02【Matlab系统辨识】白噪声

1.白噪声与有色噪声

1.1 白噪声(white noise)

系统辨识中所用到的数据通常都含有噪声。从工程实际出发，这种噪声往往可以视为具有有理谱密度的平稳随机过程。白噪声是一种最简单的随机过程，是由一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程。白噪声的数学描述如下：如果随机过程 $\xi (t)$ 均值为0 、自相关函数为 ${\sigma }^2\delta (\tau )$ ，即

$R_{\xi }(\tau)=\sigma ^2\delta (\tau)$

式中， $\delta (\tau)$ 为单位脉冲函数，即

$\delta(\tau) = \begin{cases} \infty, & \text{if } \tau= 0 \\ 0, & \text{if } \tau \neq 0 \end{cases}$ ，且 $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\tau) \, d\tau = 1$

则称该随机过程为白噪声。

1.2 白噪声序列

白噪声序列是白噪声过程的一种离散形式，可以描述如下：如果随机序列 $\left \{ \xi(k) \right \}$ 均值为0 ，且两两不相关，对应的自相关函数为：

$R_{\xi }(k)=\sigma ^2\delta (k),k=0,\pm 1,\pm2,\cdots$

式中， $\delta (k)$ 为Kronecker 函数，即

$\delta(k) = \begin{cases} 1, & \text{if } k= 0 \\ 0, & \text{if }k \neq 0 \end{cases}$

则称随机序列 $\left \{ \xi(k) \right \}$ 为白噪声序列。
可以将标量白噪声序列的概念推广至向量的情况，向量白噪声序列定义如下：

$\begin{cases} \mathbb{E}\left\{ \mathbf{\xi}(k) \right\} = \mathbf{0} \\ \text{Cov}\left\{ \mathbf{\xi}(k), \mathbf{\xi}(k+l) \right\} = \mathbb{E}\left\{ \mathbf{\xi}(k) \mathbf{\xi}^T(k+l) \right\} = \mathbf{R} \delta(l) \end{cases}$

式中， $\mathbf{R}$ 为正定常数矩阵， $\delta(l)$ 为Kronecker函数。

1.3 有色噪声（colored noise）

从上述定义可知，理想白噪声只是一种理论上的抽象，在物理上是不能实现的，现实中并不存在这样的噪声。因而，工程实际中测量数据所包含的噪声往往是有色噪声。所谓有色噪声（或相关噪声）是指噪声序列中每一时刻的噪声和另一时刻的噪声相关。“表示定理”表明，有色噪声序列可以看成由白噪声序列驱动的线性环节的输出。

1.4 仿真实例

仿真结果

仿真代码

%白噪声及有色噪声序列的产生
clear all; close all;L=500; %仿真长度
d=[1 -1.5 0.7 0.1]; c=[1 0.5 0.2]; %D、C多项式的系数(可用roots命令求其根)
nd=length(d)-1; nc=length(c)-1; %nd、nc为D、C的阶次
xik=zeros(nc,1); %白噪声初值，相当于ξ(k-1)...ξ(k-nc)
ek=zeros(nd,1); %有色噪声初值
xi=randn(L,1); %randn产生均值为0，方差为1的高斯随机序列（白噪声序列）for k=1:Le(k)=-d(2:nd+1)*ek+c*[xi(k);xik]; %产生有色噪声%数据更新for i=nd:-1:2ek(i)=ek(i-1);endek(1)=e(k);for i=nc:-1:2xik(i)=xik(i-1);endxik(1)=xi(k);
end
subplot(2,1,1);
plot(xi);
xlabel('k'); ylabel('噪声幅值'); title('白噪声序列');
subplot(2,1,2);
plot(e);
xlabel('k'); ylabel('噪声幅值'); title('有色噪声序列');

仅作为个人学习笔记，来源：系统辨识与自适应控制MATLAB仿真（修订版）Zhonghua Pang, Chinese Academy of Sciences; Hong Cui, Second Institute of Oceanography 北京航空航天大学出版社, 2013 ISBN: 978-7-5124-0965-1;

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