首先看下述函数：
最小值为x=0，y=0处
先了解下它的梯度特征。了理解其梯度特征，我们需要计算其梯度向量。
梯度向量 ∇f 是函数 f 在每个变量方向上的偏导数组成的向量。具体来说：
∇f=(∂f/∂x,∂f∂/y)
首先，我们计算 f 对 x 的偏导数：
∂f/∂x=10/x​
接着，我们计算 ff对 yy的偏导数：
∂f/∂y=2y
因此，梯度向量 ∇f为：
∇f=(x/10,2y)

从梯度向量的表达式可以看出：
在 x轴方向上，梯度分量是 x/10，这意味着梯度在 x轴方向上的变化相对较小，因为 x的系数是 1/10​，这是一个较小的数。
在 y 轴方向上，梯度分量是 2y，这意味着梯度在 y轴方向上的变化相对较大，因为 y的系数是 2，这是一个较大的数。

因此，这个函数的梯度特征是：在 y轴方向上变化较大，而在 x轴方向上变化较小。换句话说，函数 f在 y轴方向上的变化比在 x轴方向上的变化更为显著。
梯度图如下图所示：
我们应用随机梯度下降（SGD）方法，从初始点 (x,y)=(−7.0,2.0)开始搜索，SGD会呈“之”字形移动，是一个相当低效的路径，如下图所示：
是由于以下几个原因：
1.梯度方向的变化：
在给定的函数 f=120(x2)+y2f=201​(x2)+y2 中，梯度向量 ∇f=(x/10,2y)) 在不同点的方向是不同的。
初始点 (−7.0,2.0)处的梯度向量为 (−7.0/10,2⋅2.0)=(−0.7,4.0)
这意味着在初始点，梯度在 y轴方向上的分量（4.0）远大于在 x 轴方向上的分量（-0.7）。
2. 学习率的影响：
学习率（步长）的选择会影响搜索路径。如果学习率过大，可能会导致在 yy 轴方向上过度移动，而在 xx 轴方向上移动不足，从而形成之字形路径。
如果学习率过小，虽然可以避免之字形路径，但收敛速度会变慢。
3.局部最小值和鞍点：
在某些情况下，函数可能存在局部最小值或鞍点，这些点可能会导致SGD在搜索过程中来回摆动，形成之字形路径。
4. 随机性：
SGD方法中包含了随机性，每次迭代时只使用部分数据（或单个数据点）来计算梯度，这可能导致梯度估计的不稳定性，从而形成之字形路径。

为了更具体地理解为什么会出现之字形移动，我们可以考虑以下步骤：
初始点 (−7.0,2.0)
梯度向量 (−0.7,4.0)
如果学习率 ηη 较大，更新后的点可能为 (−7.0−η⋅(−0.7),2.0−η⋅4.0)，即 (−7.0+0.7η,2.0−4η)
更新后的点：
如果 η 较大，y轴方向上的移动会显著大于x 轴方向上的移动，导致点在 y轴方向上大幅移动，而在 x 轴方向上移动较小。
这种不平衡的移动可能导致点在 y 轴方向上来回摆动，形成之字形路径。
综上所述，SGD方法在从 (−7.0,2.0)处开始搜索时，由于梯度方向的变化、学习率的影响以及随机性等因素，可能会呈现出之字形移动。

因此，SGD的缺点是，如果函数的形状非均向，比如呈延伸状，搜索的路径就会非常低效。因此，我们需要比单纯朝梯度方向前进的SGD更聪明的方法。SGD低效的根本原因是，梯度的方向并没有指向最小值的方向（在复杂的非凸优化问题中，函数可能存在多个局部最小值和鞍点。SGD可能会陷入这些不良点，导致优化过程停滞不前）。

改进SGD的方法

为了克服SGD的低效性，研究者们提出了许多改进方法，包括：
动量（Momentum）：通过引入动量项，减少梯度噪声的影响，加速收敛。
自适应学习率方法：如AdaGrad、RMSprop、Adam等，根据参数的历史梯度自动调整学习率。
二阶优化方法：如牛顿法、拟牛顿法等，利用二阶导数信息加速收敛。
正则化技术：如L1、L2正则化，防止过拟合，提高模型的泛化能力。
批量归一化（Batch Normalization）：通过归一化输入数据，加速训练过程。

动量（Momentum）:在此例中应用Momentum方法，虽然x轴方向上受到的力非常小，但是一直在同一方向上受力，所以朝同一个方向会有一定的加速。反过来，虽然y轴方向上受到的力很大，但是因为交互地受到正方向和反方向的力，它们会互相抵消，所以y轴方向上的速度不稳定。因此，和SGD时的情形相比，可以更快地朝x轴方向靠近，减弱“之”字形的变动程度。如下图所示：
AdaGrad：AdaGrad会为参数的每个元素适当地调整学习率。参数的元素中变动较大（被大幅更新）的元素的学习率将变小。也就是说，可以按参数的元素进行学习率衰减，使变动大的参数的学习率逐渐减小。如下图所示：
函数的取值高效地向着最小值移动。由于y轴方向上的梯度较大，因此刚开始变动较大，但是后面会根据这个较大的变动按比例进行调整，减小更新的步伐。因此，y轴方向上的更新程度被减弱，“之”字形的变动程度有所衰减。

**Adam：**融合了Momentum和AdaGrad的方法。通过组合前面两个方法的优点，有望实现参数空间的高效搜索。此外，进行超参数的“偏置校正”也是Adam的特征。如下图所示：