二维泊松方程的通俗理解
二维泊松方程 是偏微分方程的一种形式,通常用于描述空间中某个标量场(如位相场、电势场)的分布规律。其一般形式为:
∇ 2 ϕ ( x , y ) = f ( x , y ) \nabla^2 \phi(x, y) = f(x, y) ∇2ϕ(x,y)=f(x,y)
其中:
- ϕ ( x , y ) \phi(x, y) ϕ(x,y) 是需要求解的标量场,例如 TIE 方程中的相位分布。
- f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 是已知的源项,表示某种驱动或者分布,如光强的变化率。
物理直观:
二维泊松方程的物理意义可以通过类比来理解:
- 热传导: ϕ ( x , y ) \phi(x, y) ϕ(x,y) 表示温度分布, f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 是热源强度分布。
- 重力势: ϕ ( x , y ) \phi(x, y) ϕ(x,y) 表示引力势, f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 是质量密度分布。
- 光学相位:在 TIE 中, ϕ ( x , y ) \phi(x, y) ϕ(x,y) 是光场的相位分布, f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 是由光强变化产生的“驱动力”。
换句话说,泊松方程将一种“局部变化”( ∇ 2 ϕ \nabla^2 \phi ∇2ϕ)与“全局驱动力”( f ( x , y ) f(x, y) f(x,y))联系起来。
TIE 转化为泊松方程的形式
对于 TIE 方程:
∂ I ( x , y , z ) ∂ z = − λ 2 π ∇ ⊥ ⋅ ( I ( x , y , z ) ∇ ⊥ ϕ ( x , y , z ) ) \frac{\partial I(x, y, z)}{\partial z} = -\frac{\lambda}{2\pi} \nabla_\perp \cdot \left( I(x, y, z) \nabla_\perp \phi(x, y, z) \right) ∂z∂I(x,y,z)=−2πλ∇⊥⋅(I(x,y,z)∇⊥ϕ(x,y,z))
可以将其重写为泊松方程的形式:
∇ ⊥ ⋅ ( I ( x , y ) ∇ ⊥ ϕ ( x , y ) ) = − 2 π λ ∂ I ∂ z \nabla_\perp \cdot \left( I(x, y) \nabla_\perp \phi(x, y) \right) = -\frac{2\pi}{\lambda} \frac{\partial I}{\partial z} ∇⊥⋅(I(x,y)∇⊥ϕ(x,y))=−λ2π∂z∂I
将 g ( x , y ) = I ( x , y ) ∇ ⊥ ϕ ( x , y ) g(x, y) = I(x, y) \nabla_\perp \phi(x, y) g(x,y)=I(x,y)∇⊥ϕ(x,y) 引入后,有:
∇ ⊥ ⋅ g ( x , y ) = − 2 π λ ∂ I ∂ z \nabla_\perp \cdot g(x, y) = -\frac{2\pi}{\lambda} \frac{\partial I}{\partial z} ∇⊥⋅g(x,y)=−λ2π∂z∂I
进一步转化为标准泊松方程形式:
∇ 2 ϕ ( x , y ) = f ( x , y ) I ( x , y ) \nabla^2 \phi(x, y) = \frac{f(x, y)}{I(x, y)} ∇2ϕ(x,y)=I(x,y)f(x,y)
其中 f ( x , y ) = − 2 π λ ∂ I ∂ z f(x, y) = -\frac{2\pi}{\lambda} \frac{\partial I}{\partial z} f(x,y)=−λ2π∂z∂I。
傅里叶变换求解泊松方程
1. 为什么用傅里叶变换解泊松方程?
泊松方程涉及 空间梯度(如 ∇ 2 \nabla^2 ∇2,即拉普拉斯算子)。傅里叶变换在数学上有一个重要特性:
- 微分变为乘法:在频域中,拉普拉斯算子 ∇ 2 \nabla^2 ∇2 对应的是空间频率平方的乘积 − k x 2 − k y 2 -k_x^2 - k_y^2 −kx2−ky2。
- 这使得方程从微分方程变成代数方程,简化了求解过程。
2. 傅里叶变换的过程
泊松方程:
∇ 2 ϕ ( x , y ) = f ( x , y ) \nabla^2 \phi(x, y) = f(x, y) ∇2ϕ(x,y)=f(x,y)
对两边做傅里叶变换(记为 F \mathcal{F} F),得:
F ( ∇ 2 ϕ ) = F ( f ) \mathcal{F}(\nabla^2 \phi) = \mathcal{F}(f) F(∇2ϕ)=F(f)
利用傅里叶变换的性质, F ( ∇ 2 ϕ ) = − ( k x 2 + k y 2 ) ⋅ F ( ϕ ) \mathcal{F}(\nabla^2 \phi) = -(k_x^2 + k_y^2) \cdot \mathcal{F}(\phi) F(∇2ϕ)=−(kx2+ky2)⋅F(ϕ),因此:
− ( k x 2 + k y 2 ) Φ ( k x , k y ) = F ( k x , k y ) -(k_x^2 + k_y^2) \Phi(k_x, k_y) = F(k_x, k_y) −(kx2+ky2)Φ(kx,ky)=F(kx,ky)
其中:
- Φ ( k x , k y ) \Phi(k_x, k_y) Φ(kx,ky):相位 ϕ ( x , y ) \phi(x, y) ϕ(x,y) 在频域中的表示。
- F ( k x , k y ) F(k_x, k_y) F(kx,ky): f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在频域中的表示。
解得:
Φ ( k x , k y ) = − F ( k x , k y ) k x 2 + k y 2 \Phi(k_x, k_y) = -\frac{F(k_x, k_y)}{k_x^2 + k_y^2} Φ(kx,ky)=−kx2+ky2F(kx,ky)
3. 避免分母为零的问题
当 k x 2 + k y 2 = 0 k_x^2 + k_y^2 = 0 kx2+ky2=0 时(即零频点处),分母为零。这通常对应光场整体的平均相位,这一部分可以忽略或通过设定边界条件解决。例如,直接将零频点处的值置为零:
Φ ( 0 , 0 ) = 0 \Phi(0, 0) = 0 Φ(0,0)=0
4. 逆傅里叶变换回到空间域
通过逆傅里叶变换( F − 1 \mathcal{F}^{-1} F−1),将 Φ ( k x , k y ) \Phi(k_x, k_y) Φ(kx,ky) 转换回相位分布:
ϕ ( x , y ) = F − 1 ( Φ ( k x , k y ) ) \phi(x, y) = \mathcal{F}^{-1}(\Phi(k_x, k_y)) ϕ(x,y)=F−1(Φ(kx,ky))
总结:为什么可以这么做
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傅里叶变换的优点:
- 将复杂的微分操作转化为频域中的简单乘法,显著简化了解泊松方程的计算难度。
- 频域方法特别适合求解涉及大范围数据的连续问题,如图像中的相位分布。
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数学上的严谨性:
- 傅里叶变换和逆变换是完全可逆的,保证了从空间域到频域再回到空间域的信息一致性。
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频率分析的物理意义:
- 相位梯度和强度变化在本质上是一种空间频率特征,而傅里叶变换就是对这种频率信息的自然表示。
通过傅里叶变换解泊松方程,不仅是数值上的优化,更是利用了物理和数学上的深层对应关系。