4. 微分

4.2 导数的意义与性质

4.2.1 导数在物理中的背景

物体在OS方向上运动，位移函数为$s=s(t)$，求时刻$t$的瞬时速度，找一个区间$[t,t+△t]$，从时刻$t$变到时刻$t+△t$，则$△s=s(t+△t)-s(t)$，$\frac{△s}{△t}$是这段时间的平均速度，而这段时间的瞬时速度为$v(t)=\underset{△t\to 0}{\lim }\frac{△s}{△t}=\underset{△t\to 0}{\lim }\frac{s(t+△t)-s(t)}{△t}=s^{\prime }(t)$


再看一个例子，设$p(t)$表示某地区在$t$时刻的人口数，要算某一时段的人口增长率，在$[t,t+△t]$这段时间，$△p=p(t+△t)-p(t)$，则$\frac{△p}{△t}$是这段时间人口平均增长率，人口在该时刻$t$的增长率为$\underset{△t\to 0}{\lim }\frac{△p}{△t}=\underset{△t\to 0}{\lim }\frac{p(t+△t)-p(t)}{△t}=p^{\prime }(t)$

4.2.2 导数的几何意义

画一条曲线，求曲线上一点的切线的斜率

切线看成是割线的极限位置

让$△x\to 0$，则割线的斜率为$\frac{△y}{△x}$，记切线斜率为$k$，记函数为$y=f(x)$，切线斜率为$k=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{△y}{△x}=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{f(x+△x)-f(x)}{△x}=f^{\prime }(x)$
过$(x_0,f(x_0))$的切线：$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$，法线方程为$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0),f^{\prime }(x_0)\ne 0$


【例4.2.1】求抛物线$y^2=2px,p>0$，$(x_0,y_0)$是抛物线上切线一点，求过$(x_0,y_0)$的切线方程。
【解】

$y=\sqrt{2px}$
$k=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2p(x+△x)}-\sqrt{2px}}{△x}=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{(\sqrt{2p(x+△x)}-\sqrt{2px})(\sqrt{2p(x+△x)}+\sqrt{2px})}{△x(\sqrt{2p(x+△x)}+\sqrt{2px})}=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{2p△x}{△x(\sqrt{2p(x+△x)}+\sqrt{2px})}=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{2p}{\sqrt{2p(x+△x)}+\sqrt{2px}}=\frac{2p}{2\sqrt{2px}}=\sqrt{\frac{p}{2x}}$
切线方程为$y-y_0=\sqrt{\frac{p}{2x_0}}(x-x_0)$
【注】由抛物线的切线方程得到抛物线的重要性质：

$\tan {\theta }_1=\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{2x_0}}=\frac{p}{y_0}$，记$(x_0,y_0)$与抛物线焦点$(\frac{p}{2},0)$连线与$x$轴的夹角为${\theta }_2$，该连线与抛物线在点$(x_0,y_0)$处的切线的夹角为$\theta$，则有：

$\tan {\theta }_2=\frac{y_0}{x_0-\frac{p}{2}}$
于是$\tan \theta =\tan ({\theta }_2-{\theta }_1)=\frac{\tan {\theta }_2-\tan {\theta }_1}{1+\tan {\theta }_2\cdot \tan {\theta }_1}=\frac{\frac{y_0}{x_0-\frac{p}{2}}-\frac{p}{y_0}}{1+\frac{y_0}{x_0-\frac{p}{2}}\cdot \frac{p}{y_0}}=\frac{p}{y_0}=\tan {\theta }_1$（$y_0^2=2p{x}_0$代入化简计算）
即恰好$\theta$与切线与$x$轴夹角${\theta }_1$相等。

【例4.2.2】$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，求椭圆上过$(x_0,y_0)$点的切线。
【解】不妨设$y_0>0$，$y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$
$k=\frac{b}{a}\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{a^2-{\left(x_0+\Delta x\right)}^2}-\sqrt{a^2-x_0^2}}{\Delta x}=\frac{b}{a}\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{x_0^2-{\left(x_0+\Delta x\right)}^2}{\left(\sqrt{a^2-{\left(x_0+\Delta x\right)}^2}+\sqrt{a^2-x_0^2}\right)\cdot \Delta x}=\frac{b}{a}\frac{-x_0}{\sqrt{a^2-x_0^2}}$
所以切线方程为$y-y_0=\frac{b}{a}\frac{-x_0}{\sqrt{a^2-x_0^2}}\left(x-x_0\right)=-\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{x_0}{\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x_0^2}}$
即$a^2{y}_{0}y+b^2{x}_{0}x=a^2{y}_0^2+b^2{x}_0^2=a^2{b}^2$
即$\frac{y_{0}y}{a}+\frac{x_{0}x}{b}=1$