什么是初积分

在学习《高等动力学》时碰到一个概念“初积分”，为了方便记忆，在这里做个笔记。

1 定义

在常微分方程理论中，初积分是指对于一个给定的常微分方程组 $\frac{dx_{i}}{dt}=X_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),i=1,2,...,n$ ，如果存在一个可微函数 $V_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ ，使得沿方程组的任何解 $x_{i}(t)$ ，函数 $V$ 的值保持常数，即 $\frac{dV}{dt}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial V}{\partial x_{i}}\frac{dx_{i}}{dt}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial V}{\partial x_{i}}X_{i}=0$ ，那么函数 $V(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ 就称为这个常微分方程的一个初积分。

例如，对于简单的平面自治系统 $\left\{\begin{matrix} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=y\\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=-x{}' \end{matrix}\right.$ ，函数 $V(x,y)=x^{2}+y^{2}$ 是一个初积分。因为 $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=2xy-2xy=0$ 。

2 在物理中的意义(以力学为例)

在哈密顿力学系统中，初积分具有重要的物理意义。哈密顿函数 $H(q,p,t)$ (其中 $q$ 是广义坐标， $p$ 是广义动量)，如果 $H$ 不显式地依赖于时间 $t$ ，那么能量 $H$ 是一个初积分。

比如一个单摆系统，其哈密顿量 $H=\frac{p^{2}}{2m}+mg(1-cos\theta )$ (其中p是动量，m是质量，g是动力加速度， $l$ 是摆长， $\theta$ 是摆角)，在没有摩擦力等非保守力的情况下， $H$ 是一个常数，这个常数对应的物理量就是单摆的总机械能，它是系统的一个初积分。

3 与解常微分方程的关系

初积分可以用来降低常微分方程组的阶数。如果找到了 $k$ 个独立的初积分 $V_{1},V_{2},...,V_{k}$ ，那么原来n阶常微分方程组可以简化为一个(n-k)阶的方程组。

例如，对于一个三阶常微分方程组，如果找到了一个初积分，就可以将其转化为一个二阶常微分方程组，这在求解过程中会降低一定的难度。
对于方程 $\ddot{x}+x=0$ ,可以发现初积分 $V(x,\dot{x})=\dot{x}^{2}+x^{2}$ ,因为 $\frac{dV}{dt}=2\dot{x}\ddot{x}+2x\dot{x}=2\dot{x}(\ddot{x}+x)=0$ ，由 $V(x,\dot{x})=\dot{x}^{2}+x^{2}=C$ 可得 $\dot{x}=\pm \sqrt{C-x^{2}}$ ，这样就把二阶方程转化为一阶方程 $\frac{\mathrm{dx} }{\mathrm{d} t}=\pm \sqrt{C-x^{2}}$ ，方便后续求解。