从角速度向量的角度理解姿态角速度和机体角速度的转换公式

一、什么是姿态角速度

这是我从《多旋翼飞行器设计和控制》上截取的关于欧拉角的定义。无人机的姿态角速度即偏航角 $\psi$ 、俯仰角 $\theta$ 、滚转角 $\phi$ 的一次导数，分别是 $\dot{\psi }$ 、 $\dot{\theta }$ 、 $\dot{\phi }$ 。

二、什么是机体角速度

这是我在网上随便找的图，展示了机体坐标系。这个坐标系与飞机固定连接，随飞机运动而运动，包括位移和姿态。

机体角速度，即是该瞬间飞机绕着 $x_{b}$ 、 $y_{b}$ 、 $z_{b}$ 三条轴转动的角速度，角速度向量表示：

$\omega =[\omega_{bx},\omega_{by},\omega_{bz}]^{T}$

三、角速度向量

在理论力学中，我们定义向量 $a$ 绕着三维空间中的轴 $b$ 的转动角速度向量的方向与轴 $b$ 一致，且符合右手螺旋法则。角速度向量的模等于角速度的绝对值，如下图所示：

且成立以下公式：

$v=\omega \times a$

这里，乘号表示向量叉乘。

四、角速度向量的分解

上面我们阐述了角速度向量的定义。角速度向量其实是可以被分解的，如下图所示，存在角速度 $\omega$ ，这一瞬间，向量 $a$ 绕着与角速度 $\omega$ 向量重合的轴旋转。那么，向量 $a$ 的旋转可以被拆为 $a$ 绕着机体坐标系 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 三轴的旋转，并且绕着三轴的转动角速度分别是合角速度 $\omega$ 在 $x$ 、 $y$ 、 $z$ $i j k$ 三轴的投影向量 $\omega_{x}$ 、 $\omega_{y}$ 、 $\omega_{z}$ 。

证明（说明）如下：

设角速度 $\omega$ 向量满足：

$\omega=[\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z}]$

则此时，向量 $a$ 顶点的线速度满足：

$v_{a}=\omega \times a=\begin{bmatrix} i & j & k\\ w_{x} & w_{y} & w_{z}\\ a_{x} & b_{y} & c_{z} \end{bmatrix}$

注意，这里中括号表示的是行列式， $i j k$ 分别表示坐标系三轴单位向量。

如果角速度向量为 $[\omega_{x},0,0]$ ，那么其对应的线速度 $v_{ax}$ 满足：

$v_{ax}=[\omega_{x},0,0] \times a$

同理，线速度 $v_{ay}$ 和 $v_{az}$ 分别满足：

$v_{ay}=[0,\omega_{y},0] \times a$

$v_{az}=[0,0,\omega_{z}] \times a$

根据向量叉乘的分配律，我们得到：

$v_{a}=v_{ax}+v_{ay}+v_{az}$

绕着某一轴（不与向量重合）旋转向量 $a$ ，本质上是在不改变向量 $a$ 长度的情况下对向量顶点的位移运动。（这个运动受到向量长度的约束，是二自由度的！）如果两种旋转方式对向量顶点的位移改变量是相同的，即两种旋转条件下向量顶点速度相同，那么，可以认为两种旋转运动等价。

五、建立两种角速度的联系

搞清楚了上面这一点，建立姿态角速度和机体角速度的联系。以偏航角为例进行阐述，偏航角是绕着下图中a坐标系z轴的旋转。那么用旋转矩阵把该轴在机体坐标系中的向量求出来就行。该轴对应一个旋转，将其分解到机体坐标系的 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 三轴即可！那么就求出偏航角速度在机体坐标系中对应的角速度了！

具体步骤我就不写了，把《多旋翼飞行器设计和控制》上相关阐述贴出来就行。