一、误差的概念

用计算机进行实际问题的数值计算时，往往求得的是问题的近似解，都存在误差。

模型误差：在建立数学模型过程中，要将复杂的现象抽象归结为数学模型，往往要忽略一些次要因素的影响,而对问题作一些简化，因此和实际问题有一定的区别。

观测误差：在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据一般是近似的。

截断误差：利用数值方法求得近似解时，数值方法本身的误差。

比如用泰勒展开时，只保留部分项

舍入误差：计算机字长有限，只能对有限位进行运算，超过的位数按一定规则舍入（量化中的舍入误差，在整数域上更明显）

计算方法不研究模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误差在计算过程中的传播和对结果的影响，以求提高计算的精度。

二、误差的引入

为什么要分析误差？

例如对于：

上面的公式有递推公式：

因此可以先求出  的近似解，利用递推公式计算其它项：

发现上面的式子的值越来越大：

在 [0,1] 区间内，有 ，则

得：  ，因此得出  越大， 的值就越接近 0

可是上面的计算结果与之矛盾，假设误差为 ，则

由此可见初始的微小扰动  会导致误差的迅速积累。

上面这种误差迅速积累的算法就称为不稳定的算法（仅限数值分析的语境中）。

而相反的，能够有效控制误差的算法，称为稳定的算法（仅限数值分析的语境中）。

三、误差的度量

绝对误差：

设  为准确值， 为近似值，则 

称  为近似值  的绝对误差，简称为误差，记为 

【绝对】误差限：

如果知道  绝对值的某个上界，即

称  为绝对误差限，记为 

下面两个概念要用到上面这两个概念

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相对误差：

 

记为 ，

相对误差就是绝对误差  除以一个 ，记为  

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相对误差限：

如果知道相对误差的某个上界，即

称  为近似值  的相对误差限，记为 

相对误差限就是绝对误差限  除以一个 ，记为 

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由于真实值  在某些情况下无法知道，因此计算相对误差和相对误差限时往往替换为 ，即：

这在  较小时成立，如下公式，分母接近 1，分子为  的平方项，式子的值很小。

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例题：计算相对误差限。

解：