【线性代数】通俗理解特征向量与特征值

这一块在线性代数中属于重点且较难理解的内容，下面仅个人学习过程中的体会，错误之处欢迎指出，有更简洁易懂的理解方式也欢迎留言学习。

文章目录

概念
计算
几何直观理解
意义

概念

矩阵本身就是一个线性变换，对一个空间中的向量应用这个矩阵，一般几何表现上为向量发生了旋转、伸缩、反射等变换。如果存在一个向量，在变换前变换后方向不变，这样的向量就是这个矩阵的特征向量。

计算

按照上面定义，对于一个矩阵 $A$ 和一个向量 $v$ ， $\cdot v=\lambda v$ ，也就是向量 $v$ 在变换前后只有长度上的变化，没有方向上的变化，这样的向量 $v$ 和缩放倍数 $\lambda$ 分别叫做特征值和特征向量。

以下面这个矩阵A为例计算特征值：
$\begin{bmatrix} 2&1 \\ 0&1 \end{bmatrix}$
$\cdot v=\lambda v$
=> $\cdot v=\lambda I v$
=> $\lambda I) \cdot v=\mathbf{0}$
=> $\lambda I=0$
=>
$\begin{bmatrix} 2-\lambda&1 \\ 0&1-\lambda \end{bmatrix}=0$
=> $(2-\lambda)(1-\lambda)=0$
$\lambda=1$ 或 $\lambda=2$

1） $\lambda=1$ 时： $\lambda I) \cdot v=\mathbf{0}$
=>
$\begin{bmatrix} 1&1 \\ 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
=>
$\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}+ y \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
=>
$x + y = 0$ ，所以(-1, 1)是 $\lambda=1$ 时的一个特征向量。

2）同样的过程可以求出 $\lambda=2$ 时(1, 0)是一个特征向量。

从计算过程还可以看出：特征值与特征向量的取值无关，只跟矩阵本身有关。且特征向量可以在该向量的所在直线上有无穷多个。

几何直观理解

上面计算的特征值和特征向量表明，在二维空间中对一个图形应用矩阵A的变换，该变换会将原图形在向量(1, -1)的方向维持不变，将向量(-1, 1)的方向拉伸2倍。

可视化：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定义一个二维椭圆
def generate_ellipse(num_points=100, a=2, b=1):theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, num_points)x = a * np.cos(theta)y = b * np.sin(theta)return x, y# 定义一个非对称变换矩阵
transformation_matrix = np.array([[2, 1],[0, 1]])# 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(transformation_matrix)# 生成原始椭圆
x, y = generate_ellipse()# 将椭圆应用变换
xy_transformed = np.dot(transformation_matrix, np.array([x, y]))
x_transformed, y_transformed = xy_transformed# 动态计算新的坐标轴范围
x_min, x_max = x_transformed.min(), x_transformed.max()
y_min, y_max = y_transformed.min(), y_transformed.max()
padding = 0.5  # 添加一些额外的空间# 绘制原始和变换后的椭圆
fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 6))# 原始椭圆
ax[0].plot(x, y, color='b')
ax[0].set_title('Original Ellipse')
ax[0].set_xlim(-2.5, 2.5)  # 紧凑的范围
ax[0].set_ylim(-1.5, 1.5)
ax[0].set_aspect('equal', 'box')# 变换后的椭圆
ax[1].plot(x_transformed, y_transformed, color='r')
ax[1].set_title('Transformed Ellipse')
ax[1].set_xlim(x_min - padding, x_max + padding)
ax[1].set_ylim(y_min - padding, y_max + padding)
ax[1].set_aspect('equal', 'box')# 绘制特征向量
origin = np.array([[0, 0], [0, 0]])  # 原点
ax[1].quiver(*origin, eigenvectors[0, :], eigenvectors[1, :], color=['g', 'g'], angles='xy', scale_units='xy', scale=1)# 在图形旁边显示变换矩阵和特征值
textstr = f'Transformation Matrix:\n{transformation_matrix}\n\n'
textstr += f'Eigenvalues:\n{eigenvalues}\n\n'
textstr += f'Eigenvectors:\n{eigenvectors}'props = dict(boxstyle='round', facecolor='wheat', alpha=0.5)
plt.gcf().text(0.5, 0.02, textstr, fontsize=10, bbox=props)plt.tight_layout()
plt.show()