L3 逻辑回归

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🍖 原作者：K同学啊

在周将使用 LogisticRegression 函数对经典的鸢尾花 (Iris) 数据集进行分类。将详细介绍逻辑回归的数学原理。

1. 逻辑回归的数学原理

逻辑回归是一种线性分类算法，常用于二分类问题。它的核心思想是通过将线性回归模型的输出通过一个 Sigmoid 函数映射到一个 0 到 1 之间的概率值，从而进行分类。

1.1 线性模型

逻辑回归的线性模型与线性回归相似，其形式为：

$\beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \dots + \beta_n x_n$

其中：

( z ) 是线性组合的输出，
( $x_1$ , $x_2$ , $\dots$ , $x_n$ ) 是特征变量，
( $\beta_0$ ) 是截距（常数项），
( $\beta_1, \dots, \beta_n$ ) 是特征变量的系数。

1.2 Sigmoid 函数

线性模型输出 ( z ) 之后，通过 Sigmoid 函数将其转化为概率：

$\hat{y} = \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$

Sigmoid 函数的输出值是一个概率，范围在 0 到 1 之间。当概率 ( $\hat{y} \geq 0.5$ ) 时，我们预测为正类（1），否则预测为负类（0）。

1.3 损失函数（对数损失）

为了找到最优的系数 ( $\beta$ )，我们需要最小化损失函数。逻辑回归的损失函数为对数损失函数（log loss）：

$L(\beta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \left[ y^{(i)} \log(\hat{y}^{(i)}) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - \hat{y}^{(i)}) \right]$

其中：

( m ) 是样本数，
( $y^{(i)}$ ) 是第 ( $i$ ) 个样本的真实标签，
( $\hat{y}^{(i)}$ ) 是第 ( $i$ ) 个样本的预测概率。

通过梯度下降法或其他优化算法，逻辑回归模型可以根据最小化该损失函数来找到最优的参数 ( $\beta$ )。

2. `LogisticRegression` 函数介绍

LogisticRegression(penalty='l2',                 # 正则化类型，'l1', 'l2', 'elasticnet', 'none'dual=False,                   # 双对偶或原始方法tol=0.0001,                   # 优化过程的容差C=1.0,                        # 正则化强度的倒数，较小的值表示较强的正则化fit_intercept=True,           # 是否拟合截距项intercept_scaling=1,          # 拦截（截距）的缩放系数class_weight=None,            # 给定类别的权重，'balanced' 或 dictrandom_state=None,            # 随机数种子solver='lbfgs',               # 优化算法，{'newton-cg', 'lbfgs', 'liblinear', 'sag', 'saga'}max_iter=100,                 # 最大迭代次数multi_class='auto',           # 处理多类分类问题的方法，{'auto', 'ovr', 'multinomial'}verbose=0,                    # 是否在训练过程中输出日志信息warm_start=False,             # 是否使用上次调用的解作为初始解n_jobs=None,                  # 并行处理的作业数量l1_ratio=None                 # 混合正则化的弹性网络的l1比例
)

3. 鸢尾花数据分类

鸢尾花数据集是一个经典的多分类数据集，包含 150 个样本，分为 3 类（Setosa、Versicolor、Virginica），每类 50 个样本。每个样本有 4 个特征：花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度。

以下是完整的代码实现：

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.metrics import accuracy_score, classification_report, confusion_matrix
from sklearn.linear_model import LogisticRegression# 1. 加载鸢尾花数据集
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data  # 特征矩阵
y = iris.target  # 目标变量# 2. 特征标准化
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)# 3. 划分训练集和测试集（80% 训练集，20% 测试集）
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X_scaled, y, test_size=0.2, random_state=42)# 4. 逻辑回归模型
model = LogisticRegression(max_iter=200)
model.fit(X_train, y_train)# 5. 模型预测
y_pred = model.predict(X_test)# 6. 模型评估
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f"模型的准确率: {accuracy:.2f}")# 打印分类报告
print("分类报告:")
print(classification_report(y_test, y_pred, target_names=iris.target_names))# 打印混淆矩阵
print("混淆矩阵:")
print(confusion_matrix(y_test, y_pred))