参考资料：【俄罗斯数学教材选译】代数学引论（第1卷）基础代数【柯斯特利金】

• 代数是研究各种数学对象之间代数关系的科学

下面介绍几个代数学典型的问题。

1. 方程的根式解问题

• 二次方程$a{x}^2+bx+c=0$的解公式
  $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
• 三次方程$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$解公式（卡尔达诺公式）的推导
  • 令$x=y-\frac{b}{3a}$，则
    $$\begin{array}{rl}& a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0\\ & a(y-\frac{b}{3a}{)}^3+b(y-\frac{b}{3a}{)}^2+c(y-\frac{b}{3a})+d=0\\ & y^3+\frac{3ac-b^2}{3a^2}y+\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d}{27a^3}=0\\ & y^3+py+q=0,p=\frac{3ac-b^2}{3a^2},q=\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d}{27a^3}\end{array}$$
  • 令$y=u+v$，则
    $$\begin{array}{rl}& y^3+py+q=0\\ & (u+v{)}^3+p(u+v)+q=0\\ & u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0\end{array}$$
  • 令$3uv+p=0$，即$v=-\frac{p}{3u}$，则
    $$\begin{array}{rl}& u^3+v^3+q=0\\ & u^3-\frac{p^3}{27u^3}+q=0\end{array}$$
  • 令$t=u^3$，则
    $$\begin{array}{rl}& u^3-\frac{p^3}{27u^3}+q=0\\ & t-\frac{p^3}{27t}+q=0\\ & t^2+qt-\frac{p^3}{27}=0\\ & t_{1,2}=\frac{-q\pm \sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}\end{array}$$
  • 取$u=\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}}$，则$v=-\frac{p}{3u}=\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}}$
  • 则$y=u+v$是$y^3+py+q=0$的解
  • $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$的解为
    $$\begin{gathered} x=u+v-\frac{b}{3a}, \\ u=\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}},v=\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}} \\ p=\frac{3ac-b^2}{3a^2},q=\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d}{27a^3} \end{gathered}$$
  • $v$是随$u$变化的，$x$的取值个数取决于$u$。
  • 在复数范围内，任何非零数都有且仅有 3 个立方根（一实根，二共轭虚根），所以$x$有3个取值。
• 四次方程也存在类似公式（费拉里方法）。
• $n$次一般方程$x^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n=0$，当$n>4$时没有根式解。（1827年阿贝尔严格证明）
• 多项式方程$f(x)=0$在扩域$F$上根式可解的充分必要条件是其伽罗瓦群$G_a(E/F)$是可解群。对于五次及更高次的一般方程，其伽罗瓦群不是可解群，这就说明了一般五次及更高次方程没有根式解。