4.5 高阶导数和高阶微分

【背景】【冲量定理和牛顿第二定律】一个物体速度的改变量是与受力的大小成正比，与受力的时间成正比，与物体的质量成反比。即$\Delta v=\frac{F\cdot \Delta t}{m}$
换一种写法，$F=m\cdot \frac{\Delta v}{\Delta t}$
物体在做匀变速运动，$\frac{\Delta v}{\Delta t}=a$为加速度，上式成为$F=ma$，即牛顿第二定律。
对一般的变速运动（可能是非匀变速运动），要考虑瞬时加速度，令$\Delta t\to 0$，得到$F(t)=m{v}^{\prime }(t)$
$v^{\prime }(t)=(v(t){)}^{\prime }=(s^{\prime }(t){)}^{\prime }=s^{\prime \prime }(t)$
【定义】$y=f(x)$，若$f^{\prime }(x)$仍然可导，则记它的导函数为$(f^{\prime }(x){)}^{\prime }=f^{\prime \prime }(x)$，称它为$f(x)$的二阶导数，也可记为$y^{\prime \prime }(x)$或$\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$（这个$d{x}^2$实际上是$(dx{)}^2$，并不是$x^2$求微分）或$\frac{d}{dx}(\frac{df}{dx})=\frac{d^{2}f}{d{x}^2}$.
若$f^{\prime \prime }(x)$仍然可导，则它的导数称为$f(x)$的三阶导数，记为$f^{\prime \prime \prime }(x)$或$y^{\prime \prime \prime }(x)$或$\frac{d}{dx}(\frac{d^{3}y}{d{x}^3})=\frac{d^{3}y}{d{x}^3}$，$\frac{d}{dx}(\frac{d^{3}f}{d{x}^3})=\frac{d^{3}y}{d{x}^3}$
从四阶开始，记为$f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),...,f^{(n)}(x)$
【定义4.5.1】若$f(x)$的$n-1$阶导数$f^{(n-1)}(x)$仍然可导，则它的导数记为$(f^{(n-1)}(x){)}^{\prime }=f^{(n)}(x)$或$y^{(n)}(x)$或$\frac{d^{n}f}{d{x}^n}$或$\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$.


【例4.5.1】求$y=e^x$的高阶导数。
【解】$(e^x{)}^{\prime }=e^x,(e^x{)}^{\prime \prime }=((e^x{)}^{\prime }{)}^{\prime }=(e^x{)}^{\prime }=e^x$
所以$(e^x{)}^{(n)}=e^x$.


【例】求$y=a^x$的高阶导数。
【解】$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a,((a^x{)}^{\prime }{)}^{\prime }=a^x(\ln x{)}^2,...,(a^x{)}^{(n)}=a^x(\ln a{)}^n$


【例4.5.2】求$y=\sin x$的高阶导数
【解】$y^{\prime }=\cos x=\sin (x+\frac{\pi }{2}),y^{\prime \prime }=-\sin x=\sin (x+\pi ),,y^{\prime \prime \prime }=-\cos x=\sin (x+\frac{3\pi }{2}),y^{(4)}=\sin x=\sin (x+2\pi ),...y^{(n)}=\sin (x+\frac{n\pi }{2})$.
【注】同理，$(\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+\frac{n\pi }{2})$