1. 前言

折叠光腔衰荡技术是一种精确测量镜面反射率的重要方法，特别适用于高反射率的镜面，如激光腔镜、光学器件等。这种技术的理论基础基于光腔内光强的指数衰减与镜面反射率之间的关系。以下从物理模型、衰荡过程、反射率计算以及应用等方面详细分析折叠光腔衰荡高反射率测量技术的原理。

2. 光腔模型

在光腔衰荡实验中，折叠光腔通常由多面反射镜组成（通常为三面镜），光通过多次反射在腔内传播。折叠光腔的构造目的是延长光程，同时保持光束稳定传播，从而使得光的多次反射产生累积衰减。具体结构中，M1和M2是已知反射率的高反射镜，M3为待测镜，其反射率未知。光腔的几何长度（L_ca-vity）决定了光的往返时间。
在理论分析中，假设光腔中只存在镜面的反射损耗，忽略其他因素如散射、吸收等，折叠光腔的衰荡时间常数主要由镜面的反射率决定。

3. 光腔衰荡过程

光腔衰荡的基本原理是利用光脉冲在光腔中的反射和传播。当一个光脉冲进入光腔后，由于镜面不可能是完全理想的高反射镜，每次反射后光的能量都会减少。当光脉冲在腔内多次反射时，其能量以指数形式衰减，光强随时间逐渐减弱，直到完全衰减消失。
假设光腔内每次反射后光强度的减少只与镜子的反射率有关，光脉冲在光腔中的能量变化可用以下公式描述：

光腔的衰荡时间常数τ与腔内镜子的反射率有关。在理想情况下，衰荡时间越长，镜子的反射率越高。

4. 衰荡时间与反射率的关系

5. 测量步骤

①. 光腔调节：

在实验中，首先需要调整光腔的长度，以确保光腔的模式匹配。通常采用激光作为光源，注入到光腔中，并利用探测器记录光脉冲在光腔中的衰荡曲线。

②. 光腔衰荡测量：

将光脉冲注入到光腔后，光脉冲在光腔中多次反射，每次反射后能量减少。通过快速光电探测器，记录腔内光强随时间的变化，并绘制出光强的衰荡曲线。

③. 计算衰荡时间常数：

通过拟合实验数据中的衰荡曲线，可以获得光腔的衰荡时间常数 τ，即光强衰减到初始值的1/e的时间。

④. 反射率计算：

根据衰荡时间常数τ，利用前述公式，计算待测镜M3的反射率。

% 常量
c = 3e8; % 光速 (m/s)% 参数设置（示例值，可根据实际实验调整）
L_cavity = 1.0;  % 光腔总长度 (米)
R1 = 0.99;       % M1 镜子的反射率
R2 = 0.99;       % M2 镜子的反射率
R_sample = 0.9;  % 待测镜子 M3 的反射率
pulse_energy = 1;  % 初始光脉冲能量% 模拟光在光腔中的反射
t_cavity = 2 * L_cavity / c;  % 光在腔内的往返时间 (秒)
num_bounces = 1000;  % 模拟反射次数% 初始化能量和时间
energy = pulse_energy;
time = 0;
decay_lifetime = [];
energy_decay = [];  % 记录每次反射后的能量变化
time_decay = [];    % 记录对应的时间变化% 进行光腔衰荡模拟
for i = 1:num_bounces% 能量因镜子反射衰减energy = energy * sqrt(R1 * R2 * R_sample);time = time + t_cavity;% 记录每次反射的能量和时间energy_decay = [energy_decay, energy];time_decay = [time_decay, time];% 记录衰荡寿命（当能量衰减至初始值的 1/e 时）if energy <= pulse_energy * exp(-1) % 1/e 衰减decay_lifetime = [decay_lifetime, time];break;end
end% 计算反射率
if ~isempty(decay_lifetime)tau = decay_lifetime(1);  % 衰荡时间常数 (秒)reflectivity = exp(-2 * L_cavity / (c * tau));  % 估算反射率fprintf('待测镜子的反射率估计为: %.4f\n', reflectivity);
elsedisp('未记录到显著的衰荡。');
end% 绘制衰荡曲线（光强随时间衰减）
figure;
plot(time_decay, energy_decay, 'LineWidth', 2);
hold on;% 标记 1/e 点（衰荡常数 tau）
if ~isempty(decay_lifetime)% 在衰荡曲线上找到衰减到 1/e 的点e_decay_point = find(energy_decay <= pulse_energy * exp(-1), 1);plot(time_decay(e_decay_point), energy_decay(e_decay_point), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);text(time_decay(e_decay_point), energy_decay(e_decay_point), sprintf('\\tau = %.4e s', tau), ...'VerticalAlignment', 'bottom', 'HorizontalAlignment', 'right');% 添加反射率标注annotation_text = sprintf('估计反射率: %.4f', reflectivity);text(time_decay(end), energy_decay(end) * 1.2, annotation_text, 'HorizontalAlignment', 'right');
end% 添加坐标轴标签和标题
xlabel('时间 (秒)');
ylabel('光强 (相对单位)');
title('折叠光腔的衰荡曲线');
grid on;
hold off;

6. 实际应用中的调整

在实际实验中，光腔衰荡法可以通过以下方式提高测量精度：
(一) 光源选择：
一般使用稳定性极高的激光器作为光源，保证在光腔中产生清晰的模式（如高斯模式），避免光束质量差异引入的误差。
(二) 高精度探测器：
使用高灵敏度的光电探测器记录光强随时间的变化，以捕捉微弱的光强衰减信号。
(三) 多次实验取平均：
为了减少噪声对实验结果的影响，通常进行多次实验，并取平均值来提高测量精度。
(四) 控制环境因素：
环境温度、湿度和振动等因素会对光腔的反射率测量造成影响，因此实验需在严格控制的环境中进行。

7. 技术优势和局限

优势：

1. 高精度：光腔衰荡法特别适合于高反射率镜子的测量，精度非常高。
2. 非破坏性：此方法不需要与待测镜直接接触，不会损伤待测样品。
3. 适用范围广：不仅适用于普通平面镜，也适用于曲面镜和其他复杂光学元件（如角锥棱镜等）。
   局限性：
4. 低反射率测量困难：对于反射率较低的镜子，光腔衰荡法不够敏感，测量误差较大。
5. 对光腔的调节要求高：实验中需要对光腔的模式和长度进行精确调节，否则可能影响测量结果。
6. 受环境影响：环境噪声、温度变化等可能导致光腔振荡模式的不稳定，从而影响测量精度。

8. 总结

光腔衰荡法是一种非接触、高精度的测量高反射率镜面反射率的技术，特别适用于激光腔镜和精密光学元件的检测。通过测量光腔的衰荡时间常数，可以间接推导出待测镜的反射率。其高灵敏度和可靠性使其成为光学领域中的重要测量手段。

9. 其他情况的代码案例：

① 角锥棱镜+全透镜 M1荡高反射率测量模拟

反射率与光腔寿命的关系

光路图：

% 光腔结构示意图和光路绘制 (使用角锥棱镜 + 全透镜 M1)
figure;
hold on;% 设置镜子的相对位置
L_cavity = 1.0;  % 光腔总长度 (米)
M1_pos = [0, 0];  % 全透镜 M1 位置
M2_pos = [L_cavity/3, 0.5];  % M2 镜子位置
prism_pos = [2*L_cavity/3, 0.5];  % 角锥棱镜位置
detector_pos = [-0.3, -0.3];  % 探测器位置 (M1 左下方)% 绘制镜子和棱镜的位置及光路
scatter(M1_pos(1), M1_pos(2), 100, 'm', 'filled');  % M1 全透镜
scatter(M2_pos(1), M2_pos(2), 100, 'r', 'filled');  % M2 镜子
scatter(prism_pos(1), prism_pos(2), 100, 'g', 'filled');  % 角锥棱镜
scatter(detector_pos(1), detector_pos(2), 100, 'b', 'filled');  % 探测器% 光路绘制（角锥棱镜将光反射回原来方向）
line([M1_pos(1), M2_pos(1)], [M1_pos(2), M2_pos(2)], 'Color', 'k', 'LineWidth', 2);  % 从M1到M2的光路
line([M2_pos(1), prism_pos(1)], [M2_pos(2), prism_pos(2)], 'Color', 'k', 'LineWidth', 2);  % 从M2到棱镜的光路% 从棱镜返回 M2 和 M1 的光路
line([prism_pos(1), M2_pos(1)], [prism_pos(2), M2_pos(2)], 'Color', 'k', 'LineWidth', 2, 'LineStyle', '--'); % 从棱镜返回到M2的光路
line([M2_pos(1), M1_pos(1)], [M2_pos(2), M1_pos(2)], 'Color', 'k', 'LineWidth', 2, 'LineStyle', '--'); % 从M2返回到M1的光路% M1 全透镜透射出的光线，投射到探测器
line([M1_pos(1), detector_pos(1)], [M1_pos(2), detector_pos(2)], 'Color', 'k', 'LineWidth', 2, 'LineStyle', '-.');  % 从M1透射到探测器的光路% 添加镜子和棱镜的标注
text(M1_pos(1), M1_pos(2) + 0.1, 'M1（全透镜）', 'HorizontalAlignment', 'center');
text(M2_pos(1), M2_pos(2) + 0.1, 'M2', 'HorizontalAlignment', 'center');
text(prism_pos(1), prism_pos(2) + 0.1, '角锥棱镜', 'HorizontalAlignment', 'center');
text(detector_pos(1), detector_pos(2) - 0.1, '探测器', 'HorizontalAlignment', 'center');% 图示标题和边界
title('折叠光腔的光路示意图（角锥棱镜 + 全透镜）');
axis equal;
xlim([-0.5, L_cavity + 0.1]);
ylim([-0.5, 0.7]);
grid on;
hold off;

平面折叠腔和角锥棱镜折叠腔衰荡曲线对比：

% 常量
c = 3e8; % 光速 (m/s)% 参数设置（示例值，可根据实际实验调整）
L_cavity = 1.0;  % 光腔总长度 (米)% 角锥棱镜相关参数
R_prism = 0.99;  % 角锥棱镜的反射率
R_M1 = 1.0;      % M1 全透镜反射率
R_M2 = 0.99;     % M2 镜子的反射率
I0_prism = 1;    % 角锥棱镜初始光强度% 光腔折叠相关参数
R1 = 0.99;       % M1 镜子的反射率
R2 = 0.99;       % M2 镜子的反射率
R_sample = 0.9;  % 待测镜子 M3 的反射率
pulse_energy = 1;  % 初始光脉冲能量% 模拟光在光腔中的反射
t_cavity = 2 * L_cavity / c;  % 光在腔内的往返时间 (秒)
num_bounces = 1000;  % 模拟反射次数% 初始化能量和时间
energy_decay_cavity = [];  % 记录折叠腔每次反射后的能量变化
time_decay_cavity = [];    % 记录折叠腔对应的时间变化
energy_decay_prism = [];    % 记录角锥棱镜每次反射后的能量变化
time_decay_prism = [];      % 记录角锥棱镜对应的时间变化% 折叠腔衰荡模拟
energy = pulse_energy;
time = 0;for i = 1:num_bounces% 能量因镜子反射衰减energy = energy * sqrt(R1 * R2 * R_sample);time = time + t_cavity;% 记录每次反射的能量和时间energy_decay_cavity = [energy_decay_cavity, energy];time_decay_cavity = [time_decay_cavity, time];
end% 计算角锥棱镜的衰荡
energy = I0_prism;  % 角锥棱镜的初始光强度
time = 0;for i = 1:num_bounces% 能量因镜子反射衰减energy = energy * sqrt(R_prism * R_M2 * R_M1);time = time + t_cavity;% 记录每次反射的能量和时间energy_decay_prism = [energy_decay_prism, energy];time_decay_prism = [time_decay_prism, time];
end% 设置统一的时间范围（选取角锥棱镜的最大时间）
max_time = max(max(time_decay_cavity), max(time_decay_prism));
time_range = linspace(0, max_time, 1000);  % 统一时间范围% 进行插值，使两条曲线在统一时间范围内绘制
energy_decay_cavity_interp = interp1(time_decay_cavity, energy_decay_cavity, time_range, 'pchip');
energy_decay_prism_interp = interp1(time_decay_prism, energy_decay_prism, time_range, 'pchip');% 绘制衰荡曲线（光强随时间衰减）
figure;
hold on;% 绘制折叠腔的衰荡曲线
plot(time_range, energy_decay_cavity_interp, 'b', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '折叠腔衰荡曲线');% 绘制角锥棱镜的衰荡曲线
plot(time_range, energy_decay_prism_interp, 'r', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '角锥棱镜衰荡曲线');% 添加坐标轴标签和标题
xlabel('时间 (秒)');
ylabel('光强 (相对单位)');
title('折叠光腔与角锥棱镜的衰荡曲线对比');
legend('show');
grid on;
hold off;

② Folded Cavity & Fabry-Pérot Cavity

% 初始数据设置
R1 = 0.999;  % M1反射率
R2 = 0.995;  % M2反射率
L = 0.735;   % 腔长 (m)
c = 2.9978e8; % 光速 (m/s)
I0 = 10;     % 初始光强
a = 1e-7;    % 吸收系数
t = linspace(0, 8*10^(-6), 1600);  % 时间范围 (s), 扩展到 8 微秒% Fabry-Pérot腔模拟
R_av = R1 * R2; % 平均反射率
tau0 = L / (c * (1 - R_av)); % Fabry-Pérot腔的衰荡时间常数
It = I0 * (R1 * R2) .* exp(-c * a * t / (2 * L)) .* exp(-t/tau0); % 实时光强
figure;
plot(t*1e9, It, 'b'); % 绘制Fabry-Pérot腔的光强随时间的衰减曲线 (时间转换为纳秒)
xlabel('Time (ns)');
ylabel('Intensity (a.u.)');
title('Fabry-Pérot vs Folded Cavity Ring-Down');
hold on;% 折叠腔设置
N = 10; % 折叠腔中增加的反射次数
L_folded = N * L; % 折叠腔中的光程% 光学损耗
alpha = 0.9999; % 光学损耗系数
tau1 = L_folded / (c * (1 - R_av)); % 折叠腔的衰荡时间常数
It_folded = I0 * (R1 * R2).^N .* (alpha.^N) .* exp(-c * a * t / (2 * L_folded)) .* exp(-t/tau1); % 折叠腔的实时光强% 绘制折叠腔的光强随时间衰减曲线
plot(t*1e9, It_folded, '--r'); % 时间轴单位为纳秒
legend('Fabry-Pérot Cavity', 'Folded Cavity');
hold off;