数学中的直觉、联想和抽象漫谈

直觉、联想和抽象不是孤立存在的，而是相互交织、共同作用的。构成了我们认知理解世界的不可或缺的三种能力。我们应该重视并培养这些思维能力，以更好地适应不断变化的世界。

在数学的世界里，直觉、联想和抽象是数学思维中至关重要的三个要素，它们在数学的发现、理解和创新过程中发挥着独特而互补的作用。

直觉、联想和抽象能力是紧密相连的。它们共同构成了人类高级认知能力的重要部分，在思维和学习过程中相互促进、相互强化。培养这些能力时，采取整体性的方法，注重它们之间的联系和互动，可能会取得更好的效果。本文是对数学中的直觉、联想和抽象能力的培养的漫谈（可能挂一漏万），一己之言，观点也可能有待商榷，权作抛砖引玉。

直觉、联想和抽象概述

直觉

直觉是一种非逻辑、非分析性的思维方式，它依赖于个体的内在感知和经验积累，能够迅速而直接地把握事物的本质或趋势。直觉往往表现为一种“灵光一闪”的领悟，不需要经过复杂的推理过程。

然而，直觉并非总是可靠。它可能受到个人偏见、情绪状态或经验水平的影响。因此，在依赖直觉做出决策时，我们需要保持谨慎，并结合其他思维方式进行验证。

直觉是指人们在没有经过深入分析或逻辑推理的情况下，对问题或事物所产生的直接感知或理解。在数学中，直觉可以帮助我们：

• 快速感知规律：通过观察和经验，直接感受到某些数学模式或关系。
• 指导探索方向：在解决问题时，直觉可以指引我们尝试可能有效的方法。
• 促进概念理解：通过直观的感受，帮助理解抽象的数学概念。

注意，直觉并非总是准确的，特别是在高等数学领域，直觉可能与实际情况不符。因此，利用直觉时，需要注意警惕反直觉情况，需要结合严谨的逻辑推理，对直觉的结论进行验证。

联想

联想是一种将不同事物或概念之间建立联系的能力。它依赖于个体的记忆和经验，通过寻找共同点或相似性，将看似无关的事物联系起来。

联想在创新思维和问题解决中发挥着重要作用。通过联想，我们可以将不同领域的知识和技能相互融合，产生新的想法和解决方案。

此外，联想还有助于我们记忆和理解信息。通过将新信息与已有的知识框架相联系，我们可以更容易地记住并理解这些信息。

联想是指由一个概念或事物引发对相关概念或事物的思考。在数学中，联想帮助我们：

• 启发新思路：通过联想到类似的问题或方法，找到解决当前问题的新途径。
• 建立知识网络：将不同的数学概念和领域联系起来，形成系统的知识结构。
• 促进创新：在联想中迸发灵感，可能产生新的数学发现。

抽象

抽象是一种从具体事物中提炼出普遍规律或本质特征的能力。它允许我们超越个别现象，把握事物的共性和内在联系。

抽象思维使我们能够超越眼前的事物，看到更广阔的世界和更深远的意义。

抽象是指从具体事物中提炼出共同的、本质的特征，形成一般性的概念或理论。在数学中，抽象使得我们能够：

• 统一不同问题：通过抽象，发现看似不同的问题实际上具有相同的结构。
• 建立理论框架：抽象的概念是数学理论的基石，例如群论、拓扑学等。
• 提高理解深度：通过抽象，深入把握数学对象的本质。

三者的相互关系

• 直觉是联想和抽象的基础：直觉提供了最初的感性认识，启发我们进行联想和抽象。
• 联想连接直觉和抽象：通过联想，我们将直觉的感性认识与抽象的理性思考联系起来。
• 抽象深化直觉和联想的成果：抽象升华了直觉的感受和联想的启示，形成严谨的数学理论。

直觉、联想和抽象是数学思维中不可或缺的要素。它们相互作用，促使我们从感性认识到理性思考，从具体问题到一般理论。通过有意识地培养和运用直觉、联想和抽象，我们可以提升数学学习和研究的效率和成果，享受数学探索的美妙旅程。

直觉、联想和抽象能力的培养

数学直觉能力的培养

数学直觉是一种在数学思考和问题解决过程中快速、自然地把握核心概念或关键解决方向的能力。它通常不依赖于详细的逻辑推理过程，而是基于深厚的数学经验和理解。

数学直觉是数学能力的重要组成部分，它与逻辑推理能力相辅相成，共同构成了完整的数学思维。培养良好的数学直觉可以帮助学生更有效地学习和应用数学，提高解决问题的效率和创造性。

感性认识和直觉的关系

是相关但不完全相同的概念（并不完全是一回事）。

感性认识是指通过感官直接获取的知识，是对外界事物的直接体验和观察。它通常依赖于感觉、经验和具体事物的接触，强调的是对现实世界的具体理解。感性认识是获取外部信息的基础，是人们了解世界的起点。

直觉则是一种快速、无意识的认知过程，能够在复杂多变的环境中提供及时快速的反应机制，常常是在没有经过深思熟虑或逻辑推理的情况下，对某个问题或情况产生的一种即时判断或初步认识。直觉可能基于个人经验、潜意识的信息处理以及对环境的敏锐感知反馈。

共同点：两者都涉及到非理性的、直接快速的认知方式，不依赖于系统化的逻辑推理。

区别：感性认识更侧重于通过感觉获得的信息，而直觉则更多地涉及内心深处对某种情境或问题的迅速把握。或者说，感性认识更多地与直接的感官体验和情感反应相关，而直觉则可能涉及更复杂的认知处理，包括对过往经验的无意识整合。

感性认识与直觉之间存在一种互动关系。感性认识为我们的直觉提供了丰富的素材，而直觉则可以在不完全确定的情况下引导我们做出合理的选择。

在实际中，这两种认知方式常常是交织在一起的。例如，一个有经验的厨师通过多年的烹饪实践（感性认识），能够在没有精确测量的情况下凭直觉调配调料。又如，一个有经验的医生在诊断时，可能会结合对病人症状的直接观察（感性认识）和多年临床经验形成的“第六感”（直觉）来做出判断。

感性认识可能受个人偏见或环境限制的影响，从而影响直觉的准确性。感性认识的局限性

a) 主观性：

感性认识往往受个人经验和文化背景的影响，可能导致偏见或误解。

b) 尺度限制：

人类的感官知觉能力受限于特定的尺度范围。我们无法直接感知微观粒子或宇宙尺度的现象。

c) 复杂性：

某些系统（如气候或经济）过于复杂，仅凭直观感受难以全面把握。

直觉，尽管有时非常准确，但也可能导致判断错误，特别是在不熟悉的领域。

感性认识是通过感官获得的具体经验，可以为直觉提供基础。而直觉是一种快速的、往往基于经验的、直观的判断。直觉可以快速整合我们过去的经验和当前可获得的信息，帮助我们做出决策。理想的决策过程应该平衡感性认识、直觉和理性分析。

直觉是一种特殊的思维活动，它既不同于逻辑，又不同于经验，是一种介于逻辑与经验之间的，有一定色彩的创造性思维活动，数学直觉在解决数学问题过程中往往可以发挥思路引领的作用。

数学直觉与严谨性的关系

虽然数学直觉在数学学习和解决问题中发挥着重要作用，但它并不总是可靠的。因此，在数学中，直觉需要与严谨性相结合。个体在凭借直觉得出某个结论后，需要通过严格的证明来验证其正确性。同时，个体也需要通过学习和实践来不断提高自己的数学直觉能力，以便更准确地把握问题的本质和得出正确的结论。

直觉在数学学习和解决问题中发挥着重要作用，但也需要与严谨性相结合。直觉有时也会导致误导。例如，在比较两个分数的大小时，个体可能会直觉地认为分母小的分数更大，但实际上这是不正确的。正确的比较方法应该是将两个分数转化为具有相同分母的形式，然后比较它们的分子。

数学直觉示例，要计算一个由多个简单形状组合成的复杂图形的面积，可以将其分解为几个基本图形（如矩形、三角形、圆等），分别计算它们的面积，然后适当加减处理。

解题的基本思路是，通过直觉观察，采用分割、切拼、旋转、平移、翻折、缩放、等积替换等方法，把不规则图形转化为规则图形（或规则图形面积的和差），让隐蔽条件明朗化，再合理运用面积公式，巧求不规则图形面积。

例如，求下图中阴影部分的面积。（单位厘米）

从整体上看，上图是由一个直角三角形和两个以直角边为直径的半圆组合而成的，可以分别求出这3个规则图形的面积，再求出图形总面积。

阴影部分面积就是图形总面积与以斜边为半径的半圆的面积之差。

数学直觉能力的培养是一个复杂而长期的过程，需要多方面的努力和策略。以下是一些培养数学直觉的方法和建议：

1.深入理解基本概念

要培养良好的数学直觉，首先需要牢固掌握基本概念。这包括：

    仔细学习每个新概念的定义和属性

    探索概念之间的联系

    尝试用自己的话重新表述概念

    思考概念在实际问题中的应用

2.大量练习

通过大量练习，我们可以：

    熟悉不同类型的问题

    发现问题间的共同模式

    培养快速识别问题关键信息的能力

    提高解题速度和准确性

3.可视化

将抽象概念可视化可以帮助我们：

    更直观地理解复杂概念

    发现不同概念间的联系

    激发创造性思维

可以尝试画图、使用图表或者借助数学软件来实现可视化。

4.探索多种解法

对于同一个问题，尝试寻找不同的解决方案可以：

    加深对问题本质的理解

    发现概念间的新联系

    培养灵活思考的能力

5.关注模式和规律

在学习和解题过程中，要注意观察和总结：

    数字间的规律

    图形的变化模式

    不同问题类型的共同特征

这有助于培养识别模式的能力，从而更快地理解新问题。

6.实际应用

将数学知识应用到实际问题中可以：

    加深对概念的理解

    培养将抽象概念具体化的能力

    提高解决实际问题的能力

可以尝试在日常生活中寻找数学应用的例子，或者参与一些应用数学的项目。

7.跨学科学习

数学与其他学科有着密切的联系。通过跨学科学习，我们可以：

    拓展数学思维的应用范围

    发现数学在不同领域的应用

    培养创新思维能力

8.讨论和交流

与他人讨论数学问题可以：

    交流不同的解题思路

    学习他人的思考方式

    发现自己思维中的盲点

    提高表达数学思想的能力

9.反思和总结

在学习和解题后进行反思和总结可以：

    巩固所学知识

    发现自己的优势和不足

    制定有针对性的学习计划

10.保持好奇心和开放心态

对数学保持好奇心和开放心态可以：

    激发学习兴趣

    主动探索新概念

    培养创新思维

11.阅读数学史和数学家传记

了解数学发展历史和数学家的思考过程可以：

    理解数学概念的演变

    学习伟大数学家的思维方式

    激发对数学的热情

直觉的局限性

受经验限制：直觉基于个人经验，可能不适用于陌生的领域。

存在认知偏见：直觉判断可能受到刻板印象和偏见的影响，导致错误的结论。直觉可能导致对自然现象的误解，例如认为重物下落得更快。

难以处理复杂问题：对于复杂的、非线性的系统，直觉往往无能为力。

反直觉

反直觉，是指与直觉判断或常识相悖的观点、现象或结果。反直觉的事物通常会让人感到意外、困惑，甚至难以接受。

反直觉示例

例1、古印度国王奖励国际象棋的发明者

传说古印度有一位智者发明了国际象棋。他将这款充满智慧和策略的游戏呈献给国王。国王对这款新颖的游戏赞叹不已，深感其教育和娱乐价值，决定要重重奖励他，当国王问及他想要什么奖赏时，发明者谦逊地说道：“陛下，只请求您在棋盘的第一个格子放一粒米，第二个格子放两粒米，第三个格子放四粒米，每个格子上的米粒数量都比前一个格子翻一倍，直到64个格子都放满。”

国王听后，认为这是一个非常谦虚且简单的要求，欣然同意。然而，当国王的财务官真正开始计算所需的米粒总数时，却发现这是一个天文数字。

分析计算：

第一格放1粒米，每一格的米粒是前一格的2倍，象棋棋盘共64格，米粒总数= 1+2+4+8+⋯+ = −1 = 18,446,744,073,709,551,616 - 1 = 18,446,744,073,709,551,615 粒米

1蒲式尔(计量单位折合35.2升)麦子约有500000颗，把这个数折成蒲式尔，那就得给西萨·班拿来四万亿蒲式尔才行。这位宰相所要求的竟是全世界在两千年内所生产的全部小麦。

这件事告诉我们，在面对指数级增长时，直觉可能会产生很大偏差。

例2、蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）

问题描述：有三个门，其中一个门后有汽车，另外两个门后是山羊。你先选择一个门，然后主持人（知道门后的奖品）打开了另一个没有汽车的门，问你是否要换门。

直觉判断：

留在原来的选择与换门中奖概率应该是一样的，各为1/2。

反直觉的事实：

换门的中奖概率是2/3，不换门的中奖概率是1/3。

解析

直觉误以为：

    剩下两扇门中汽车在任一门后的概率相等

    所以改变与不改变的获奖概率都是1/2，换不换都一样

主要认知误区：

    忽视了主持人的行为是有信息的

    错误认为剩下两门等价

    没有考虑条件概率

正确分析：

主持人行为提供的信息：

   主持人知道所有门后的情况，他总是会打开一个没有大奖的门。

   当他打开门，露出山羊时，他实际上提供了额外的信息。

额外的信息令概率重新分配（改变了概率分布）：

    如果大奖在你最初没有选择的两个门（概率2/3），主持人打开一个没有大奖的门后，这个2/3的概率全部集中到剩下的未打开的门上。

    如果大奖在你最初选择的门（概率1/3），那么换门你就会输。

结论

    不换门： 你赢的概率仍然是初始的1/3。

    换门： 你赢的概率是2/3，因为你利用了主持人提供的信息，把原先在两个门上的2/3概率全部转移到了另一扇门上。【更详细介绍，可参见https://blog.csdn.net/cnds123/article/details/114950775 】

在依赖直觉时，需要注意可能存在反直觉的情况。直觉并非总是可靠的，特别是在面对复杂、陌生或高度抽象的问题时，直觉可能会与实际情况不符。

    直觉受文化、环境和教育的影响，可能存在偏差。

    人们倾向于寻找支持自己直觉的证据，忽略反例。

    许多科学现象本质上是反直觉的，依赖直觉可能导致误解。复杂系统的行为可能与直觉预期大相径庭。

数学历史显示，在许多关键时刻，直觉被反直觉的思想挑战，而这些挑战往往是数学发展的重要转折点。

在数学的发展过程中，直觉起到了基础的作用，但随着数学领域的不断拓展和深化，直觉在一定程度上受到了反直觉概念的挑战。

需要注意的是认知突破有时需要反直觉。可以说，数学从被确定为一种精确科学的时刻起，就开始尝试研究并利用那些违背日常直觉的概念，而这些概念往往成为推进数学理论和应用的重要力量。反直觉的数学问题不仅挑战我们的理解极限，还不断地推动科学的前进和技术的发展。

数论领域

    古代人难以接受“比零还小的数”，现在人比较容易理解负数的意义。

    虚数的引入（突破了“负数没有平方根”的直觉）

几何领域

    非欧几何（突破了欧氏几何的直觉认知）

集合论

    无穷集合的不同势（挑战了“大小”的直觉概念）

    康托尔对角线法（证明了实数不可数）

今天的反直觉可能成为明天的直觉：

古代人难以接受地球围着太阳转，最初被认为是反直觉的。经过科学验证和教育普及，我们现在直觉地接受地球绕太阳转。

又如，古代人难以接受“比零还小的数”，现在人比较容易理解负数的意义。

“今天的反直觉可能成为明天的直觉”的启示：

    认知是不断发展的；

    要以开放心态对待新事物；

    通过学习和实践可以形成新的直觉认知；

    这个过程推动了人类知识和技术的进步。

对反直觉的应有态度

保持开放心态：对于与直觉不符的现象，保持好奇心，积极探索其背后的原因。

寻求证据：通过实验、数据验证反直觉的观点，避免盲目拒绝或接受。

培养理性思维：加强逻辑推理和批判性思维的训练，提升对复杂问题的处理能力。

数学发展中直觉与反直觉的辩证关系：直觉为数学奠定了初始基础，而反直觉概念的引入则推动了数学的深化发展。这种发展模式不仅体现了数学的特殊魅力，也启示我们在学习和研究过程中要：

    善用直觉但不过分依赖。

    勇于接受反直觉但须严谨论证。

    在两者的互动中推动认知提升和创新发展。

直觉的特点：

• 基于经验和常识的快速判断
• 依赖已有知识的自然推理
• 往往是第一反应和本能思维

反直的特点觉：

• 与常识和经验相悖的认知
• 需要深入思考才能理解的结论
• 往往带来新的认知突破

两者的基本关系：

• 相互补充而非对立
• 反直觉往往建立在对直觉的突破上
• 今天的反直觉可能成为明天的直觉

利用直觉是人类快速决策的重要方式，但需要警惕直觉的局限性和可能的误导。通过结合理性分析和客观验证，我们可以在发挥直觉优势的同时，避免因为反直觉的存在而做出错误的判断。

数学联想能力的培养

数学联想是一种思维能力，指在数学学习和问题解决过程中，能够在不同的数学概念、方法、问题或领域之间建立联系的能力。这种能力对于深入理解数学概念和创新性解决问题至关重要。

数学联想能力的培养可以帮助学生：

• 更深入、全面地理解数学概念
• 灵活运用数学知识解决问题
• 发展创造性思维
• 提高学习效率，因为新知识可以与已有知识建立联系
• 增强对数学的兴趣，看到数学内部的联系和与现实世界的关联

培养这种能力需要长期的练习和引导，可以通过提供多样化的问题、鼓励开放性思考、展示数学内部和跨学科的联系等方式来帮助学生发展数学联想能力。

联想形式或方法分类：

☆数形联想

在研究定理和证明时，通过数与形的结合来理解问题，比如利用几何直观来证明代数结论，

例、几何与代数的联系

任务: 理解(a + b)²的几何意义

过程:

画一个边长为(a + b)的正方形

将正方形分割成四部分: a²、b²、ab、ab

联想到代数展开式: (a + b)² = a² + 2ab + b²

培养效果: 学生学会在几何和代数之间建立联系,加深对公式的理解。

类似地，理解(a - b)²的几何意义

☆形象化联想

形象化联想：将抽象的数学对象形象化，有助于降低理解难度。通过具体的图形、模型或生活实例，使抽象概念变得更加具体可感。例如，理解负数

想象一个温度计：

    零度是中间点

    向上是正数（暖和的温度）

向下是负数（寒冷的温度）

这帮助理解：负数的概念；正负数的相对位置；数轴的结构。

☆逆向联想

逆向联想是指从结果出发，反推过程或原因的思维方式。如警察破案：

警察常常运用逆向联想来破案。他们会从犯罪现场的结果出发，逆向推导出犯罪嫌疑人的动机、行为过程等。这种方法有助于侦探们更快地找到真相。

在数学中，使用逆向联想可以帮助人们理解某些概念或解题步骤。

例1、几何证明，证明两个三角形全等时：

不是直接从已知条件出发

而是从“要证明两个三角形全等”这个目标出发

回想全等的判定定理(边角边/角边角等)

查看已知条件中是否具备这些要素

例2、函数图像

画函数 y = (x - 2)² + 3 的图像：

不是直接代点画图

而是从标准的二次函数 y = x² 出发

逆向思考变换过程：

向右平移2个单位

向上平移3个单位

通过逆向思考变换过程，从标准的二次函数 y=x²出发，先向右平移2个单位得到 y=(x−2)²，再向上平移3个单位得到 y=(x−2)²+3，据此画出了函数的图像。

☆结构化联想

结构化联想是一种将数学概念组织成有序、系统的关系网络的思维方法。这种方法可以帮助更好地理解数学概念之间的联系，从而形成更全面、深入的理解。

将几何图形组织成一个层次结构：

这种结构有助于理解几何概念的层次性：

    图形之间的关系和共性

    特殊图形的性质

☆类比联想

通过将一个数学问题或概念与另一个已知的问题或概念进行比较，找出相似之处并加以利用。帮助理解新概念、推广已有知识、解决复杂问题。例如，将函数想象成一个神奇的机器：

    输入一个数（x）

    机器按照特定规则处理

    输出另一个数（y）

例如，f(x) = 2x + 1：

    输入 3

    机器将其翻倍（6）然后加 1

    输出 7

这有助于理解：

    函数的输入输出关系

    函数规则的应用

☆归纳联想：

通过观察特殊情况的规律，推断出一般性的结论或原理。例如，奇数的平方减一可以被 8 整除：

列出前几个奇数的平方：

    1²=1，1−1=0，被 8 整除

    3²=9，9−1=8，被 8 整除

    5²=25，25−1=24，24 被 8 整除

    7²=49，49−1=48，48 被 8 整除

    发现规律：奇数的平方减一，总是 8 的倍数。

☆跨学科联想：

将数学与其他学科（如物理、计算机科学、生物学等）的知识联系起来，以获得更深入的理解或解决跨学科问题。例如，将指数函数应用到生物学，理解增长的快速性。

引入生物学中的细菌繁殖：

    某种细菌每小时繁殖一倍，初始有 100 个细菌。

    经过 n 小时后，细菌数量N=100×2ⁿ 。

需要注意的是，应提倡个体根据自身特点发展适合自己的思维方式，每个人的思考路径和联想方式可能有所不同，不同的人或文献对此的看法并不一致，这种多样性反映了数学思维的丰富性和复杂性。

解决实际问题时，联想的各种方法之间确实是相互联系的，需要综合运用。运用不同的联想方法，可以将抽象的数学概念与直观的图形、熟悉的事物或其他学科的知识联系起来。这不仅有助于加深理解，提高学习兴趣，也培养了创造性思维和问题解决能力。联想方法还可以与其他思维技巧和策略结合使用，以增强解决问题的能力和创造力。

数学抽象能力的培养

数学抽象是指在数学研究中，通过对具体对象和现象的分析，舍弃非本质的、偶然的属性，提炼出共同的、本质的特征，形成一般性的概念、定理和理论的过程。这种过程包括概念的形成、符号的引入、结构的定义，以及公理化的建立。

数学抽象是理解和研究数学的基础。数学抽象在接近世界本质的过程中具有独特的优势，能够突破感性认识的局限，提供更深刻和普遍的理解，特别是在处理超出人类直接感知范围的现象时。感性认识也是不可或缺的，它为抽象思维提供了基础。因此，最有效的途径是将二者结合，发挥各自的优势，用感性认识启发和验证数学模型，用数学抽象扩展和深化我们对世界的理解。这种结合不仅在科学研究中至关重要，在日常生活中也有广泛应用。

数学抽象的优势

a) 普适性：

数学抽象能够提取事物的共性，建立普遍适用的定理和理论。这种抽象能够超越个别现象，为理解复杂系统提供更为清晰的框架。数学抽象常常能揭示表面上看似无关的现象之间的深层联系。例如，牛顿的万有引力定律以数学形式表达了物体间的引力关系，具有普适性。

b) 超越感官限制：感性认识依赖于我们的感官和直接经验，可能受到主观和环境的限制。而数学抽象不受这些限制，能够探索无法直接感知的领域，如四维空间、量子力学等。

c)提供精确描述：

数学提供了一种精确的语言，这种精确性在科学研究和技术应用中尤为重要，能够准确描述复杂系统的行为和特性。复杂的现实问题可以被转化为数学模型，这有助于我们对世界进行定量分析和预测。例如，物理学中用微分方程描述运动规律，这种抽象化的过程帮助我们理解自然法则。

数学抽象的作用和意义
    抽象的方法有助于将不同领域的数学统一起来，形成更深刻更广泛更高的的理论。
    通过抽象，可以将复杂的问题转化为更为一般的形式，便于分析，揭示隐藏在具体现象背后的规律。
    抽象化的研究有助于发现深层次的规律和联系。

抽象思维是一种将具体事物提取出共性、规则或结构，并进行概括和整理的思维方式。

如何培养抽象思维能力：

寻找模式：在具体例子中寻找共同点和规律。

去除具体细节：专注于本质特征，忽略不相关的细节。

使用符号和变量：用符号代替具体数字或对象。

思考一般化：尝试将特定情况推广到更广泛的情况。

建立联系：寻找不同概念之间的联系。

反思和元认知：思考你的思维过程，理解为什么某些抽象是有效的。

1.笛卡尔坐标系是数学抽象的一个优秀例子。

笛卡尔坐标系将平面几何（二维空间）中的点和图形用代数方法表示，实现了几何与代数的统一。这一抽象使得复杂的几何问题可以通过代数方程来解决。笛卡尔坐标系为解析几何、物理学等领域的发展奠定了基础。

抽象过程：

a) 起点：平面上的点和线

b) 引入参考点（原点）和参考线（坐标轴）

c) 用数对(x, y)表示点的位置

d) 将几何问题转化为代数方程

2. 七桥问题

七桥问题是图论的起源，展示了如何通过抽象简化复杂问题。欧拉将柯尼斯堡七桥问题中的桥和陆地区域抽象为图中的节点和边，忽略了实际的地理距离和形状。

问题背景：18世纪的哥尼斯堡市有七座桥连接河中的两个岛屿和河岸。问题是能否不重复地走过所有的桥。

欧拉把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，他发现：如果有两个奇点，则必须从其中一个奇点出发，另一个奇点终止；如果奇点不存在，则可以在任意点出发，最终一定会回到该点（路径不能重复）。

用专业一点的语言说：如果一个图是连通（无向图）的，且最多只有两个奇点（奇点数目为0或者2），则一定存在欧拉回路。欧拉开创了数学新一分支——图论。

抽象过程：

a) 开始于具体的地理问题

b) 忽略无关的地理细节（如河流宽度、岸边距离等）

c) 将陆地抽象为点（顶点），桥抽象为线（边）

d) 形成图的概念：由顶点和边组成的结构

将陌生的抽象问题转化为熟悉的抽象问题是一项非常有价值的技能。如何将陌生的抽象问题转化为熟悉的抽象问题，下面举几个简单的例子。

将陌生的抽象问题转化为熟悉的抽象问题，转化应遵循的基本原则：

(1)类比原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。

(2) 分解简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。

(3)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。

(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

类比法

技巧：将陌生的问题与熟悉的问题进行比较，找出相似之处，从而借鉴熟悉问题的解决方法。

1)函数与机器

将函数的概念类比为一个输入输出机器，这可以帮助学生理解函数的本质。

例1、f(x) = 2x + 1 可以想象成一个机器：

• 输入：任何数字 x
• 机器操作：将输入数字乘以 2，然后加 1
• 输出：处理后的结果

这种类比使抽象的函数概念变得具体和可视化，更容易理解。

2) 指数函数与细胞分裂

将指数增长类比为细胞分裂过程，可以帮助学生理解指数函数的快速增长特性。

例2、2ⁿ可以类比为细胞每次分裂都变成两个：

x = 0：1 个细胞（开始时）

x = 1：2 个细胞（1 次分裂后）

x = 2：4 个细胞（2 次分裂后）

x = 3：8 个细胞（3 次分裂后）

这种类比使抽象的指数增长变得具体和可视化。

分解问题

技巧：将复杂的抽象问题分解为几个简单的小问题，逐一解决。

例、一个长方形游泳池长12米，宽8米。如果要在池子周围铺设一圈宽度为1.5米的过道，问过道的面积是多少？

分解步骤：

1) 计算包含过道的大长方形的长和宽

2) 计算大长方形的面积

3) 计算游泳池的面积

4) 用大长方形面积减去游泳池面积得到过道面积

解决过程：

a) 大长方形：长 = 12 + 2 × 1.5 = 15 米，宽 = 8 + 2 × 1.5 = 11 米

b) 大长方形面积 = 15 × 11 = 165 平方米

c) 游泳池面积 = 12 × 8 = 96 平方米

d) 过道面积 = 165 - 96 = 69 平方米

借助实际生活经验直观化

技巧：将抽象问题与日常生活经验联系起来，将陌生的问题转化为熟悉的问题，增强理解。

例、百分数的应用：

在学习百分数时，可以联系打折购物的问题。例如，商品原价100元，打八折出售，实际价格为 100×80%=80100×80%=80 元。通过购物经验理解百分数的计算。

正难则反

技巧：当从问题的正面去思考问题，遇到阻力难以下手时，可通过逆向思维，从问题的反面出发，逆向地应用某些知识去解决问题。 “反证法”就是。

例子：证明在自然数集合中不存在最大的质数。

解答：

1.假设相反命题成立：假设存在最大的质数，记作pp。

2.构造新数：N=p!+1，其中p!表示从1到p的阶乘。

3.分析N的性质：对于任意小于或等于p的质数q，q都不能整除N，因为：

N÷q=(p!+1)÷q

由于p!能被q整除，p!÷q的余数为0，所以(p!+1)除以q的余数为1。

4.得出结论：因此，N要么是质数，要么有大于p的质因数。这与p为最大的质数的假设矛盾。

5.结论：假设错误，故自然数中不存在最大的质数。

需要注意的是，在实际问题解决中，思维活动是一个复杂的过程，直觉、联想和抽象这三种思维活动往往是交织在一起的。例如，在面对一个复杂的数学问题时：

    直觉可能首先提供一个大致的解决方向。

    抽象思维帮助我们将问题简化，提取核心要素。

    联想思维可能将问题与之前解决过的类似问题联系起来。

    这种联想又可能激发新的直觉。

    利用直觉时，需要警惕直觉的局限性和可能的误导。

    然后可能会再次运用抽象思维来精炼和形式化解决方案。

这三种思维能力，并非严格按顺序进行，而是常常交织在一起，根据问题的性质和解决过程的需要灵活运用。培养和平衡这三种思维能力，可以显著提高我们的问题解决效率和创新能力。

总之，人类的思维过程是高度复杂和整合的，很难将其清晰地分割成独立的部分。直觉、联想和抽象这三种思维活动的边界在实际思考过程中常常是模糊的，它们之间存在着复杂的交互和重叠。不同人可能以不同方式整合这些思维活动，导致边界更加模糊。在实际思维过程中，这三种思维活动相辅相成、互为影响（这些活动可能快速切换或同时进行），共同促进人类的理解和创造。