C++ 二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）深度解析与全面指南：从基础概念到高级应用、算法优化及实战案例

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⼆叉搜索树的概念

 ⼆叉搜索树的性能分析

 ⼆叉搜索树的插⼊

⼆叉搜索树的查找

二叉搜索树中序遍历

⼆叉搜索树的删除

cur的左节点为空的情况

cur的右节点为空的情况

左，右节点都不为空的情况

二叉搜索树【实现代码】

⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景

key/value搜索场景 

key/value⼆叉搜索树代码实现

⼆叉搜索树的概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:

  • 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
  • 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
  • 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树
  • ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，后续我 们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等 值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值

 

 ⼆叉搜索树的性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为： O(log2 N)

所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)

那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，我们后续课程需要继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡⼆ 叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现 O(logN) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

  1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。
  2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数 据。

这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

 ⼆叉搜索树的插⼊

插⼊的具体过程如下：

  1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
  2. 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位 置，插⼊新结点。
  3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插 ⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）
int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};

下面我们可以看到，要插入一个16节点，比8大往右边走，比10大往右走，比14大往右走，走到空了就可以插入16这个节点了。

下面我们要插入3这个节点，比8小往左边走， 如果和3允许冗余的情况下往后大的走。

当cur循环到空时候，就在这个位置插入3这个节点，还需要parent记录上一个节点，用来和3节点进行连接。

接下来创建节点，构造用于申请新节点后初始化

//定义根节点赋值为空

第一步：判断根节点是不是空，是空把节点给根节点。

第二步：循环等于空就停下来，key小于当前节点往左边走，大于就往右走。

第三步：new一块新节点数值是key的，key和parent比较，parent就是记录上一个节点，小于和左边连接，大于和右边连接。

//节点
template<class K>
struct BS_Node
{K _key;BS_Node<K>* _left;//左BS_Node<K>* _right;//右//构造-用于申请新节点后初始化BS_Node(const K& key):_key(key),_left(nullptr),_right(nullptr){}
};template<class K>
class BStree
{typedef BS_Node<K> Node;
public://插入bool insert(const K& key){//根节点为空if (_root == nullptr){//当前就给根节点_root = new Node(key);}//parent用于记录上一个节点，用来和新节点连接Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//循环到cur为空，就停下来while (cur != nullptr){//key小于当前节点往左边走if (key < cur->_key){//记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_left;}//key大于当前节点往右边走else if(key > cur->_key){//记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_right;}else{return true;}}//new一块新节点给curcur = new Node(key);if (key < parent->_key){//小于，和左边连接parent->_left = cur;}else{//大于，和右边连接parent->_right = cur;}return false;}private:Node* _root = nullptr;
};

⼆叉搜索树的查找

  1. 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。
  2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。
  3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回
  4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要 找到1的右孩⼦的那个3返回

当我们要查询4从根节点开始，比8小往左边走，比3大往右边走，比6小往左走,找到4了，返回true。

.从根节点开始查询 ，cur不等于空，找到空了，就说明没有这个值。

小于当前节点往左边走，大于当前节点往右边走，等于就返回true。

二叉搜索树中序遍历

中序遍历定义在私有里，因为要从根节点开始遍历，需要用到根节点中序遍历。

然后在公有定义一个成员函数来，调用私有的中序遍历。

把数组的值插入到搜索二叉树，中序遍历打印出来。

因为没有9所以查询不到，返回false就是0。

⼆叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

  1. 要删除结点N左右孩⼦均为空
  2. 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空
  3. 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空
  4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空

对应以上四种情况的解决⽅案：

  1. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样 的）
  2. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点
  3. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点
  4. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点 R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的 位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结 点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

节点的删除，我们需要查询对应的节点，然后进行删除。

cur的左节点为空的情况

如果cur的左节点为空，那么parent这个父节点和cur的右节点进行连接。

如果要删除的节点是根节点，那么把_root这个根节点往右走，然后释放cur节点。

cur的右节点为空的情况

右节点为空，那么parent这个父节点和cur的左节点进行连接。

 如果要删除的节点是根节点，那么把_root这个根节点往左走，然后释放cur节点。

 

左，右节点都不为空的情况

如果要删除3，需要右节点的最左的那个节点的数值拿来替换。

mincur是找cur右子树最小的那个节点，用来替换。

tab保存上一个节点，用来和mincur的右节点连接，如果右节点是空，那就是连接空节点。

把4的数值赋值给3这个节点，然后释放4这个节点。

 如果要删除根节点，需要右节点的最左的那个节点的数值拿来替换。

我们发现10的左节点已经完成空了，那就是用10这个节点来替换了。

下面这个返回true，是查询到要删除的节点，就返回true.

找不到返回false. 

二叉搜索树【实现代码】

Search for a binary tree.h【头文件】

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;namespace key
{//节点template<class K>struct BS_Node{K _key;BS_Node<K>* _left;//左BS_Node<K>* _right;//右//构造-用于申请新节点后初始化BS_Node(const K& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}};template<class K>class BStree{typedef BS_Node<K> Node;public://插入bool insert(const K& key){//根节点为空if (_root == nullptr){//当前就给根节点_root = new Node(key);}//parent用于记录上一个节点，用来和新节点连接Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//循环到cur为空，就停下来while (cur != nullptr){//key小于当前节点往左边走if (key < cur->_key){//记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_left;}//key大于当前节点往右边走else if (key > cur->_key){//记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_right;}else{return true;}}//new一块新节点给curcur = new Node(key);if (key < parent->_key){//小于，和左边连接parent->_left = cur;}else{//大于，和右边连接parent->_right = cur;}return false;}//查询bool find(const K& key){//从根节点开始查询Node* cur = _root;while (cur != nullptr){//小于当前节点，往左走if (key < cur->_key){cur = cur->_left;}//大于当前节点，往右走else if (key > cur->_key){cur = cur->_right;}else{return true;}}return false;}//删除bool Erase(const K& key){//查找Node* cur = _root;//parent用来记录上一个节点Node* parent = nullptr;while (cur != nullptr){if (key < cur->_key){//parent记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key){//parent记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_right;}else//找到了进行删除{//当前节点的左节点为nullif (cur->_left == nullptr){//*****************************//要删除的节点等于根节点if (cur == _root){//让根节点往右走就行了_root = cur->_right;}//*****************************else{//父节点的左节点等于curif (parent->_left == cur){//cur节点的左节点为null，用cur的右节点和父节点连接parent->_left = cur->_right;}else{//cur节点的左节点为null，用cur的右节点和父节点连接parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}//当前节点的右节点为nullelse if (cur->_right == nullptr){//*****************************//要删除的节点等于根节点if (cur == _root){//让根节点往右走就行了_root = cur->_left;}//*****************************else{//父节点的左节点等于curif (parent->_left == cur){//cur节点的右节点为null，用cur的左节点和父节点连接parent->_left = cur->_left;}else{//cur节点的右节点为null，用cur的左节点和父节点连接parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}else//左，右都不为空的情况{//找右子树最小的节点（最左）替代我的位置//保存cur的右节点Node* mincur = cur->_right;//这个给cur,解决没有就循环就没有刷新的问题Node* tab = cur;while (mincur->_left != nullptr){//保存上一个节点tab = mincur;//一直往左边节点走，mincur = mincur->_left;}//一直往左边节点走，找到最小的那个，赋值给curcur->_key = mincur->_key;//删除的节点为根节点，右节点为mincurif (tab->_right == mincur){//tab右节点和mincur右节点进行连接tab->_right = mincur->_right;}else //左节点为mincur{//tab的左边，和mincur的右边进行连接tab->_left = mincur->_right;}delete mincur;}return true;}}return false;}//用来调用中序遍历void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private://中序遍历void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}Node* _root = nullptr;};
}

test.cpp【测试】

#include"Search for a binary tree.h"int main()
{int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };key::BStree<int> t;for (auto i : a){t.insert(i);}t.InOrder();cout << t.find(9) << endl;for (auto i : a){t.Erase(i);t.InOrder();}}

⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结 构了。

场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的 ⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆ 法进⼊。

场景2：检查⼀篇英⽂⽂章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单 词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰。

key/value搜索场景 

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存 储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查 找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修 改key破坏搜索树结构了，可以修改value。

场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时 查找到了英⽂对应的中⽂。

场景2：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查 找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。

场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次 出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

key/value⼆叉搜索树代码实现

Search for a binary tree.h

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;namespace key
{//节点template<class K,class V>struct BS_Node{K _key;V _val;BS_Node<K,V>* _left;//左BS_Node<K,V>* _right;//右//构造-用于申请新节点后初始化BS_Node(const K& key,const V& val):_key(key),_val(val), _left(nullptr), _right(nullptr){}};template<class K,class V>class BStree{typedef BS_Node<K,V> Node;public://插入bool insert(const K& key,const V&val){//根节点为空if (_root == nullptr){//当前就给根节点_root = new Node(key,val);}//parent用于记录上一个节点，用来和新节点连接Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//循环到cur为空，就停下来while (cur != nullptr){//key小于当前节点往左边走if (key < cur->_key){//记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_left;}//key大于当前节点往右边走else if (key > cur->_key){//记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}//new一块新节点给curcur = new Node(key,val);if (key < parent->_key){//小于，和左边连接parent->_left = cur;}else{//大于，和右边连接parent->_right = cur;}return true;}//查询Node* find(const K& key){//从根节点开始查询Node* cur = _root;while (cur != nullptr){//小于当前节点，往左走if (key < cur->_key){cur = cur->_left;}//大于当前节点，往右走else if (key > cur->_key){cur = cur->_right;}else{//找到了返回当前节点return cur;}}//找不到返回空return nullptr;}//删除bool Erase(const K& key){//查找Node* cur = _root;//parent用来记录上一个节点Node* parent = nullptr;while (cur != nullptr){if (key < cur->_key){//parent记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key){//parent记录上一个节点parent = cur;cur = cur->_right;}else//找到了进行删除{//当前节点的左节点为nullif (cur->_left == nullptr){//*****************************//要删除的节点等于根节点if (cur == _root){//让根节点往右走就行了_root = cur->_right;}//*****************************else{//父节点的左节点等于curif (parent->_left == cur){//cur节点的左节点为null，用cur的右节点和父节点连接parent->_left = cur->_right;}else{//cur节点的左节点为null，用cur的右节点和父节点连接parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}//当前节点的右节点为nullelse if (cur->_right == nullptr){//*****************************//要删除的节点等于根节点if (cur == _root){//让根节点往右走就行了_root = cur->_left;}//*****************************else{//父节点的左节点等于curif (parent->_left == cur){//cur节点的右节点为null，用cur的左节点和父节点连接parent->_left = cur->_left;}else{//cur节点的右节点为null，用cur的左节点和父节点连接parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}else//左，右都不为空的情况{//找右子树最小的节点（最左）替代我的位置//保存cur的右节点Node* mincur = cur->_right;//这个给cur,解决没有就循环就没有刷新的问题Node* tab = cur;while (mincur->_left != nullptr){//保存上一个节点tab = mincur;//一直往左边节点走，mincur = mincur->_left;}//一直往左边节点走，找到最小的那个，赋值给curcur->_key = mincur->_key;//删除的节点为根节点，右节点为mincurif (tab->_right == mincur){//tab右节点和mincur右节点进行连接tab->_right = mincur->_right;}else //左节点为mincur{//tab的左边，和mincur的右边进行连接tab->_left = mincur->_right;}delete mincur;}return true;}}return false;}//用来调用中序遍历void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private://中序遍历void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " " <<_root->_val <<endl;_InOrder(root->_right);}Node* _root = nullptr;};
}

test.cpp

int main()
{string arr[] = { "苹果","香蕉","香蕉","西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜",
"苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉","香蕉","香蕉" };key::BStree<string, int> countTree;for (auto& e : arr){//key_value::BSTNode<string, int>* ret = countTree.Find(e);auto ret = countTree.find(e);if (ret == nullptr){countTree.insert(e, 1);}else{ret->_val++;}}countTree.InOrder();return 0;
}场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时 查找到了英⽂对应的中⽂。
//int main()
//{
//	key::BStree<string, string> dict;
//	//BSTree<string, string> copy = dict;
//	dict.insert("left", "左边");
//	dict.insert("right", "右边");
//	dict.insert("insert", "插⼊");
//	dict.insert("string", "字符串");
//	string str;
//	while (cin >> str)
//	{
//		auto ret = dict.find(str);
//		if (ret)
//		{
//			cout << "->" << ret->_val << endl;
//		}
//		else
//		{
//			cout << "⽆此单词，请重新输⼊" << endl;
//		}
//	}
//	return 0;
//}

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