Toeplitz矩阵

一个$n\times n$的矩阵$A$是Toeplitz矩阵，如果它的每个对角线上的元素都相同。即，对于所有$i,j$，有$a_{ij}=a_{i+1,j+1}$。换句话说，矩阵中的元素只依赖于行索引与列索引的差值。形式上，可以表示为：
$$A=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_0& a_{-1}& a_{-2}& \cdots & a_{-(n-1)}\\ a_1& a_0& a_{-1}& \cdots & a_{-(n-2)}\\ a_2& a_1& a_0& \cdots & a_{-(n-3)}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n-1}& a_{n-2}& a_{n-3}& \cdots & a_0\end{array}\right]$$

循环矩阵

循环矩阵是一种特殊的Toeplitz矩阵，其中每一行都是前一行向右循环移位的结果。循环矩阵的第一行（或第一列）完全确定了整个矩阵。如果用$c_0,c_1,...,c_{n-1}$表示第一行的元素，则循环矩阵可以写作：
$$C=\left[\begin{array}{ccccc}{c}_0& c_{n-1}& c_{n-2}& \cdots & c_1\\ c_1& c_0& c_{n-1}& \cdots & c_2\\ c_2& c_1& c_0& \cdots & c_3\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_{n-1}& c_{n-2}& c_{n-3}& \cdots & c_0\end{array}\right]$$

两者关系

1. 包含关系：所有循环矩阵都是Toeplitz矩阵，但不是所有的Toeplitz矩阵都是循环矩阵。这是因为循环矩阵满足更严格的条件——不仅每条对角线上的元素相同，而且每行都是前一行的循环移位。

2. 傅里叶变换：循环矩阵的一个重要性质是它们可以通过离散傅里叶变换（DFT）对角化。这意味着存在一个单位复数矩阵$F$（傅里叶矩阵），使得$F^{-1}CF$是一个对角矩阵，其中$C$是一个循环矩阵。这个性质在快速算法设计中非常有用，例如快速傅里叶变换（FFT）可以用来高效地求解循环矩阵的乘法。

3. 应用领域：虽然两者都可以用于信号处理和图像处理等领域，但循环矩阵因其特殊的结构而在某些特定的应用中更为常见，如卷积运算等。