引言
在生活中，钢条和饼干看似风马牛不相及，但它们的分割与分发却隐藏着惊人的数学魅力。如何最大化利润？如何用有限的资源最大程度满足需求？这便是算法世界中的艺术。今天，我们来揭秘钢条切割与饼干分发的算法设计。本文不仅有趣，也能带你领略算法的美妙和工程师的智慧。
1.钢条切割
1.1题目描述
某公司的主营业务是切割整段钢条并出售，切割钢条的成本和损耗忽略不计。
该公司现有以下长度的钢条：
| 钢条长度/米 | 10 | 12 | 15 |
| 成本/百元 | 10 | 12 | 15 |
已知不同长度的钢条的出售价格：
| 钢条长度/米 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 售价/百元 | 1 | 5 | 8 | 9 | 10 | 17 | 17 | 20 | 24 | 24 |
- 假如你是该公司的工程师，试确定每条钢条的切割方式使盈利最大。
- 经过技术攻关，公司掌握了将钢条焊接的方法，且每次焊接所需成本为1百元，试确定钢条的焊接或/和切割方式使盈利最大。
1.2算法设计 (第一部分：不考虑焊接)
采用动态规划法。dp[i] 表示长度为 i 米钢条的最大收益。状态转移方程：
dp[i] = max(price[i], dp[i-j] + dp[j]) (1 ≤ j ≤ i)
其中 price[i] 为长度为 i 米钢条的售价。
1.3伪代码实现 (第一部分：不考虑焊接)
function max_profit_no_weld(prices, n):dp = array of size n+1, initialized to 0for i from 1 to n:max_p = prices[i]for j from 1 to i:max_p = max(max_p, dp[i-j] + dp[j])dp[i] = max_preturn dp[n]
1.4算法设计 (第二部分：考虑焊接)
仍然采用动态规划。dp[i] 表示长度为 i 米钢条的最大收益，考虑焊接成本。状态转移方程更加复杂，需要考虑所有可能的切割和焊接组合：
dp[i] = max(price[i], max(dp[j] + dp[i-j] - 1, dp[j] + price[i-j] - 1, price[j] + dp[i-j] - 1)) (1 ≤ j ≤ i/2)
1.5伪代码实现 (第二部分：考虑焊接)
function max_profit_weld(prices, n):dp = array of size n+1, initialized to -infinity // Initialize with a very small valuedp[0] = 0for i from 1 to n:dp[i] = prices[i] // Initialize with no cutfor j from 1 to i/2:dp[i] = max(dp[i], dp[j] + dp[i-j] - 1)dp[i] = max(dp[i], dp[j] + prices[i-j] - 1)dp[i] = max(dp[i], prices[j] + dp[i-j] - 1)return dp[n]2.饼干分发
2.1题目描述
假设你是一个幼儿园园长，现在要给孩子们分发饼干。由于饼干数量有限，每个孩子都只能得到一块饼干。其中，孩子i所需的饼干大小为gi，饼干j的大小为sj,若sj≥gi则孩子能够吃饱。你的目标是尽可能喂饱更多数量的孩子，并输出这个最大数值。
| 示例1：你有三个孩子和两块小饼干，3个孩子的胃口值分别是：1,2,3。虽然你有两块小饼干，但饼干的尺寸都是1只能让胃口值是1的孩子满足，所以输出1。 输入：g=[1,2,3],s=[1,1] 输出：1 示例2：你有两个孩子和三块小饼干，2个孩子的胃口值分别是1,2。你拥有的饼干数量和尺寸都足以让所有孩子满足，所以输出2。 输入：g =[1,2],s=[1,2,3] 输出：2 |
1.现有如下饼干和孩子，试求其输出。
| 第一组： g=[1 2 2 3 5 6 8 10] s=[1 1 2 2 4 5 5 6 7 8 9 10] 第二组： g=[12 5 8 1 5 3 7 5 8 6] s=[15 6 8 5 2 8 7 4 5 1 2 4 3 6] |
2.经过和孩子友好协商，孩子同意每个孩子可以有最多两块饼干，针对上述两组饼干和孩子试求能否喂饱更多孩子。
2.2算法设计 (第一部分：每个孩子一块饼干)
采用贪心算法。先对 g 和 s 排序，然后从最小的孩子开始，分配最小的满足条件的饼干。
2.3伪代码实现 (第一部分：每个孩子一块饼干)
function max_satisfied_children(g, s):sort g in ascending ordersort s in ascending ordercount = 0i = 0, j = 0while i < length(g) and j < length(s):if s[j] >= g[i]:count = count + 1i = i + 1j = j + 1else:j = j + 1return count2.4算法设计 (第二部分：每个孩子最多两块饼干)
仍然采用贪心算法，但需要修改分配策略。先尝试分配一块饼干，如果满足不了，再尝试分配两块。
2.5伪代码实现(第二部分：每个孩子最多两块饼干)
function max_satisfied_children_two(g, s):sort g in ascending ordersort s in ascending ordercount = 0i = 0, j = 0while i < length(g) and j < length(s):if s[j] >= g[i]:count = count + 1i = i + 1j = j + 1else:k = j + 1if k < length(s) and s[j] + s[k] >= g[i]:count = count + 1i = i + 1j = k + 1else:j = j + 1return count通过这两个问题的探讨，我们可以看到算法在解决实际问题中的强大能力。无论是在工业生产中的钢条切割问题，还是在日常生活中的饼干分发问题，算法都能提供高效且经济的解决方案。这些算法不仅体现了数学的精妙，也展示了工程师在解决实际问题时的智慧和创造力。
