本文学习自YuHWEI最浅显易懂的傅里叶变换公式和原理_采样率和信号频率计算镜像频率-CSDN博客

本文会对公式实现 更加详细的补充

连续与离散

一般人们口中所说的傅里叶变换都是指连续傅里叶变换，针对的是连续时域信号.

对于计算设备的信号处理，因为采样设备的采样率是有限的。因此得到的采样信号都是离散的，所以就有了针对离散信号的离散傅里叶变换。

傅里叶变换公式实际意义

由上式可得，要想得到信号频域与相位信息

只需要将信号与复数信号做乘法后积分。

接下来通过以下过程来推导出傅里叶变换公式（3）

信号的筛选

按照傅里叶变换公式所描述的做法

将信号与各已频率信号乘法后积分

框图1内蓝色信号线为MATLAB生成需要做傅里叶变换的随机频率的信号(未知信号)，红色信号线为频率不断增大的正弦信号，红色信号是人为生成的(基信号)，其频率是可知的。

框图2为两正弦波相乘结果。

框图3是对正弦波乘积结果的积分。

从图上可以很清楚直观的看出，当未知信号与基信号频率相同时，他们乘积的积分达到了最大。而这个积分最终的图像是不是就很像信号经过傅里叶变换后的频域图像呢！利用了乘法负负得正的特性，当基信号与未知信号频率完全相同的时候，其时域上乘积全为正数。因此，此时的积分达到最大值。通过此类操作即可得到未知信号的频率。

说人话，就是用各种频率的基信号与未知信号做对比，看看哪个频率的基信号与未知信号最像！！！，而这个对比的方法，用数学来描述就是先相乘后积分，这样描述的话，是不是听起来就没那么复杂了。

以上的未知信号只是单个频率成分的信号

如果未知信号是由多个频率成分的信号组成的呢？

同样，也可以筛选出未知信号中各种频率成分

初始相位的问题

上文全部都是建立在未知信号相位为0的情况下。但是实际使用过程中，信号的相位与频率都是未知的，若只使用上文公式（4）所描述的方式肯定是不行的，如下图：

可以看到若未知信号的初始相位为90°，若还使用公式4，得出的结果与实际就有误了。

此时再回头看看傅里叶变换的公式

不难发现，傅里叶变换使用的是复数信号

也就是说傅里叶变换对未知信号使用复数信号相乘后求积分。而不是只对单个正弦信号做比较。

为了分析其频率信息，我们可以对F（x）做取模开方处理，也就是:

                                             

结果如下图:

可以看到位置信号的频率成分已经被解析出来了

这里注意一点,上文是做了开平方处理，也就是说解除了在正频域，在负频域也有频率分量。

补充：为什么对复数信号做取模开方处理？

因为这个公式

傅里叶变换的结果是一个复数

现在来回答为什么取模开方

取模开方提供了信号在每个频率点上的幅度信息，这是信号频谱分析的核心。

实部和虚部分别表示未知信号与余弦和正弦函数的相关度。

取模开方后，我们得到的是这两个相关度的合成振幅，即信号在该频率下的实际强度。