图
前言
本篇作为图的基础概念篇, 了解图的离散数学定义, 图的分类, 图模型解决的问题(图的应用), 图的相关算法(仅仅介绍,具体不在此篇展开)。
学习基本路线:
- 学习离散数学的图章节。对图有宏观的把握。
- 从代码上, 完成图的表示。 学习深度优先搜索和广度优先搜索。
- 进一步学习图的其它算法, 比如单源最短路径, 求解图的连通分量, 最小生成树算法等等, 还可以求解离散数学的其它问题(如二分图, 欧拉图, 哈密顿图等等)。学习图的算法可以加深对离散数学在计算机科学的理解。
离散数学这门学科本身就广泛应用于各大学科, 并非只是对计算机科学如此。
引入
图是由顶点和连接顶点的边构成的离散结构。
根据图中的边是否有方向? 相同顶点对之间是否有多条边相连以及是否允许存在自环
图的定义
G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 由顶点(或结点)的非空集 V V V和边集 E E E构成, 每条边有一个或两个顶点
与它相连, 这样的顶点与它相连, 该顶点称为边的端点 。边连接它的端点。
V − > v e r t e x V->vertex V−>vertex:图中的元素,顶点或者结点。
E − > e d g e E->edge E−>edge:连接一个或者两个端点。
E d g e ⊆ V × V Edge\subseteq V\times V Edge⊆V×V:描述了是边的顶点的二元集.
∣ E ∣ |E| ∣E∣:边的条数.
∣ V ∣ |V| ∣V∣:顶点个数.
考虑有限图
:顶点集和边集为有限集的图称为有限图。
重点-简单图
:
"No self loops"
: 图中的顶点不能有连接到自身的边,不能有自环
的情况."Every edge is distinct"
: 不能存在相同的边.
针对无向图:每对顶点只有一条边.
针对有向图:每对顶点同方向的边唯一.
不重点考虑多重图
,即存在不同边连接一对相同的顶点
。
不考虑自环
现象:即,边关联的两个顶点是同一个顶点。
图的分类
有向图与无向图.
对 v , u v,u v,u
无向图
:边被描述为顶点的无序二元集:{v,u},说明了 v v v, u u u两顶点之间有一条边.无序性:含义是 {u,v} = = ={v,u} .
有向图
:边被表示为顶点的有序二元集:(v,u),说明了 v v v, u u u有一条顶点v到u的边.有序性:含义是 (u,v) 和 (v,u) 是两条不同的边
无向图的边是无序的二元对,而有向图的边是有序的二元对。
有向图
定义: 有向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E),由一个非空顶点集 V V V和一个有向边(称为弧)集 E E E组成。 每条有向边与一个有序点对相关联。有序对 ( u , v ) (u, v) (u,v)相关联的有向边开始于 u u u、结束于 v v v。
简单有向图:简单图的基础上赋予方向就是简单有向图。
其它图的讨论
混合图:既包含有向边和无向边的图称为无向图。
实际写代码时,混合图和无向图均可以当作有向图,无向边当作两条对立的有向边。
多重图:即允许两顶点之间存在多条边的图。
自环:自环是指一条边的起点和终点是同一个节点。
图的术语和特殊类型的图
图的基本术语
- 图 (Graph): 由顶点 (Vertices) 和边 (Edges) 组成的数学结构,用于表示对象之间的关系。
- 顶点 (Vertex): 图中的基本单位,通常表示一个对象。
- 边 (Edge): 连接两个顶点的线,表示它们之间的关系。
- 邻接 (Adjacent): 如果两个顶点之间有边相连,则称它们是邻接的。若两顶点 u u u和 v v v是无向图 G G G中的一条边 e e e的端点, 则称两个顶点 u u u和 v v v G G G里邻接(相邻)。称边 e e e为关联顶点 u , v u,v u,v。或者叫做边 e e e连接 u u u , v ,v ,v。对于有向图,假设是 u u u到 v v v的有向边,那么称边e把 u u u邻接到 v v v,或者称 v v v从 u u u邻接。简而言之, 对于这条有向边,只能说u邻接v,而v不邻接u。
- 路径 (Path): 从一个顶点到另一个顶点的边的序列,且没有重复的顶点。
- 圈 (Cycle): 从一个顶点出发,经过若干边后回到该顶点的路径,且路径中的其他顶点都不重复。
- 度:
顶点的度(degree)
:跟顶点相连接的边的条数。
入度与出度
:对于有向图,一个顶点的入度是指以其为终点的边数;
出度指以该顶点为起点的边数。 反应了度和边数的关系。
图的度
:
对于无向图 ∀ v ∈ V , ∑ d e g r e e ( v ) = 2 ∣ E ∣ \forall v\in V, \sum degree(v) = 2|E| ∀v∈V,∑degree(v)=2∣E∣
对于有向图 ∀ v ∈ V , ∑ d e g r e e + ( v ) = ∑ d e g r e e − ( v ) = ∣ E ∣ \forall v\in V, \sum degree^+(v) = \sum degree^-(v)= |E| ∀v∈V,∑degree+(v)=∑degree−(v)=∣E∣
d e g r e e + ( v ) : 有向图顶点的出度 . degree^+(v):有向图顶点的出度. degree+(v):有向图顶点的出度. d e g r e e − ( v ) : degree^-(v): degree−(v):有向图顶点的入度。
顶点度为0的点是孤立点
顶点度为1的点是悬挂点
特殊类型的图汇总
- 无向图 (
Undirected Graph
): 边没有方向,连接的两个顶点是对称的。 - 有向图 (
Directed Graph
): 边有方向,表示从一个顶点到另一个顶点的单向关系。 - 加权图 (
Weighted Graph
): 每条边都有一个权重,表示边的成本、距离等。 - 简单图 (
Simple Graph
): 不允许有自环(从一个顶点到自身的边)和多重边(相同的两个顶点之间有多条边)。 - 完全图 (
Complete Graph
): 图中每一对顶点之间都有边相连。 - 树 (
Tree
): 一种特殊的无向图,具有无圈的特性,且任何两个顶点之间都有唯一的路径。 - 森林 (
Forest
): 由多个树组成的图。 - 连通图 (
Connected Graph
): 在无向图中,任意两个顶点之间都存在路径;在有向图中,存在从一个顶点到另一个顶点的有向路径。 - 强连通图 (
Strongly Connected Graph
): 在有向图中,任意两个顶点之间都有有向路径。 - 平面图 (
Planar Graph
): 可以在平面上绘制的图,使得边的交叉最小。
关于连通图,可达性,路径等概念, 结合后续算法题说明。
图的基本术语
顶点相邻
:若两顶点 u u u和 v v v是无向图 G G G中的一条边 e e e的端点, 则称两个顶点 u u u和 v v v G G G里邻接(相邻)。称边 e e e为关联顶点 u , v u,v u,v。或者叫做边 e e e连接 u u u , v ,v ,v。邻居
: G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E),顶点 v v v的所有相邻顶点的集合, 记作 N ( v ) N(v) N(v)。其称为顶点的邻居。- 度:
顶点的度(degree)
:跟顶点相连接的边的条数。
入度与出度
:对于有向图,一个顶点的入度是指以其为终点的边数;
出度指以该顶点为起点的边数。 反应了度和边数的关系。
图的度
:
对于无向图 ∀ v ∈ V , ∑ d e g r e e ( v ) = 2 ∣ E ∣ \forall v\in V, \sum degree(v) = 2|E| ∀v∈V,∑degree(v)=2∣E∣
对于有向图 ∀ v ∈ V , ∑ d e g r e e + ( v ) = ∑ d e g r e e − ( v ) = ∣ E ∣ \forall v\in V, \sum degree^+(v) = \sum degree^-(v)= |E| ∀v∈V,∑degree+(v)=∑degree−(v)=∣E∣
d e g r e e + ( v ) : 有向图顶点的出度 . degree^+(v):有向图顶点的出度. degree+(v):有向图顶点的出度. d e g r e e − ( v ) : degree^-(v): degree−(v):有向图顶点的入度。
顶点度为0的点是孤立点
顶点度为1的点是悬挂点
两个定理
握手定理
:描述度与边数的关系。定义m图 G G G— 2 m = ∑ v ϵ V d e g ( V ) 2m = \sum_{v\epsilon V}deg(V) 2m=∑vϵVdeg(V)- 无向图的有
偶数个奇度顶点
。
讨论简单图中无向图与有向图的边个数
无向图: ∣ E ∣ ≤ ( ∣ V ∣ 2 ) |E|\leq \begin{pmatrix} |V|\\ 2\\ \end{pmatrix} ∣E∣≤(∣V∣2)
有向图: ∣ E ∣ ≤ 2 ( ∣ V ∣ 2 ) |E|\leq2 \begin{pmatrix} |V|\\ 2\\ \end{pmatrix} ∣E∣≤2(∣V∣2)
解释:任取两顶点 v , u v,u v,u的排列数排列数 p ( n , 2 ) = n × ( n − 1 ) 2 p(n, 2)=\frac{n\times(n-1)}{2} p(n,2)=2n×(n−1)。
这是最大值,因为可能并非所有两顶点都有边.
用大 O O O表示法: ( ∣ V ∣ 2 ) = O ( ∣ V ∣ 2 ) \begin{pmatrix} |V|\\ 2\\ \end{pmatrix}=O(|V|^2) (∣V∣2)=O(∣V∣2)
图的表示
关于图, 标准的两种标准表示方法, 一种表示将图作为邻接链表的组合, 另一种将图作为邻接矩阵表示。
两种方法均可以表示无向图和有向图, 更准确地可以表示混合图。
本篇实现偏向于邻接表,是图比较通用的写法。
图的个人通用实现
由前面图的定义, 我们可以给出图的代码实现。
个人习惯用哈希表存储顶点和边, 因为更符合数学上集合的概念。
其次, 哈希表可以快速查询边或者顶点是否属于该图, 且Java中的HashMap
,HashSet
存储的是不重复的元素,十分便利。
以下图适用于纯无向图,纯有向图,混合图, 混合图, 多重图, 存在自环的图。
不过其仍旧是有限图, 实际工程上也不存在无限图的情况。
前置准备
编程语言:Java
创建一个package graph,
创建三个.java文件, 每个文件各有一个公共类, 分别是Graph
,Node
,Edge
。
Graph类
Graph,包含点集和边集。 很符合数学中的定义, 以下是基础版本的描述。
package Graph; import java.util.HashMap;
import java.util.HashSet; public class Graph<V> { /*将顶点按顺序编号 点集*/ public HashMap<Integer, Node<V>> nodes; //存储边集 public HashSet<Edge<V>> edges; //构造函数 public Graph() { nodes = new HashMap<Integer, Node<V>>(); edges = new HashSet<Edge<V>>(); }
}
public HashMap<Integer, Node<V>> nodes;
将顶点用整数编号, 结合现实每座城市都有唯一标识的编号处理。
//判断图是否为空集
public boolean isEmpty() { return nodes.isEmpty();
}
//获取顶点数量
public int size() { return nodes.size();
}
//获取边的数量
public int sizeOfEdges(){ return edges.size();
}
尽管从数学角度上, 图不为空集, 但这里还是补上判空方法。
Node类,单个结点自带的值value, 入度和出度,邻接顶点, 关联边数。
![[Pasted image 20240928194111.png]]
- 顶点存储自己的编号:后续对图的深拷贝有必要。
- 顶点可以存储附加值value。 根据自己实际需求
- 顶点存储入度和出度的值:
入度: 指向某个节点的边的数量。它反映了有多少个其他节点指向该节点,揭示该节点在图中的“吸引力”或“重要性”。
出度:从某个节点发出的边的数量。它表明该节点能够连接多少其他节点,显示该节点的“影响力”或“传播能力”。
存储两者的信息可以反应该顶点的重要性, 然后入度与出度这两个属性可以优化算法(比方说后续的最短路径,拓朴排序等等), 它还可以反应图的结构特性,识别某个特定节点(孤立点,集群等等)。
- 顶点存储它直接可达的其它顶点(直接邻居)。
必要性:方便动态操作,比如我们要删去或者添加边时,只需要对相关顶点的邻接列表操作即可, 避免了整体上所有邻接关系的修改。
快速访问邻居的信息。 邻接列表相当于存储了直接邻居的地址, 在后续处理遍历操作时异常便捷(深度优先遍历和广度优先遍历)。
很多算法依赖邻居关系, 如最短路径,求解连通分量问题。
5. 存储以该节点为起点的有向边。 高效访问节点附近的所有边; 动态操作, 操作边的增删查改时只需要局部性调整即可,非常便捷。维护信息,可以高效地维护其它属性。算法角度:对依赖边的图算法有较大的便利实现。
package Graph; import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.List; /** * @author AutumnWhisper * 回顾离散数学
*/
public class Node<V> { int id;//编号 //顶点存储的值 V value; //入度 int in; //出度 int out; //直接可达结点表:顶点V的所有相邻顶点的集合.====直接邻居 ArrayList<Node<V>> nexts; //存储以该节点为起点的有向边。 ArrayList<Edge<V>> edges; //初始化默认顶点为孤立点 public Node(int id,V value) { this.id = id; this.value = value; this.in = 0; this.out = 0; this.nexts = new ArrayList<>(); this.edges = new ArrayList<>(); } //获取当前顶点的编号 public int getId() { return id; } //获取当前节点存储的有效值 public V getValue() { return value; } //设置当前节点存储的值 public V setValue(V value) { V oldVal = this.value; this.value = value; return oldVal; } //获取入度 public int getIn(){ return in; } //获取出度 public int getOut(){ return out; }//提供当前顶点的邻接顶点列表(不可修改) public List<Node<V>> getNexts(){ return Collections.unmodifiableList(nexts); } //提供以当前结点为顶点的关联边数。(不可修改) public List<Edge<V>> getEdges(){ return Collections.unmodifiableList(edges); } }
Node类提供两个辅助方法来新增邻居和边, 这只是辅助其它方法实现的。
/** * 当前节点新增邻居 * @param neighbor 邻居 */
void addNeighbor(Node<V> neighbor){ nexts.add(neighbor); this.out++;//当前节点出度+1 neighbor.in++;//邻居入度+1
} /** * 当前节点新增边 * @param edge 边 */
void addEdge(Edge<V> edge){ edges.add(edge);
}
Edge类
边附带的权重(有权图),边的方向(起点和终点)。
package Graph; //顶点不依赖边, 边依赖顶点
public class Edge<V> { //权重 int weight; Node<V> from;//起点 Node<V> to;//终点 public Edge(int weight, Node<V> from, Node<V> to) { this.weight = weight; this.from = from; this.to = to; } //----给包外提供的接口。 //获取权重 public int getWeight() { return weight; } //重新设置权重 public void setWeight(int weight) { this.weight = weight; } //获取边的起点 public Node<V> getFrom() { return from; } //设置边的起点 public void setFrom(Node<V> from) { this.from = from; } //获取边的终点 public Node<V> getTo() { return to; } //设置边的终点 public void setTo(Node<V> to) { this.to = to; }
}
基本操作
增加图中的边
通过图中增加一条边关联两个已有的顶点。
提取关键字:已有顶点, 这意味着我们不能无中生有造边, 而是依赖与图中现有的一对顶点。
假设我们增加一条边 e e e, 使得原图中两个原本不相关联的两个顶点被连接起来。
新图: G + e = ( V , E ∪ { e } ) G + e = (V,E\cup \{e\}) G+e=(V,E∪{e})
/** * * @param from 起点 * @param to 终点 * @param weight 权重 * @return 返回是否添加成功,一个布尔值 */
public boolean addEdge(Integer from, Integer to, int weight) { Node<V> fromNode = nodes.get(from); Node<V> toNode = nodes.get(to); //保证节点的有效性即可。 if(fromNode != null && toNode != null){ Edge<V> edge = new Edge<>(fromNode, toNode, weight); edges.add(edge);//边集新添一条边 //更新fromNode顶点的信息; fromNode.addNeighbor(toNode);//直接邻居加1 fromNode.addEdge(edge);//fromNode关联(作起点)的边数+1 return true;//删除成功 } return false;//删除结点不存在
}
你会发现该函数添加的是有向边。无向边怎么添加呢?调转from 和 to调用两次addEdge
函数。
/** * * @param from 起点 * @param to 终点 * @param weight 权重 * @return 返回是否添加成功,一个布尔值 */
public boolean addEdge(Integer from, Integer to, int weight) { Node<V> fromNode = nodes.get(from); Node<V> toNode = nodes.get(to); //保证节点的有效性即可。 if(fromNode != null && toNode != null){ Edge<V> edge = new Edge<>(fromNode, toNode, weight); edges.add(edge);//边集新添一条边 //更新fromNode顶点的信息; fromNode.addNeighbor(toNode);//直接邻居加1 fromNode.addEdge(edge);//fromNode关联(作起点)的边数+1 return true;//删除成功 } return false;//删除结点不存在
} /** * * @param from 起点 * @param to 终点 * @param weight 权重 * @return 返回是否添加成功, 返回一个布尔值 */
public boolean addEdgeDirect(Integer from, Integer to, int weight) { return addEdge(from, to, weight);//增加一条有向边。
}
/** * 添加一条无向边, 实际等效两条有向边。 * @param from 起点 * @param to 终点 * @param weight 权重 * @return 返回是否添加成功, 返回一个布尔值 */
public boolean addEdgeUnDirect(Integer from, Integer to,int weight) { return addEdge(from, to,weight) && addEdge(to,from,weight);
}
1. addEdge
方法
- 功能:添加一条有向边。
- 参数:
from
:起点节点的ID。to
:终点节点的ID。weight
:边的权重。
- 返回值:布尔值,指示添加是否成功。
- 逻辑:
- 首先通过节点ID获取起点和终点节点。
- 检查两个节点是否有效(不为 null)。
- 创建新边并将其添加到边集中。
- 更新起点节点的邻接关系和边信息。
2. addEdgeDirect
方法
- 功能:直接调用
addEdge
,添加一条有向边。 - 作用:提供更直观的命名,方便调用。
3. addEdgeUnDirect
方法
- 功能:添加一条无向边。
- 逻辑:
- 通过调用
addEdge
方法添加两条有向边(from
到to
和to
到from
),实现无向边的效果。
- 通过调用
- 返回值:如果两个有向边都成功添加,则返回 true;否则返回 false。
。
可以自环吗? 当然可以,只需要传参时from == to
即可,代码上允许这种情况发生。
多重图呢?可以添加多重权重不同的边,例如,多次调用addEdge
可以创造多条权值不同但方向,起点终点相同的边。注意,权值相同的边合并为1条。
你可能想吐槽一句?edges不是HashSet
吗?它应该要去重啊, 实际上这与hashcode
方法和equal
方法有关。HashSet
会先调用hashcode
方法,如果哈希值相同,然后调用equals方法,只需要重写Edge类的equals方法即可。
//Edge.java
Override
public boolean equals(Object o){ if(this == o) return true; if(o == null || getClass() != o.getClass()) return false; Edge<?> edge = (Edge<?>) o; if(weight != edge.weight) return false; if(!Objects.equals(from, edge.from)) return false; return Objects.equals(to, edge.to);
}
只允许权值相同的多重边。
删除图中的边
/** * 适用 无权有向图;无权无向图需要调换参数调用两次。 * 默认删除fromId->toId这条有向边。 * removeDirect删除有向边, removeUnDirect删除无向边(也适用单向边不过要耗时一些) * @param fromId 起点编号 * @param toId 终点编号 */
public void removeEdge(Integer fromId, Integer toId) { Node<V> fromNode = nodes.get(fromId); Node<V> toNode = nodes.get(toId); if (fromNode != null && toNode != null) { Iterator<Edge<V>> iterator = edges.iterator(); while (iterator.hasNext()) { Edge<V> edge = iterator.next(); if (edge.from == fromNode && edge.to == toNode) { iterator.remove(); // 安全地删除边 fromNode.edges.remove(edge); fromNode.out--; toNode.in--; break; // 找到并删除后可以退出循环 } } }
} /** * 该方法会删除所有指定起点与终点相同的边(无视权重) * 适用,带权有向图。无向图需要调换参数多调用一次 * @param fromId * @param toId */
public void removeEdgeAll(Integer fromId, Integer toId) { Node<V> fromNode = nodes.get(fromId); Node<V> toNode = nodes.get(toId); if (fromNode != null && toNode != null) { Iterator<Edge<V>> iterator = edges.iterator(); while (iterator.hasNext()) { Edge<V> edge = iterator.next(); if (edge.from == fromNode && edge.to == toNode) { iterator.remove(); // 安全地删除边 fromNode.edges.remove(edge); fromNode.out--; toNode.in--; } } }
} /** * 适用:无权有向图。带权图允许多重边,会随机干掉一条有向边。不带权的边唯一。 * 删除有向边 * @param fromId 起点编号 * @param toId 终点编号 */
public void removeEdgeDirect(Integer fromId, Integer toId){ removeEdge(fromId, toId);
}
/** * 适用:无权无向图。带权图允许多重边,会随机干掉一对无向边(无视权重)。不带权的边唯一。 * 删除无向边, 内部会调用两次removeDirect函数。 * @param fromId 起点编号 * @param toId 终点编号 */
public void removeEdgeUnDirect(Integer fromId, Integer toId){ removeEdge(fromId, toId); removeEdge(toId, fromId);
} /** * * @param fromId 起点编号 * @param toId 终点编号 * @param weight 权重 * @return 返回满足的有向边 */
private Edge<V> search(Integer fromId, Integer toId, int weight) { Node<V> fromNode = nodes.get(fromId); Node<V> toNode = nodes.get(toId); if (fromNode != null && toNode != null) { Iterator<Edge<V>> iterator = edges.iterator(); while (iterator.hasNext()) { Edge<V> edge = iterator.next(); if (edge.from == fromNode && edge.to == toNode && edge.weight == weight) { return edge; } } } return null;
}
/** * 适用:带权有向图。 * 删除指定带权有向边(如果存在)。 * @param fromId 起点编号 * @param toId 终点编号 * @param weight 权重 */
public void removeEdgeWithWeight(Integer fromId, Integer toId, int weight){ Edge<V> edge = search(fromId, toId, weight); if (edge != null) { edges.remove(edge); nodes.get(fromId).out--; nodes.get(toId).in--; }
} /** * 适用:带权无向图。 * 删除指定带权的无向边。 * @param fromId 起点编号 * @param toId 终点编号 * @param weight 权重 */
public void removeEdgeWithWeightUnDirect(Integer fromId, Integer toId, int weight) { removeEdgeWithWeight(fromId, toId, weight); // 删除有向边 removeEdgeWithWeight(toId, fromId, weight); // 删除反向边
}
增加图中的顶点
增加一个孤立点, 后续要跟其它顶点邻接就用增加边的方法。
/* * 给定编号和值,创建一个新顶点并加入到图中。 * 若编号重复, 则添加失败。 * @param id 编号 * @param value 值 * @return 返回一个布尔值,添加成功了返回true。 */public boolean addNode(Integer id, V value) { if (!nodes.containsKey(id)) { nodes.put(id,new Node<V>(id,value)); return true;//删除成功 } return false;//删除结点不存在
}
删除图中的顶点
/** * 删除节点 */
public void removeNode(Integer id) { // 移除点集的结点,并获取该节点以待后续处理。 Node<V> nodeToRemove = nodes.remove(id); // 删除节点存在,则执行删除 if (nodeToRemove != null) { // 删除与该节点相关的所有边 for (Node<V> neighbor : nodeToRemove.nexts) { // 从邻居中移除与nodeToRemove的关联 neighbor.removeNeighbor(nodeToRemove); // 安全地移除边 neighbor.edges.removeIf(edge -> edge.to == nodeToRemove); } // 移除与nodeToRemove相关的所有边 edges.removeIf(edge -> edge.from == nodeToRemove || edge.to == nodeToRemove); }
}
源码
Graph类
package graph; import java.util.*; /** * @author Autumn Whispser * @param <V> */
public class Graph<V> { /*将顶点按顺序编号 */ //构造点集--实际编号和具体的数据关联起来。 HashMap<Integer, Node<V>> nodes; //存储边集 HashSet<Edge<V>> edges; //构造函数 public Graph() { //初始化点集和边集/ nodes = new HashMap<Integer, Node<V>>(); edges = new HashSet<Edge<V>>(); } //判断图是否为空集 public boolean isEmpty() { return nodes.isEmpty(); } //获取顶点数量 public int size() { return nodes.size(); } //获取边的数量 public int sizeOfEdges(){ return edges.size(); } /* * 给定编号和值,创建一个新顶点并加入到图中。 * 若编号重复, 则添加失败。 * @param id 编号 * @param value 值 * @return 返回一个布尔值,添加成功了返回true。 */ public boolean addNode(Integer id, V value) { if (!nodes.containsKey(id)) { nodes.put(id,new Node<V>(id,value)); return true;//删除成功 } return false;//删除结点不存在 } /** * 删除节点 */ public void removeNode(Integer id) { //移除点集的结点, 并且获取该值以待后续处理。 Node<V> nodeToRemove = nodes.remove(id); //删除结点是存在的, 则执行删除 if (nodeToRemove != null) { // 边集:删除与该节点相关的所有边---for each循环实现 for(Node<V> neighbor: nodeToRemove.nexts){ //删除邻居之间可能的关联 removeEdgeDirect(neighbor.id,nodeToRemove.id); //所有邻居的入度-1,因为有序关联nodeToReove都要执行删除。 neighbor.in--; } for (Edge<V> edge : new HashSet<>(edges)) { if (edge.getFrom() == nodeToRemove || edge.getTo() == nodeToRemove) { edges.remove(edge); } } // 更新移除结点所有邻居的入度。 移除的nodeToRemove不需要处理。 for (Node<V> neighbor : nodeToRemove.getNexts()) { } } } /** * * @param from 起点 * @param to 终点 * @param weight 权重 * @return 返回是否添加成功,一个布尔值 */ public boolean addEdge(Integer from, Integer to, int weight) { Node<V> fromNode = nodes.get(from); Node<V> toNode = nodes.get(to); //保证节点的有效性即可。 if(fromNode != null && toNode != null){ Edge<V> edge = new Edge<>(fromNode, toNode, weight); edges.add(edge);//边集新添一条边 //更新fromNode顶点的信息; fromNode.addNeighbor(toNode);//直接邻居加1 fromNode.addEdge(edge);//fromNode关联(作起点)的边数+1 return true;//删除成功 } return false;//删除结点不存在 } /** * * @param from 起点 * @param to 终点 * @param weight 权重 * @return 返回是否添加成功, 返回一个布尔值 */ public boolean addEdgeDirect(Integer from, Integer to, int weight) { return addEdge(from, to, weight);//增加一条有向边。 } /** * 添加一条无向边, 实际等效两条有向边。 * @param from 起点 * @param to 终点 * @param weight 权重 * @return 返回是否添加成功, 返回一个布尔值 */ public boolean addEdgeUnDirect(Integer from, Integer to,int weight) { return addEdge(from, to,weight) && addEdge(to,from,weight); } /** * 适用 无权有向图;无权无向图需要调换参数调用两次。 * 默认删除fromId->toId这条有向边。 * removeDirect删除有向边, removeUnDirect删除无向边(也适用单向边不过要耗时一些) * @param fromId 起点编号 * @param toId 终点编号 */ public void removeEdge(Integer fromId, Integer toId) { Node<V> fromNode = nodes.get(fromId); Node<V> toNode = nodes.get(toId); if (fromNode != null && toNode != null) { Iterator<Edge<V>> iterator = edges.iterator(); while (iterator.hasNext()) { Edge<V> edge = iterator.next(); if (edge.from == fromNode && edge.to == toNode) { iterator.remove(); // 安全地删除边 fromNode.edges.remove(edge); fromNode.out--; toNode.in--; break; // 找到并删除后可以退出循环 } } } } /** * 该方法会删除所有指定起点与终点相同的边(无视权重) * 适用,带权有向图。无向图需要调换参数多调用一次 * @param fromId * @param toId */ public void removeEdgeAll(Integer fromId, Integer toId) { Node<V> fromNode = nodes.get(fromId); Node<V> toNode = nodes.get(toId); if (fromNode != null && toNode != null) { Iterator<Edge<V>> iterator = edges.iterator(); while (iterator.hasNext()) { Edge<V> edge = iterator.next(); if (edge.from == fromNode && edge.to == toNode) { iterator.remove(); // 安全地删除边 fromNode.edges.remove(edge); fromNode.out--; toNode.in--; } } } } /** * 适用:无权有向图。带权图允许多重边,会随机干掉一条有向边。不带权的边唯一。 * 删除有向边 * @param fromId 起点编号 * @param toId 终点编号 */ public void removeEdgeDirect(Integer fromId, Integer toId){ removeEdge(fromId, toId); } /** * 适用:无权无向图。带权图允许多重边,会随机干掉一对无向边(无视权重)。不带权的边唯一。 * 删除无向边, 内部会调用两次removeDirect函数。 * @param fromId 起点编号 * @param toId 终点编号 */ public void removeEdgeUnDirect(Integer fromId, Integer toId){ removeEdge(fromId, toId); removeEdge(toId, fromId); } /** * * @param fromId 起点编号 * @param toId 终点编号 * @param weight 权重 * @return 返回满足的有向边 */ private Edge<V> search(Integer fromId, Integer toId, int weight) { Node<V> fromNode = nodes.get(fromId); Node<V> toNode = nodes.get(toId); if (fromNode != null && toNode != null) { Iterator<Edge<V>> iterator = edges.iterator(); while (iterator.hasNext()) { Edge<V> edge = iterator.next(); if (edge.from == fromNode && edge.to == toNode && edge.weight == weight) { return edge; } } } return null; } /** * 适用:带权有向图。 * 删除指定带权有向边(如果存在)。 * @param fromId 起点编号 * @param toId 终点编号 * @param weight 权重 */ public void removeEdgeWithWeight(Integer fromId, Integer toId, int weight){ Edge<V> edge = search(fromId, toId, weight); if (edge != null) { edges.remove(edge); nodes.get(fromId).out--; nodes.get(toId).in--; } } /** * 适用:带权无向图。 * 删除指定带权的无向边。 * @param fromId 起点编号 * @param toId 终点编号 * @param weight 权重 */ public void removeEdgeWithWeightUnDirect(Integer fromId, Integer toId, int weight) { removeEdgeWithWeight(fromId, toId, weight); // 删除有向边 removeEdgeWithWeight(toId, fromId, weight); // 删除反向边 } // @Override
// public boolean equals(Object o) {
// if (this == o) return true;
// if (o == null || getClass() != o.getClass()) return false;
// Graph<?> graph = (Graph<?>) o;
//
// } public boolean isSameGraph(Graph<V> other) { if (nodes.size() != other.nodes.size() || edges.size() != other.edges.size()) { return false; // 如果节点或边的数量不同,直接返回 false } //检查点集 for (Map.Entry<Integer, Node<V>> entry : nodes.entrySet()) { Node<V> otherNode = other.nodes.get(entry.getKey()); if (otherNode == null || !entry.getValue().value.equals(otherNode.value)) { return false; // 检查节点的值 } } // 检查边 for (Edge<V> edge : edges) { Edge<V> otherEdge = other.edges.stream() .filter(e -> e.from.id == edge.from.id && e.to.id == edge.to.id) .findFirst().orElse(null); if (otherEdge == null || edge.weight != otherEdge.weight) { return false; // 检查边的权重 } } return true; } /** * 该方法会合并另一个图. 进行深拷贝。 * 这里假定编码唯一。重复了的id则不添加。 * @param other 另一个图 */ public void union(Graph<V> other) { if(!isSameGraph(other)){ return ;//相同图不用合并。 } Graph<V> newGraph = other.deepCopy(); //合并点集 for(Map.Entry<Integer, Node<V>> entry : newGraph.nodes.entrySet()){ Integer id = entry.getKey(); if(!nodes.containsKey(id)){ Node<V> node = entry.getValue(); nodes.put(id,node); } } // 合并边集,避免重复边 for (Edge<V> edge : newGraph.edges) { if (!edges.contains(edge)) { edges.add(edge); edge.from.addEdge(edge); // 更新起点的边 edge.from.addNeighbor(edge.to); // 更新邻接关系 } } } public void contractNodes(Node<V> u, Node<V> v) { if (u == null || v == null || u == v) { return; // 空引用或自环的情况无法进行边收缩。 } // 合并两个顶点的值 V newValue = mergeValues(u.getValue(), v.getValue()); // 创建新节点,使用其中一个顶点的ID Node<V> newNode = new Node<>(u.getId(), newValue); // 更新边的起点和终点 for (Edge<V> edge : edges) { if (edge.from == u || edge.from == v) { edge.from = newNode; } if (edge.to == u || edge.to == v) { edge.to = newNode; } } // 删除原有的节点 nodes.remove(u.id); nodes.remove(v.id); // 添加新节点到图中 nodes.put(newNode.id, newNode); } private V mergeValues(V value1, V value2) { // 自定义合并逻辑 // 例如,可以选择返回一个合并后的值,或根据特定规则进行选择 return value1; // 示例:简单返回第一个值 } public Graph<V> deepCopy() { Graph<V> newGraph = new Graph<>(); // 先深拷贝点集:复制节点 for (Map.Entry<Integer, Node<V>> entry : nodes.entrySet()) { Node<V> originalNode = entry.getValue(); Node<V> newNode = new Node<>(originalNode.id, originalNode.value); newGraph.nodes.put(entry.getKey(), newNode); } // 然后复制边并建立关联 //遍历原图的边, 获取权重, 根据id来建立新节点的联系。 保证新节点关联边与原图逻辑上是一致的。 for (Edge<V> edge : edges) { //根据编号id操作新图 //操作新图, 根据id获取起点终点,两个图建立联系是通过id。 Node<V> fromNode = newGraph.nodes.get(edge.from.id); Node<V> toNode = newGraph.nodes.get(edge.to.id); Edge<V> newEdge = new Edge<>(fromNode, toNode, edge.weight); newGraph.edges.add(newEdge); fromNode.addEdge(newEdge); // 更新起点的边 fromNode.addNeighbor(toNode); // 更新邻接关系 } return newGraph; } /*查找*/ Edge<V> searchEdge(Node<V> from, Node<V> to){ for (Edge<V> edge : edges) { if (edge.getFrom() == from && edge.getTo() == to) { return edge; } } return null; } /*查找带权边 */ Edge<V> searchEdgeWithWeight(Node<V> from, Node<V> to, int weight){ for (Edge<V> edge : edges) { if (edge.getFrom() == from && edge.getTo() == to && edge.getWeight() == weight) { return edge; } } return null; }
}
Node类
package graph; import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.List;
import java.util.Objects; /** * @author AutumnWhisper * 回顾离散数学 */
public class Node<V> { int id;//编号 //顶点存储的值 V value; //入度 int in; //出度 int out; //直接可达结点表:顶点V的所有相邻顶点的集合.====直接邻居 ArrayList<Node<V>> nexts; //存储以该节点为起点的有向边。 ArrayList<Edge<V>> edges; //初始化默认顶点为孤立点 public Node(int id,V value) { this.id = id; this.value = value; this.in = 0; this.out = 0; this.nexts = new ArrayList<>(); this.edges = new ArrayList<>(); } //获取当前顶点的编号 public int getId() { return id; } //获取当前节点存储的有效值 public V getValue() { return value; } //设置当前节点存储的值 public V setValue(V value) { V oldVal = this.value; this.value = value; return oldVal; } //获取入度 public int getIn(){ return in; } //获取出度 public int getOut(){ return out; } //提供当前顶点的邻接顶点列表(不可修改) public List<Node<V>> getNexts(){ return Collections.unmodifiableList(nexts); } //提供以当前结点为顶点的关联边数。(不可修改) public List<Edge<V>> getEdges(){ return Collections.unmodifiableList(edges); } @Override public boolean equals(Object obj) { if (this == obj) return true; if (obj == null || getClass() != obj.getClass()) return false; Node<?> node = (Node<?>) obj; return id == node.id && in == node.in && out == node.out && (Objects.equals(value, node.value)) && nexts.equals(node.nexts) && edges.equals(node.edges); } @Override public int hashCode() { int result = Integer.hashCode(id); result = 31 * result + (value != null ? value.hashCode() : 0); result = 31 * result + Integer.hashCode(in); result = 31 * result + Integer.hashCode(out); result = 31 * result + nexts.hashCode(); result = 31 * result + edges.hashCode(); return result; } /** * 当前节点新增邻居 * @param neighbor 邻居 */ void addNeighbor(Node<V> neighbor){ nexts.add(neighbor); this.out++;//当前节点出度+1 neighbor.in++;//邻居入度+1 } /** * 当前节点删除邻居 * 不对边关系有任何处理 * 处理度数 */ void removeNeighbor(Node<V> neighbor){ nexts.remove(neighbor); this.in--; neighbor.out--; } /** * 当前节点新增边 * @param edge 边 */ void addEdge(Edge<V> edge){ edges.add(edge); } /** * */ void removeEdge(Edge<V> edge){ edges.remove(edge); }
}
Edge类
package graph; import java.util.Objects; //顶点不依赖边, 边依赖顶点
public class Edge<V> { //权重 int weight; Node<V> from;//起点 Node<V> to;//终点 //边依赖顶点的条数。 public Edge(int weight, Node<V> from, Node<V> to) { this.weight = weight; this.from = from; this.to = to; } public Edge(Node<V> from, Node<V> to, int weight) { this.weight = weight; this.from = from; this.to = to; } //用户提供的接口。 //获取权重 public int getWeight() { return weight; } //重新设置权重 public void setWeight(int weight) { this.weight = weight; } //获取边的起点 public Node<V> getFrom() { return from; } //设置边的起点 public void setFrom(Node<V> from) { this.from = from; } //获取边的终点 public Node<V> getTo() { return to; } //设置边的终点 public void setTo(Node<V> to) { this.to = to; } @Override public boolean equals(Object o){ if(this == o) return true; if(o == null || getClass() != o.getClass()) return false; Edge<?> edge = (Edge<?>) o; if(weight != edge.weight) return false; if(!Objects.equals(from, edge.from)) return false; return Objects.equals(to, edge.to); }
}
白雪尽皑皑, 天地我独行。
独行无牵挂, 孤影任去来。