流网络等价性证明:边分解后的最大流保持不变

流网络等价性证明:边分解后的最大流保持不变

  • 问题描述
  • 证明思路
  • 伪代码
  • C 代码实现
  • 解释

问题描述

在流网络中,证明将一条边分解为两条边所得到的是一个等价的网络。具体来说,假设流网络 $ G $ 包含边 $ (u, v) $,我们以如下方式创建一个新的流网络 $ G’ $:

  1. 创建一个新结点 $ x $。
  2. 用新的边 $ (u, x) $ 和 $ (x, v) $ 来替换原来的边 $ (u, v) $。
  3. 设置容量 $ c(u, x) = c(x, v) = c(u, v) $。

证明 $ G’ $ 中的一个最大流与 $ G $ 中的一个最大流具有相同的值。

在这里插入图片描述

证明思路

  1. 构造流守恒:我们需要证明在任何流量分配下,通过边 $ (u, v) $ 的流量在 $ G’ $ 中可以等价地通过边 $ (u, x) $ 和 $ (x, v) $。
  2. 最大流-最小割定理:利用最大流-最小割定理,证明两个网络的最小割相同,从而证明最大流相同。

伪代码

以下是伪代码来描述如何转换网络并证明最大流相等:

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