摘要：本文讨论了正交相似对角化的方法，几何含义；方阵，非方阵的奇异值分解的计算，矫正方法以及与正交相似对角化存在区别；最后讨论了奇异值分解的应用。
1.实对称矩阵A的变换是一种线性变换，对应到图像上可以看成一种映射，如图所示将一个个矩形映射成四边形。
2.从代数角度看，该变换可以分解为A = QSQT的形式，从几何角度看，该变换可以理解为旋转伸缩再旋转回去：
- 伸缩：可以同步看作S矩阵的作用，其中S为对角矩阵，且值非负，如图所示，对于一个向量x，左乘一个S，S矩阵的含义是将其沿x,y两个方向分别伸缩λ1，λ2倍；
- 旋转：可以同步看作Q矩阵的作用，其中Q为正交矩阵，对于一个向量x,左乘一个Q，显然Q除了改变方向外，不改变向量相对位置及模长；
3.上述变换方便我们理解相似对角化的含义：
- 对A进行相似对角化的含义：从公式上看，即
；相似体现在S与A是相似的（A和S进行了相似的拉伸），所以是相似变换；对角化指的是将A变换为了对角矩阵；
- Q我们称为相似变换矩阵，如何理解相似变换？A与A变成的S是相似的，所以是相似变换
4.于是我们得到奇异值分解的定义，即，其中P,Q为正交阵，S是对角矩阵，其对角线上的元素非负且从左上到右下按从大到小排列。
5.奇异值（Singular）的本质含义：代表了各个坐标轴方向独有的伸缩因子。
6.任意矩阵奇异值分解办法：转换为实对称矩阵相似对角化的问题。即对于任意矩阵，构建
和
，但由于后者是前者的必要条件，所以结果要加以矫正，如下所示，以特征值个数为2的矩阵为例，可以看到，P,Q对应位置的特征向量仍需满足如下关系。
7.相似对角化与奇异值分解存在区别。如下图例子所示，可以看出，奇异值分解结果左右的正交矩阵并不存在转置关系，即奇异值分解结果与正交相似对角化结果必然不同。
8.非方阵奇异值分解办法，S拆解为对角阵与全0矩阵的拼接，按照一般方法实施即可：
9.非方阵奇异值分解矫正方法，以3*2矩阵为例，只需保证满足p1,p2分别与q1，q2限制关系即可，其余无需矫正：
10.奇异值分解可以用来对图像进行近似，如下所示，对图像IM进行奇异值分解，只需取前若干项便可对图像实现近似，并且注意到s1到sn由大到小排列，可知越靠前的项权重越高，在图像描述中起的作用越大：
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