代数简化

代数简化（Algebraic Reduced）是一种从数学上来指导我们优化计算图的方法。其目的是利用交换率、结合律等规律调整图中算子的执行顺序，或者删除不必要的算子，以提高图整体的计算效率。

代数化简可以通过子图替换的方式完成，具体实现：1）可以先抽象出一套通用的子图替换框架，再对各规则实例化。2）可以针对每一个具体的规则实现专门的优化逻辑。下面我们将介绍三种不同的代数简化方案。

算术简化

顾名思义，算术化简就是通过利用代数之间算术运算法则，在计算图中可以确定优化的运算符执行顺序，从而用新的运算符替换原有复杂的运算符组合。我们给出结合律，分配律，交换律的例子。

结合律

非正式的讲，结合律是说： 不论我们怎样结合数字（即先计算那些数字），答案都是一样的。即：

$$(a+b)+c=a+(b+c)$$

形式化的讲，令 $\ast$ 是非空集合 $S$ 上的二元运算，如果 $\forall x,y,z\in S$，都有

$$(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$$

则称运算 $\ast$ 在 $S$ 上是可结合的，或者说运算 $\ast$ 在 $S$ 上满足结合律。

根据这样的思想，我们可以发现以下的规则符合结合律，令 $A,B,C$ 是张量集合 $\Gamma$ 的元素，即 $A,B,C\in \Gamma$，则有

$$(A\star B{)}^{-1}\diamond ((A\star B)C{)}^{-1}\to (A\star B{)}^{-2}\diamond C$$

其中 $\star$ 是卷积 Conv，$\diamond$ 是矩阵乘法 Mul；形式上讲，我们称上述公式为在张量集合 $\Gamma$ 上的二元运算 $\star$、$\diamond$ 满足结合律。

有了这样的规则，便可以指导我们进行实例的优化，例如下面的实例算子，令 $A,B,C$ 为具体的张量，其他算子均为图示，优化规则如上所述：

根据上述结合律规则，我们可以把 A 与 B 的卷积给抽离出来，讲红色方框部分做简化，这样我们就减少运算算子，也减少了运算开销。

当然还有许多符合结合律的化简，我们列几个在下方供读者参考。

$$\begin{gathered} Recip(A)\diamond Recipe(A\diamond B)\to Square(Recip(A))\diamond B \\ (A\diamond \sqrt{B})\diamond (\sqrt{B}\diamond C)\to A\diamond B\diamond C \\ (A\diamond ReduceSum(B))\diamond (ReduceSum(B)\diamond C)\to ASquare(ReduceSum(B))\diamond C \end{gathered}$$

交换律

交换律是说：我们可以把数的位置对换而答案不变，即：

$$\begin{gathered} a+b=b+c \\ a\ast b=b\ast a \end{gathered}$$

形式化的讲，令 $\ast$ 是非空集合 $S$ 上的二元运算，如果 $\forall x,y\in S$，都有

$$x\ast y=y\ast x$$

则称运算 $\ast$ 在 $S$ 上是可交换的，或者说运算 $\ast$ 在 $S$ 上满足交换律。

根据这样简洁优美的思想，我们可以发现以下的规则符合结合律：

$$ReduceSum(BitShift(A))\to BitShift(ReduceSum(A))$$

根据这样的规则我们可以看到如下实例的优化：

如图所示，A 是一个张量，相比较先位移再 ReduceSum 的操作顺序，我们可以根据结合律，先 ReduceSum，得到一个维度更小的 batch，再进行 BitShift，显然运算的开销减少了。

当然还有许多符合交换律的化简，我们列几个在下方供读者参考。

$$ReduceProd(Exp(A))\to Exp(ReduceSum(A))$$

分配律

分配律简化，即

$$a\ast (b+c)=(a\ast c)+(a\ast b)$$

形式化的讲，令 $\ast$ 和 $\circ$ 是非空集合 $S$ 上的二元运算，如果 $\forall x,y,z\in S$，都有

$$\begin{gathered} x\ast (y\circ z)=(x\ast y)\circ (x\ast z) \\ (y\circ z)\ast x=(y\ast x)\circ (z\ast x) \end{gathered}$$

则称运算 $\ast$ 对 $\circ$ 在 $S$ 上是可分配的，或者说运算 $\ast$ 对 $\circ$ 在 $S$ 上满足分配律。

这个公式从右往左的过程也可以称为提取公因式。根据上述思想，我们可以发现以下的规则符合分配律：

$$(A\cdot B)\star C+(A\cdot B)\star D\to (A\cdot B)\star (C+D)$$

根据这样的规则我们可以看到如下实例的优化：

我们会发现，$A\cdot B$ 之后与 $C,D$ 分别做乘法操作时没有必要的，于是可以提取公因式，将 $C,D$ 单独加和再做乘法，将 4 次算子操作降低为 3 次操作，减少了运算开销。

当然还有许多符合分配律的化简，我们列几个在下方供读者参考。

$$\begin{gathered} A+A\diamond B\to A\diamond (B+1) \\ Square(A+B)-(A+B)\diamond C\to (A+B)\diamond (A+B-C) \end{gathered}$$

注：当我们做代数简化时，一定要先注意到算子是否符合例如交换律，结合律等规则，例如矩阵乘法中 $AB\ne BA$。

最后，我们向大家推荐一篇关于算术简化规则的文章：

DNNFusion: accelerating deep neural networks execution with advanced operator fusion.

其中还包括更多复杂的简化规则供读者参考。

运行简化

运算简化，是减少运算或执行时，冗余的算子或者算子对；我们给出两种规则来解释。

• 逆函数等于其自身函数的对合算子化简：

  $$\begin{gathered} f(f(x))=x \\ f(x)=f^{-1}(x) \end{gathered}$$

  例如取反操作：$-(-x)=x$，倒数，逻辑非，矩阵转置（以及你键盘中英文切换，当你快速按下两次切换的时候，你会发现什么都没有发生，当然次数太多就不一定了）等。

• 幂等算子化简，即作用再某一元素两次与一次相同：

  $$f(f(x))=f(x)$$

  一个具体的实例如下：

  $$Reshape(Reshape(x,shape1),shape2)\to Reshape(x,shape2)$$

  其中，$Shape2$ 的大小小于 $Shape1$。

我们用图来展示上述两中运行化简：

如图所示，对于对合算子 Op1,两次对合后，根据对合性质可得等价于没有操作，所以运行化简后只剩下 Op2。

如图所示，对于幂等算子 Op1，多个幂等算子等价与一次操作，于是运行化简后等价与一个 Op1 算子。

广播简化

当多个张量形状 Shape 不同情况下，需要进行广播（broadcast）将张量的形状拓展为相同 shape 再进行运算，化简为最小计算所需的广播运算数量。

我们还是以一个简单的例子为准，考虑以下 2 个矩阵与 2 个向量的相加：

$$(S_1+Ma{t}_1)+(S_2+Ma{t}_2)\to (S_1+S_2)+(Ma{t}_1+Ma{t}_2)$$

假设矩阵的维度为 4，则一个向量与 4 维矩阵相加时，要先广播为 4 维，再与 Mat 相加，显然左式需要广播两次；但我们可以通过位置替换，将两个向量首先相加再广播，此时就节省了一个广播的开销，达到我们优化的目的。

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