基于熵权法的TOPSIS模型

1. 简介

数学建模可以结合 熵权法 和 $TOPSIS$ 法各自的特点，进行评价，这种组合模型的使用在数学建模比赛中使用的非常多。

在 2023 美赛 O 奖中就有使用该方法的，往年国赛国奖中也有

2. 熵权法介绍

熵值法的主要目的是对指标体系进行赋权

熵越大说明系统越混乱，携带的信息越少，权重越小；熵越小说明系统越有序，携带的信息越多，权重越大。

熵值法是一种客观赋权方法，借鉴了信息熵思想，它通过计算指标的信息熵，根据指标的相对变化程度对系统整体的影响来决定指标的权重，即根据各个指标标志值的差异程度来进行赋权，从而得出各个指标相应的权重，相对变化程度大的指标具有较大的权重。

上方是简单介绍，具体详细原理可以参考我的博客：熵权法（EWM）

3.TOPSIS法介绍

TOPSIS法是通过逼近理想解的程度来评估各个样本的优劣等级

在归一化后的原始数据矩阵中，找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算评价对象与最优方案和最劣方案之间的距离，并以此作为依据来评价样本的优劣等级。

上方是简单介绍，具体详细原理可以参考我的博客：优劣解距离法（TOPSIS）

4. 熵权法和 TOPSIS法结合示使用

总体流程图如下所示

假设有 $n$ 个待评价样本，$p$ 项评价指标，形成原始指标数据矩阵：

$$\begin{array}{c}\mathrm{X}=\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{x}}_{11}& ...& {\mathrm{x}}_{1\text{p}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathrm{x}}_{\text{n}1}& \cdots & {\mathrm{x}}_{\text{np}}\end{array}\right)\end{array}$$

4.1 标准化处理

标准化的同时进行了正向化

在论文中表达只考虑正向指标和负向指标

正向指标（极大型） 标准化处理：

$$\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_{\mathrm{ij}}^{\prime }=\frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{j}}-{\mathrm{x}}_{\min }}{{\mathrm{x}}_{\max }-{\mathrm{x}}_{\min }}\end{array}$$

负向指标（极小型） 标准化处理：

$$\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_{\mathrm{ij}}^{\prime }=\frac{{\mathrm{x}}_{\max }-{\mathrm{x}}_{\mathrm{j}}}{{\mathrm{x}}_{\max }-{\mathrm{x}}_{\min }}\end{array}$$

得到矩阵 $Z$（此时里面的$x$右上角应该带上$\prime$，但是为了方便这里任用原矩阵表示）：

$$\begin{array}{c}Z=\left[\begin{array}{cccc}{z}_{11}& z_{12}& \cdots & z_{1m}\\ z_{21}& z_{22}& \cdots & z_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ z_{n1}& z_{n2}& \cdots & z_{nm}\end{array}\right]\end{array}$$

4.2 计算比重

$$\begin{array}{c}{p}_{ij}=\frac{z_{ij}}{{\sum }_{i=1}^n{z}_{ij}}\end{array}$$

4.3 求熵权

$$\begin{array}{c}{e}_j=-\frac{1}{\ln n}\sum _{i=1}^n{p}_{ij}\ln p_{ij},e_j\in [0,1]\end{array}$$

4.4 信息冗余值

$$\begin{array}{c}{d}_j=1-e_j\end{array}$$

求熵权和信息冗余值这两步可以合为如下公式：（2023美赛E题O奖论文2307336、2312411中使用这种方式，节省空间并且显得更有规格）

$$\begin{array}{c}{d}_j=1+\frac{1}{\ln n}\sum _{i=1}^n{p}_{ij}\ln p_{ij},\end{array}$$

4.5 定权

$$\begin{array}{c}{w}_j=\frac{d_j}{{\sum }_{j=1}^p{d}_j}\end{array}$$

4.6 构造加权矩阵

将之前标准化的矩阵和带权矩阵相乘作为 $TOPSIS$ 法原始数据

$$\begin{array}{c}{\mathrm{z}}_{\mathrm{ij}}^{\ast }={\mathrm{z}}_{\mathrm{ij}}\cdot {\mathrm{w}}_{\mathrm{j}}\end{array}$$

得到加权矩阵

$$\begin{array}{c}{\mathrm{Z}}^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{z}}_{11}\cdot {\mathrm{w}}_1& {\mathrm{z}}_{12}\cdot {\mathrm{w}}_2& \cdots & {\mathrm{z}}_{1\mathrm{p}}\cdot {\mathrm{w}}_{\mathrm{p}}\\ {\mathrm{z}}_{21}\cdot {\mathrm{w}}_1& {\mathrm{z}}_{22}\cdot {\mathrm{w}}_2& \cdots & {\mathrm{z}}_{2\mathrm{p}}\cdot {\mathrm{w}}_{\mathrm{p}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathrm{z}}_{\mathrm{n}1}\cdot {\mathrm{w}}_1& {\mathrm{z}}_{\mathrm{n}2}\cdot {\mathrm{w}}_2& \cdots & {\mathrm{z}}_{\mathrm{np}}\cdot {\mathrm{w}}_{\mathrm{p}}\end{array}\right]\end{array}$$

4.7 最优、最劣距离

$$\begin{array}{c}\begin{array}{r}{\mathrm{D}}_{\mathrm{i}}^{+}=\sqrt{\sum _{\mathrm{j}}{\left({\mathrm{z}}_{\mathrm{ij}}^{\ast }-{\mathrm{z}}_{\mathrm{j}}^{\ast +}\right)}^2}\\ \\ \\ {\mathrm{D}}_{\mathrm{i}}^{-}=\sqrt{\sum _{\mathrm{j}}{\left({\mathrm{z}}_{\mathrm{ij}}^{\ast }-{\mathrm{z}}_{\mathrm{j}}^{\ast -}\right)}^2}\end{array}\end{array}$$

4.8 构造相对接近度

$$\begin{array}{c}{\mathrm{C}}_{\mathrm{i}}=\frac{{\mathrm{D}}_{\mathrm{i}}^{-}}{{\mathrm{D}}_{\mathrm{i}}^{+}+{\mathrm{D}}_{\mathrm{i}}^{-}}\end{array}$$

根据 $C_i$ 的大小进行排序，$C_i$ 越大，表明评价对象越接近最优值。

4.9 接近度归一化（求权重）

此时可在进行对打分进行归一化（可有可无，根据题目要求即可）

5. 步骤

1. 将原始数据进行标准化处理
2. 用熵值法计算各指标的权重
3. 将权重和标准化的数据相乘后的数据作为 $TOPSIS$ 原始数据
4. 用 $TOPSIS$ 法计算各评价对象与最优方案的接近程度 $Ci$ （即各样本的综合评价指数）
5. 根据 $Ci$ 进行排序，结合综合评价指数进行分析。

参考

https://tanxg.blog.csdn.net/article/details/105901229

https://blog.csdn.net/u014356002/article/details/132982280

https://blog.csdn.net/weixin_57449924/article/details/123850208