1. 等权中位数

背景：
给定一系列整数，求一个整数x使得x在数轴上与所有整数在数轴上的距离和最小。
结论：
这一系列的整数按顺序排好后的中位数(偶数个整数的中位数取$\frac{n}{2}或\frac{n}{2}+1$都可)一定是所求点x;
证明：
将所有整数排好序得$a_1,a_2,...,a_n$，则距离和可表示为$\sum dis=|x-a_1|+|x-a_2|+...+|x-a_n|$
此时该函数的图像一定是（偶数个整数时）

或（奇数个整数时）

其中每个拐点对应横坐标代表一个整数$a_i$,可知一定取中位数可得最短距离和

2. 带权距离和（带权中位数）

背景：
数轴上有些点有不同的权重，求数轴上一个整数点x使得所有整数点到x的距离和权重的乘积之和最小，也即求最小带权距离和。
结论：
数轴上的一个整点A，使得该点左侧（包括A所在的点上的权重）的权重之和恰好大于等于总权重的一半，也即所有数的带权中位数。
证明：
假设A左侧权重为L，右侧权重和为R，A上的权重为M；易知L,R<=（L+R+M）/2
反证法，假设该点A不是带权距离和最小的点则 :
1.将该点往左侧一个整点移动，则原来A左侧点少移L个带权距离，A点右侧多移R+M个带权距离，则增量为R+M-L>=0；
2.若往右移动则同理，可算得增量为L+M-R>=0；
矛盾，则该点一定为所求。