也是需要一定的“顶层设计”的。学的过程中要时刻搞清楚“是什么”和“为什么”。

一、softmax 回归

前面我们学习了回归，它可以帮助我们解决“多少”的问题。比如预测房屋的价格是多少，某支篮球队的胜场数是多少等等。

在生活中，我们除了会碰到“多少”的问题，还会碰到“哪一个”的分类问题，如：

• 某个图像是蚂蚁还是蜜蜂？
• 某人有可能去看哪一部电影？

这两个的问题界限比较模糊，其中一个原因是分类可以用回归实现。

就比如，我们只希望得到结果到底是哪个类别，到底是蚂蚁还是蜜蜂。

但在实现时，我们会采用连续值的方法，即如果这张图片属于蚂蚁的概率超过了某个值，我们就把它分为蚂蚁这一类。

分类问题

我们从一个图像分类问题开始。假设每次输入的是一个 $2\times 2$ 的灰度图像，需要判断其是“猫”、“狗”还是“鸡”。

对图像的基本知识不清楚的，可以另外看看其他资料。

我们可以用一个标量表示每个像素值，这样一个图像就对应于四个特征 $x_1,x_2,x_3,x_4$。

接下来，我们要选择如何表示类别（标签）。统计学家发明了一种简单的表示分类数据的方法：独热编码(one-hot encoding)。

独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。类别对应的分量设为 1，其他分量设为 0。

网络架构

前面提到，我们实现分类需要计算出所有可能类别的条件概率，因此需要一个有多输出的模型，每个类型对应于一个输出。

为了解决线性模型的分类问题，我们需要和输出一样多的仿射函数(affine function)，每个输出对应于它自己的仿射函数。

与线性回归一样，softman 回归也是一个单层神经网络（如下图）。由于计算每个输出取决于所有输入，所以 softmax 回归的输出层也是全连接层。

softmax 运算

有了多个输出后，怎么确定好分类结果呢？我们设置一个阈值，比如选择具有最大概率的标签作为预测类别。

例如，得到的三个输出分别为 0.8，0.1 和 0.1，那么我们预测的类别可以说是 1。

若是出现三个输出为 0.8，0.6 和 0.4 呢？我们还能直接确定预测类别是 1 吗？

答案是否定的。一方面，线性层没法保证所有输出之和为 1；另一方面，不同的输入，输出结果可能是负值。这两条违反了概率的基本公理。

要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出是非负的且总和为 1。此外，我们需要一个训练的目标函数，来激励模型精准地估计概率。

例如，在分类器输出 0.5 的所有样本中，我们希望这些样本确实是有一半预测对了。这个属性称为校准(calibration)。

1959 年，社会科学家邓肯·卢斯在选择模型(choice model)的基础上，发明的 $softmax$ 函数正是这样做的：

softmax 函数能够将未规范化的预测变换为非负数且总和为 1，同时让模型保持可导的性质。如下式：
$$\hat{y}=softmax(o),{\hat{y}}_j=\frac{\exp o_j}{{\sum }_k\exp (o_k)}$$

这个让我想起了交通规划里的 Logit 模型，也是通过这个公式将效用转为选择概率的。

尽管 softmax 是一个非线性函数，但 softmax 回归的输出仍然是由输入特征的仿射变换决定的。因此，softmax 回归是一个线性模型(linear model)。

二、softmax 回归的从零开始实现

准备数据集

与线性回归实现时我们自己生成数据集不同，我们借助已有的图像分类数据集 Fashion-MNIST。

Fashion-MNIST由10个类别的图像组成，分别为t-shirt（T恤）、trouser（裤子）、pullover（套衫）、dress（连衣裙）、coat（外套）、sandal（凉鞋）、shirt（衬衫）、sneaker（运动鞋）、bag（包）和ankle boot（短靴）。

每个类别由训练数据集（train dataset）中的6000张图像和测试数据集（test dataset）中的1000张图像组成。

因此，训练集和测试集分别包含60000和10000张图像，图像大小为 $28\times 28$。测试数据集不会用于训练，只用于评估模型性能。

torchvision 为我们提供了一系列机器视觉工具包，其中就包括图像数据集及图像处理工具 transforms。

为了使我们读取图像时更轻松，我们直接使用 DataLoader，并使用多线程 loader_num 读取数据集。

将下载数据集与读取数据集整合进一个函数中，并加入 resize 参数用于对图像大小进行调整。

def load_data_fashion_mnist(batch_size, loader_num, resize=None):    # 数据集准备"""下载Fashion-MNIST数据集，然后将其加载到内存中"""trans = [transforms.ToTensor()]    # 数据变换操作列表if resize:     # 如果需要改变形状的话，把resize的操作加到变换列表里trans.insert(0, transforms.Resize(resize))trans = transforms.Compose(trans)   # 将变换操作集合起来# 下载训练集和数据集mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="../dataset", train=True, transform=trans, download=True)mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(root="../dataset", train=False, transform=trans, download=True)return (data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,num_workers=loader_num),data.DataLoader(mnist_test, batch_size, shuffle=False,num_workers=loader_num))

这段代码的逻辑是：首先创建一个只有改变数据格式操作的列表，接着判断是否需要改变图像形状大小，如果需要，则将其加入到列表中。

接着下载 torchvision 中的训练/测试集，最后函数返回两个 DataLoader，分别用于读取训练和测试集。

初始化模型参数

对于 $28\times 28$ 的图像，如果我们把每个像素位置看作一个特征的话，其具有 $28\times 28=784$ 个特征，因此模型的输入为 784 维。数据集具有 10 个类别，故输出维度为 10。

softmax 回归也可视为线性模型，因此其同样只具有两个参数：权重 $w$ 和偏置 $b$。其中权重为 $784\times 10$ 的矩阵，偏置为 $1\times 10$ 行的向量，即
$$y_{1\times 10}=x_{1\times 784}{w}_{784\times 10}+b_{1\times 10}$$
权重采用均值为 0，标准差为 0.01 的正态分布随机数初始化，偏置初始设置零向量。

    num_inputs = 784num_outputs = 10W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)

定义 softmax 操作

因为模型中需要通过 softmax 运算将输出的结果转为概率，因此在定义模型前需要先定义 softmax 操作。

softmax 操作由以下三个步骤组成：

1. 对每项求 exp 幂；
2. 对每一行求和（每一行代表一个样本），得到每个样本的规范化常数；
3. 每一行除以其规范化常数，确保结果之和为 1。

def softmax(X):     # 定义 softmax 操作X_exp = torch.exp(X)partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)    # keepdim 指保持维度不变return X_exp / partition  # 这里应用了广播机制

定义模型

定义好 softmax 操作后，我们就可以定义 softmax 回归模型。

这里注意需要对输入的 X 进行 reshape 操作，将其展平为 $1\times 784$。

def net(X):     # 定义模型return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)

定义损失函数

与线性回归采用平方损失函数不同，softmax 回归采用的是交叉熵损失(cross-entropy loss)。

对于任何标签 $y$ 和模型预测 $\hat{y}$，损失函数为：
$$l(y,\hat{y})=-\sum _{j=1}^q{y}_j\log {\hat{y}}_j.$$
这可能是深度学习中最常见的损失函数，因为分类问题的数量远远超过回归问题的数量。

def cross_entropy(y_hat, y):     # 交叉熵损失函数return - torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])

定义优化器

我们仍然采用小批量随机梯度下降对参数进行更新，代码和前面线性回归的一样。

def my_optimizer(params, lr, batch_size):    # 定义优化器"""小批量随机梯度下降"""with torch.no_grad(): # 以下操作不计算梯度for param in params:param -= lr * param.grad / batch_sizeparam.grad.zero_()

分类精度

给定预测概率 $\hat{y}$，当我们必须输出硬预测(hard prediction)时，我们通常选择预测概率最高的类。

当预测与真实标签一致时，说明该样本预测正确。分类精度即预测正确的样本数与总样本数之比。

精度是我们最关心的性能衡量标准，几乎所有分类问题都会关注它。

我们首先定义一个计算精度的函数，当传入预测值和真实值时，这个函数可以返回预测正确的数量。

def accuracy(y_hat, y):"""计算预测正确的数量"""if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:y_hat = y_hat.argmax(axis=1)cmp = y_hat.type(y.dtype) == yreturn float(cmp.type(y.dtype).sum())

当模型训练完后，我们还需要计算其在测试集上的表现，因此我们可以定义一个函数，用于计算模型在指定数据集上的精度。

def evaluate_accuracy(net, data_iter):"""计算在指定数据集上模型的精度"""if isinstance(net, torch.nn.Module):net.eval()  # 将模型设置为评估模式metric = Accumulator(2)  # 正确预测数、预测总数with torch.no_grad():for X, y in data_iter:metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())return metric[0] / metric[1]

由于是小批量读取，我们还需要定义一个累加器 Accumulator 类，用于得到整个数据集的精度。

class Accumulator:"""在n个变量上累加"""def __init__(self, n):self.data = [0.0] * ndef add(self, *args):self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)]def reset(self):self.data = [0.0] * len(self.data)def __getitem__(self, idx):return self.data[idx]

训练

softmax 回归的训练过程和线性回归很类似，从初始的参数出发，逐轮训练计算损失并更新。

因为我们需要查看每一轮训练后的效果，所以需要单独定义一个训练一轮的函数。

除此之外，我们还需要定义一个完整训练的函数，该函数反复调用训练一轮的函数。这样当换了一个模型时，我们也只需要改变传入的参数即可实现新模型的训练。

训练一轮的函数代码如下。函数内首先判断这个模型是否是实例化了 nn.Module 这个类，例如线性回归从零开始的模型是自己实现的，而简洁实现则是使用了 nn.Linear。

之后定义累加器，开始 for 循环批量读取训练集，计算损失并更新。接着，判断是调用了 pytorch 的损失函数和优化器，还是使用了自己写的，各自有不同的写法。

最后返回整个训练集的平均训练损失与训练集上的精度。

def train_epoch(net, train_iter, loss, updater):  #@save"""训练模型一个迭代周期"""# 将模型设置为训练模式if isinstance(net, torch.nn.Module):net.train()# 训练损失总和、训练准确度总和、样本数metric = Accumulator(3)for X, y in train_iter:# 计算梯度并更新参数y_hat = net(X)l = loss(y_hat, y)if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):# 使用PyTorch内置的优化器和损失函数updater.zero_grad()l.mean().backward()updater.step()else:# 使用定制的优化器和损失函数l.sum().backward()updater([W, b], lr, batch_size)metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())# 返回训练损失和训练精度return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]

完整训练的函数代码如下。在传入模型、训练集、测试集、损失函数、训练轮数和优化器后，进入 for 循环，开始调用训练一轮的函数，可以返回该轮训练后的损失以及精度。

接着利用 evaluate_accuracy 函数计算此轮训练后的模型在测试集上的精度。往后的 writer 和 print 都是为了可视化训练情况，其中前者是利用了 pytorch 自带的 tensorboard。

def train(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater):"""训练模型"""for epoch in range(num_epochs):train_loss, train_acc = train_epoch(net, train_iter, loss, updater)test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)writer.add_scalar('train_loss', train_loss, epoch)writer.add_scalar('train_acc', train_acc, epoch)writer.add_scalar('test_loss', test_acc, epoch)print(f'第{epoch + 1}轮的训练损失为{train_loss}')print(f'第{epoch + 1}轮的训练精度为{train_acc}')print(f'第{epoch + 1}轮的测试集精度为{test_acc}')return train_loss, train_acc, test_acc

以上是实现模型训练所需要的函数，下面我们开始编写主代码。李沐老师的代码是用 jupyter notebook 编写的，而我是用 pycharm，有些时候就会报错。

我猜测可能是设置了多线程的原因，我需要把主代码写在 if __name__ == '__main__': 里才可以运行。

if __name__ == '__main__':lr = 0.1    # 学习率batch_size = 256writer = SummaryWriter('./runs')    # 设置tb文件保存位置train_iter, test_iter = load_data_fashion_mnist(batch_size, 4)# 初始化权重和偏置num_inputs = 784num_outputs = 10W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)# 设置随机种子，方便复现random_seed = 326torch.manual_seed(random_seed)# 训练num_epochs = 40train_loss, train_acc, test_acc = train(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, my_optimizer)writer.close()

开始运行后，训练过程的数据会被记录在 ./runs 文件夹下，即当前目录下的 runs 文件夹下。

我们在左侧目录下找到 runs 文件夹，右键选择复制相对路径。接着打开底部 Terminal，输入 conda activate pytorch 激活项目的虚拟环境，回车。

配置 pytorch 环境我是按照 b 站土堆视频来的，环境名称就叫 pytorch。

随后，输入 tensorboard --logdir=，接着粘贴刚复制的相对路径，回车，它会返回给你一个网址，点击它即可进入 tensorboard。

随后点击上方右侧的 SCALARS，就可以看到我们本次训练的训练损失、训练精度、测试精度随训练轮数的变化。

从图中可以发现，训练损失并未收敛到一个稳定的常数，其他两项也是。不过要注意纵坐标，训练精度和测试精度其实已经算比较稳定了。

另外，运行的时间也比较长，因此，我打算增加训练轮数到 40 轮，并利用 GPU 进行训练。

增加训练轮数简单，把 num_epochs 改为 40 即可。

利用 GPU 训练的话，需要数据、模型都放进 GPU。定义的使用 GPU 的函数如下：

def try_gpu(i=0):  # 有 GPU 则使用，否则使用 CPU"""如果存在，则返回gpu(i)，否则返回cpu()"""if torch.cuda.device_count() >= i + 1:return torch.device(f'cuda:{i}')return torch.device('cpu')

接着在相应模型和数据后添加 .to(try_gpu())，具体位置可见文章末尾完整代码，我是按照土堆视频里那样加的。

再次运行前，记得把原本 runs 文件夹下的文件先删掉，不然可能出来的图中含有上一次的数据。

运行过程中我看着控制台，似乎打印的速度和前面用 CPU 差不多，我还上网搜了怎么确认使用了 GPU 训练。

打开任务管理器和使用 nvidia-smi 都显示 GPU 在使用。同时我注意到我的 CPU 使用率是 100%。

网上说是可能还存在读写操作，所以影响 GPU 的使用，我感觉可能是 tensorboard 的使用导致的。不管了，我也忘了测一下运行时间，后面再研究研究。

训练了 40 轮后的相关结果如下，感觉不错。

第40轮的训练损失为0.4002220250447591
第40轮的训练精度为0.86335
第40轮的测试集精度为0.8424

遗憾地是，从训练损失变化图来看，40 轮训练似乎也并未收敛。

三、softmax 回归的简洁实现

下面我们使用 pytorch 框架来简洁地实现 softmax 回归。准备数据集和前面一样，用的同一个函数，batch_size 也不变。

定义模型与初始化模型参数

回想一下从零开始实现，原本数据集中的图像大小是 $28\times 28$，我们把它 reshape 成 $1\times 784$ 才传入线性层。这一操作称为展平，pytorch 中有专门的层(Flatten())来实现类似的处理。

因此，softmax 使用的模型有两层，一层为 Flatten()，另一层为 nn.Linear(784, 10)。

    # PyTorch不会隐式地调整输入的形状。因此，# 我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))    # 定义模型

在简洁实现线性回归时，由于其只有一层线性层，初始化模型采用的是直接指定net[0]的两个参数。

而如果层数较多时，直接指定不太方面，我们可以自己定义一个权重的函数，利用 net.apply 对每一层进行初始化，而如果需要对某层进行特定操作时，可在函数中加入 if 判断。

def init_weights(m):   # 对特定层的权重进行初始化，偏置默认为0初始化if type(m) == nn.Linear:nn.init.normal_(m.weight, mean=0, std=0.01)

损失函数

损失函数直接调用 nn 模块下的现成函数即可。

    loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')   # 损失函数，这里取值none即直接返回loss向量

优化器

优化器通用，调用 nn.optim 下现成的函数即可。

    optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)   # 优化器

训练

进行训练可以直接调用我们在从零开始实现时写好的训练函数。由于我们在训练函数中已经进行了if判断，因此只要直接修改传入的参数即可。

    num_epochs = 10train_loss, train_acc, test_acc = train(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, optimizer)

运行如下程序可得到第十轮训练后的相关评估结果。

if __name__ == '__main__':lr = 0.1    # 学习率batch_size = 256writer = SummaryWriter('./runs/softmax_concise')    # 设置tb文件保存位置train_iter, test_iter = load_data_fashion_mnist(batch_size, 4)# 初始化权重和偏置（简洁实现时未采用）num_inputs = 784num_outputs = 10W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs),requires_grad=True, device=try_gpu())b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True, device=try_gpu())# 设置随机种子，方便复现random_seed = 326torch.manual_seed(random_seed)# PyTorch不会隐式地调整输入的形状。因此，# 我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))    # 定义模型net = net.to(try_gpu())net.apply(init_weights)     # 初始化模型参数loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')   # 损失函数，这里取值none即直接返回loss向量optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)   # 优化器num_epochs = 10train_loss, train_acc, test_acc = train(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, optimizer)writer.close()

第10轮的训练损失为0.4472448839187622
第10轮的训练精度为0.8485666666666667
第10轮的测试集精度为0.8322

softmax 回归的两种实现代码见资源。