NSGA-II(非支配排序遗传算法II)详解与实现

NSGA-II(非支配排序遗传算法II)详解与实现

1. 算法简介

NSGA-II(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II)是一种高效的多目标优化算法，由Deb等人在2002年提出。它主要解决多个目标之间相互冲突的优化问题。

1.1 核心特点

  1. 快速非支配排序

    • 时间复杂度：O(MN²)
    • M为目标数量，N为种群大小
    • 比NSGA的O(MN³)更高效

  2. 拥挤度距离

    • 保持种群多样性
    • 不需要用户定义分享参数
    • 避免使用小生境技术

  3. 精英策略

    • 保留父代和子代中的优秀个体
    • 确保最优解不会丢失
    • 加快收敛速度

1.2 基本概念

  1. 帕累托支配关系

    对于最小化问题，解x支配解y，需满足：

    • ∀ i : f i ( x ) ≤ f i ( y ) \forall i: f_i(x) \leq f_i(y) ∀i:fi​(x)≤fi​(y)
    • ∃ j : f j ( x ) < f j ( y ) \exists j: f_j(x) < f_j(y) ∃j:fj​(x)<fj​(y)

  2. 帕累托前沿

    • 由非支配解构成
    • 表示目标之间的最优折中
    • 为决策者提供选择空间

2. 算法流程

2.1 主要步骤

  1. 初始化种群P(t)
  2. 生成子代Q(t)
  3. 合并R(t) = P(t) ∪ Q(t)
  4. 对R(t)进行非支配排序
  5. 根据排序和拥挤度选择新种群P(t+1)
  6. 重复步骤2-5直到满足终止条件

2.2 关键组件

  1. 快速非支配排序
def fast_non_dominated_sort(population, objectives):"""快速非支配排序返回：各个等级的解集合"""n = len(population)domination_count = np.zeros(n)  # 被支配次数dominated_solutions = [[] for _ in range(n)]  # 支配的解fronts = [[]]  # 非支配等级# 计算支配关系for i in range(n):for j in range(i + 1, n):if dominates(objectives[i], objectives[j]):dominated_solutions[i].append(j)domination_count[j] += 1elif dominates(objectives[j], objectives[i]):dominated_solutions[j].append(i)domination_count[i] += 1# 找出第一个非支配前沿for i in range(n):if domination_count[i] == 0:fronts[0].append(i)# 生成其他等级的前沿i = 0while fronts[i]:next_front = []for j in fronts[i]:for k in dominated_solutions[j]:domination_count[k] -= 1if domination_count[k] == 0:next_front.append(k)i += 1fronts.append(next_front)return fronts[:-1]  # 去掉最后一个空集
  1. 拥挤度距离计算
def crowding_distance(objectives, front):"""计算一个前沿中各个解的拥挤度距离"""n = len(front)if n <= 2:return [float('inf')] * ndistances = [0] * nm = objectives.shape[1]  # 目标数量for i in range(m):# 对每个目标进行排序sorted_idx = sorted(range(n), key=lambda k: objectives[front[k], i])# 端点设为无穷大distances[sorted_idx[0]] = float('inf')distances[sorted_idx[-1]] = float('inf')# 计算中间点的距离obj_range = objectives[front[sorted_idx[-1]], i] - objectives[front[sorted_idx[0]], i]if obj_range == 0:continuefor j in range(1, n-1):distances[sorted_idx[j]] += (objectives[front[sorted_idx[j+1]], i] - objectives[front[sorted_idx[j-1]], i]) / obj_rangereturn distances

3. 完整实现

import numpy as np
from typing import List, Tuple, Unionclass NSGA2:def __init__(self,pop_size: int = 100,n_generations: int = 100,n_objectives: int = 2,n_variables: int = 30,mutation_rate: float = 0.01,crossover_rate: float = 0.9,variable_bounds: Union[List[Tuple[float, float]], None] = None):self.pop_size = pop_sizeself.n_generations = n_generationsself.n_objectives = n_objectivesself.n_variables = n_variablesself.mutation_rate = mutation_rateself.crossover_rate = crossover_rate# 如果没有指定变量范围，默认为[0,1]if variable_bounds is None:self.variable_bounds = [(0, 1)] * n_variableselse:self.variable_bounds = variable_boundsdef create_offspring(self, population: np.ndarray) -> np.ndarray:"""生成子代"""offspring = np.zeros_like(population)for i in range(0, self.pop_size, 2):# 选择父代parent1_idx = self.tournament_selection(population)parent2_idx = self.tournament_selection(population)# 交叉if np.random.random() < self.crossover_rate:child1, child2 = self.simulated_binary_crossover(population[parent1_idx],population[parent2_idx])else:child1 = population[parent1_idx].copy()child2 = population[parent2_idx].copy()# 变异child1 = self.polynomial_mutation(child1)child2 = self.polynomial_mutation(child2)offspring[i] = child1offspring[i+1] = child2return offspringdef tournament_selection(self, population: np.ndarray, tournament_size: int = 2) -> int:"""锦标赛选择"""idx = np.random.randint(0, self.pop_size, tournament_size)return idx[0]  # 简化版本，实际应该比较个体的非支配等级和拥挤度def simulated_binary_crossover(self, parent1: np.ndarray, parent2: np.ndarray,eta: float = 20) -> Tuple[np.ndarray, np.ndarray]:"""模拟二进制交叉"""child1 = np.zeros_like(parent1)child2 = np.zeros_like(parent2)for i in range(self.n_variables):if np.random.random() < 0.5:child1[i] = parent1[i]child2[i] = parent2[i]continue# 模拟二进制交叉beta = self._get_beta(eta)child1[i] = 0.5 * ((1 + beta) * parent1[i] + (1 - beta) * parent2[i])child2[i] = 0.5 * ((1 - beta) * parent1[i] + (1 + beta) * parent2[i])# 边界处理lower, upper = self.variable_bounds[i]child1[i] = np.clip(child1[i], lower, upper)child2[i] = np.clip(child2[i], lower, upper)return child1, child2def _get_beta(self, eta: float) -> float:"""获取交叉参数beta"""u = np.random.random()if u <= 0.5:return (2 * u) ** (1 / (eta + 1))return (1 / (2 * (1 - u))) ** (1 / (eta + 1))def polynomial_mutation(self, individual: np.ndarray, eta: float = 20) -> np.ndarray:"""多项式变异"""child = individual.copy()for i in range(self.n_variables):if np.random.random() > self.mutation_rate:continuelower, upper = self.variable_bounds[i]delta = upper - lower# 多项式变异r = np.random.random()if r < 0.5:delta_l = (2 * r) ** (1 / (eta + 1)) - 1else:delta_l = 1 - (2 * (1 - r)) ** (1 / (eta + 1))child[i] += delta_l * deltachild[i] = np.clip(child[i], lower, upper)return childdef calculate_objectives(self, population: np.ndarray) -> np.ndarray:"""计算目标函数值"""return np.array([zdt1(x) for x in population])def select_by_crowding(self, front: List[int], crowding_dist: List[float],n_select: int) -> List[int]:"""根据拥挤度距离选择个体"""sorted_idx = sorted(range(len(front)),key=lambda k: crowding_dist[k],reverse=True)return [front[i] for i in sorted_idx[:n_select]]def evolve(self, initial_population: np.ndarray) -> np.ndarray:"""执行进化过程"""population = initial_populationfor gen in range(self.n_generations):# 生成子代offspring = self.create_offspring(population)# 合并父代和子代combined_pop = np.vstack([population, offspring])# 计算目标值objectives = self.calculate_objectives(combined_pop)# 非支配排序fronts = fast_non_dominated_sort(combined_pop, objectives)# 选择新种群new_population = []for front in fronts:if len(new_population) + len(front) <= self.pop_size:new_population.extend(front)else:# 计算拥挤度距离crowding_dist = crowding_distance(objectives, front)# 根据拥挤度选择剩余个体remaining = self.pop_size - len(new_population)selected = self.select_by_crowding(front, crowding_dist, remaining)new_population.extend(selected)breakpopulation = combined_pop[new_population]if gen % 10 == 0:print(f"Generation {gen}: Population size = {len(population)}")return populationdef dominates(obj1: np.ndarray, obj2: np.ndarray) -> bool:"""判断obj1是否支配obj2"""return np.all(obj1 <= obj2) and np.any(obj1 < obj2)def fast_non_dominated_sort(population: np.ndarray, objectives: np.ndarray) -> List[List[int]]:"""快速非支配排序"""n = len(population)domination_count = np.zeros(n)dominated_solutions = [[] for _ in range(n)]fronts = [[]]for i in range(n):for j in range(i + 1, n):if dominates(objectives[i], objectives[j]):dominated_solutions[i].append(j)domination_count[j] += 1elif dominates(objectives[j], objectives[i]):dominated_solutions[j].append(i)domination_count[i] += 1for i in range(n):if domination_count[i] == 0:fronts[0].append(i)i = 0while fronts[i]:next_front = []for j in fronts[i]:for k in dominated_solutions[j]:domination_count[k] -= 1if domination_count[k] == 0:next_front.append(k)i += 1fronts.append(next_front)return fronts[:-1]def crowding_distance(objectives: np.ndarray, front: List[int]) -> List[float]:"""计算拥挤度距离"""n = len(front)if n <= 2:return [float('inf')] * ndistances = [0] * nm = objectives.shape[1]for i in range(m):sorted_idx = sorted(range(n), key=lambda k: objectives[front[k], i])distances[sorted_idx[0]] = float('inf')distances[sorted_idx[-1]] = float('inf')obj_range = objectives[front[sorted_idx[-1]], i] - objectives[front[sorted_idx[0]], i]if obj_range == 0:continuefor j in range(1, n-1):distances[sorted_idx[j]] += (objectives[front[sorted_idx[j+1]], i] - objectives[front[sorted_idx[j-1]], i]) / obj_rangereturn distances

4. 应用示例

让我们以一个经典的多目标优化问题ZDT1为例：

def zdt1(x: np.ndarray) -> np.ndarray:"""ZDT1测试函数"""f1 = x[0]g = 1 + 9 * np.mean(x[1:])f2 = g * (1 - np.sqrt(f1/g))return np.array([f1, f2])# 运行示例
if __name__ == "__main__":nsga2 = NSGA2(pop_size=100, n_generations=100, n_variables=30)initial_pop = np.random.random((100, 30))final_pop = nsga2.evolve(initial_pop)# 计算最终种群的目标值final_objectives = nsga2.calculate_objectives(final_pop)# 绘制帕累托前沿import matplotlib.pyplot as pltplt.figure(figsize=(10, 6))plt.scatter(final_objectives[:, 0], final_objectives[:, 1])plt.xlabel('f1')plt.ylabel('f2')plt.title('Pareto Front')plt.grid(True)plt.show()

5. 完整实现与解析

让我们逐块解析NSGA-II的完整实现，理解每个部分的作用和原理。

5.1 类的初始化

def __init__(self,pop_size: int = 100,n_generations: int = 100,n_objectives: int = 2,n_variables: int = 30,mutation_rate: float = 0.01,crossover_rate: float = 0.9,variable_bounds: Union[List[Tuple[float, float]], None] = None
):

这部分就像是在准备一场比赛：

  • pop_size：决定有多少选手参加（种群大小）
  • n_generations：比赛要进行多少轮（迭代次数）
  • n_objectives：评判标准有几个（目标函数数量）
  • n_variables：每个选手有多少个可调整的参数
  • mutation_rate：选手自我调整的概率
  • crossover_rate：选手互相学习的概率
  • variable_bounds：每个参数的取值范围

5.2 生成子代

def create_offspring(self, population: np.ndarray) -> np.ndarray:"""生成子代"""offspring = np.zeros_like(population)for i in range(0, self.pop_size, 2):# 选择父代parent1_idx = self.tournament_selection(population)parent2_idx = self.tournament_selection(population)# 交叉和变异if np.random.random() < self.crossover_rate:child1, child2 = self.simulated_binary_crossover(population[parent1_idx],population[parent2_idx])else:child1 = population[parent1_idx].copy()child2 = population[parent2_idx].copy()

这就像是在进行一场配对比赛：

  1. 每次选两个选手（父代）
  2. 让他们互相学习（交叉）
  3. 产生两个新选手（子代）
  4. 新选手可能会有一些自己的创新（变异）

5.3 模拟二进制交叉

def simulated_binary_crossover(self, parent1: np.ndarray, parent2: np.ndarray,eta: float = 20) -> Tuple[np.ndarray, np.ndarray]:

这就像两个选手互相学习的过程：

  1. eta参数控制学习程度：
    • 值越大，子代越像父代
    • 值越小，变化越大
  2. 每个参数都有机会被交换或混合
  3. 确保新的参数不会超出范围

举个例子：

  • 父代1的某个参数是0.3
  • 父代2的某个参数是0.7
  • 交叉后可能得到0.4和0.6两个新值

5.4 多项式变异

def polynomial_mutation(self, individual: np.ndarray, eta: float = 20) -> np.ndarray:

这就像选手在尝试新东西：

  1. 每个参数都有小概率发生改变
  2. 改变的幅度由eta控制：
    • 值越大，改变越小
    • 值越小，改变越大
  3. 确保改变后的值仍在允许范围内

比如：

  • 原来的参数值是0.5
  • 变异后可能变成0.48或0.52

5.5 非支配排序

def fast_non_dominated_sort(population: np.ndarray, objectives: np.ndarray):

这就像对选手进行分级：

  1. 第一级：没有人比他们更好的选手
  2. 第二级：除去第一级后，没有人比他们更好的选手
  3. 以此类推…

举例：

  • A选手：速度快，耐力好 → 第一级
  • B选手：速度快，耐力一般 → 第二级
  • C选手：速度一般，耐力好 → 第二级
  • D选手：速度慢，耐力差 → 第三级

5.6 拥挤度距离

def crowding_distance(objectives: np.ndarray, front: List[int]):

这就像测量选手之间的独特性：

  1. 在同一级别中
  2. 看看每个选手与周围选手的不同程度
  3. 不同程度越大，得分越高

比如在第一级中：

  • A选手：与其他人很不同 → 高分
  • B选手：与C选手很相似 → 低分
  • C选手：与B选手很相似 → 低分

5.7 进化主循环

def evolve(self, initial_population: np.ndarray):

整个过程就像一个循环的比赛：

  1. 现有选手比赛
  2. 产生新选手
  3. 所有选手一起评级
  4. 选出最好的一批进入下一轮
  5. 重复这个过程

每一代都会：

  • 保留最优秀的选手
  • 淘汰表现差的选手
  • 产生新的选手

5.8 测试函数

def zdt1(x: np.ndarray) -> np.ndarray:

这是一个测试案例，就像是给选手设置的考试：

  1. 有两个目标：
    • 第一个目标：x[0]越小越好
    • 第二个目标：一个复杂的计算结果越小越好
  2. 这两个目标是相互冲突的
  3. 需要找到多个平衡的解

6. 结果分析

6.1 帕累托前沿

在这里插入图片描述

从上图的帕累托前沿我们可以观察到以下特点：

  1. 前沿形状

    • 呈现出平滑的凹形曲线
    • f1从0到1分布
    • f2从约1.4到3.8分布
    • 这是典型的ZDT1测试问题的理论前沿形状

  2. 解的分布

    • 点的分布较为均匀
    • 覆盖了整个决策空间
    • 没有明显的间隙
    • 在两端的解密度略低

  3. 权衡关系

    • 清晰展示了f1和f2之间的此消彼长关系
    • 当f1接近0时，f2达到最大值(约3.8)
    • 当f1接近1时，f2达到最小值(约1.4)
    • 中间区域展示了两个目标的平衡点

  4. 算法性能表现

    • 收敛性：

      • 解都落在一条光滑曲线上
      • 没有明显的离群点
      • 说明算法收敛性良好

    • 多样性：

      • 解在整个前沿上分布均匀
      • 端点解被很好地保留
      • 说明拥挤度距离机制效果良好

    • 前沿完整性：

      • 覆盖了整个帕累托前沿
      • 没有明显的空缺区域
      • 说明算法的搜索能力强

6.2 实际应用意义

这个结果在实际应用中意味着：

  1. 决策支持

    • 为决策者提供了一系列可选的折中方案
    • 每个点代表一个不同的权衡方案
    • 决策者可以根据实际需求选择合适的解

  2. 方案选择

    • 如果更重视f1（第一个目标），可以选择右侧的解
    • 如果更重视f2（第二个目标），可以选择左侧的解
    • 如果需要平衡，可以选择中间区域的解

  3. 解的特点

    • 左上角的解：f1较小，f2较大
    • 右下角的解：f1较大，f2较小
    • 中间的解：两个目标都处于中等水平

总结

NSGA-II算法通过其高效的非支配排序和新颖的拥挤度计算机制，成功解决了多目标优化问题中的三个关键问题：

  1. 如何引导种群向帕累托前沿收敛
  2. 如何保持解的多样性
  3. 如何保留精英个体

这使得NSGA-II成为了多目标优化领域最受欢迎的算法之一。

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