计算机组成原理——数据表示（二）

当生活的压力和困惑缠绕在身边，我们往往需要振奋精神，勇往直前。无论在何种困境中，我们都要保持积极的态度和坚定的信念。将悲观的情绪抛之脑后，展现出坚强的意志力和无尽的活力。振奋精神意味着我们要战胜自己内心的负面情绪，抛开烦恼，迎接挑战。无论面对多么艰难的境遇，我们都应该激发内心的力量，迎难而上。不论结果如何，勇敢的尝试本身就是一种胜利。振奋精神是一种积极的心态，它让我们变得更加勇敢、自信和坚定。只有拥有振奋精神，我们才能在困境中找到解决问题的办法，战胜自己的恐惧和犹豫。所以，无论前方有多么曲折和艰巨，让我们一起振奋精神，勇往直前吧！

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2.2 定点数的表示

2.2.1 无符号数和有符号数的表示

2.2.2 机器数的定点表示

2.2.3 数的机器码表示

2.3 浮点数的表示

2.3.1 浮点数的表示格式

2.3.2 规格化浮点数

2.3.3 IEEE 754标准

2.4 常见问题和易混淆知识点

无符号数与有符号数的区别

定点数与浮点数的选择

规格化与非规格化的理解

IEEE 754标准的理解

2.2 定点数的表示

2.2.1 无符号数和有符号数的表示

无符号数（Unsigned Numbers）：

定义： 只能表示非负数，每一位都用于表示数值大小，没有专门的符号位。
范围： 对于n位无符号整数，其取值范围是从0到2n−12n−1。例如，8位无符号整数的范围是0到255。
例子： 一个8位无符号整数00001010表示十进制中的10。

有符号数（Signed Numbers）：

定义： 可以表示正数和负数，最高位通常作为符号位，0 表示正数，1 表示负数。
原码（Sign-Magnitude Representation）：
- 定义： 符号位加上绝对值的二进制表示。例如，8位二进制中的+5为00000101，-5为10000101。
- 问题： 存在一个正零和一个负零（00000000和10000000），这增加了复杂性。
反码（One's Complement）：
- 定义： 正数的反码等于其原码；负数的反码是在原码基础上，除了符号位外，其余各位取反。
- 问题： 同样存在两个零的问题，并且在进行算术运算时需要额外的步骤来处理符号位。
补码（Two's Complement）：
- 定义： 是最常用的表示方式。正数的补码等于其原码；负数的补码是在其反码的基础上加1。补码的优点是可以简化加减法运算，因为在补码系统中，正数和负数的加减法可以统一为加法操作。
- 优点： 解决了双零问题，并且使得加法器设计更为简单，能够正确处理带符号数的加减运算。
例子：
- +5 的补码表示为 00000101。
- -5 的补码表示为 11111011（先将5转换成二进制 00000101，然后取反得到 11111010，最后加1变为 11111011）。

2.2.2 机器数的定点表示

定点数（Fixed-point Number）：

定义： 定点数是指小数点位置固定不变的数字表示方法。根据小数点的位置不同，分为定点整数和定点小数两种类型。
定点整数： 小数点位于最低有效位之后，所有位都用来表示整数部分。
定点小数： 小数点位于最高有效位之前，所有位都用来表示小数部分。
混合定点数： 一部分位表示整数部分，另一部分位表示小数部分。小数点的位置是预先约定好的。

特点：

简单直观，硬件实现容易。
适合用于对精度要求不高或已知数据范围的应用场景。
在嵌入式系统和DSP（数字信号处理器）中广泛应用。

2.2.3 数的机器码表示

机器码（Machine Code）：

定义： 机器码是计算机内部用来表示数值的形式，采用二进制表示法。对于有符号数，通常使用补码形式。
无符号数： 没有符号位，全部位用于表示数值。
有符号数： 使用最高位作为符号位，其余位表示数值。

例子：

对于8位二进制：
- +5 的补码表示为 00000101。
- -5 的补码表示为 11111011。

2.3 浮点数的表示

2.3.1 浮点数的表示格式

浮点数（Floating-point Number）：

定义： 浮点数是一种用来表示实数的数据类型，它允许小数点位置浮动，从而可以表示非常大或非常小的数值。
组成： 浮点数由三部分组成：符号位（S）、指数位（E）和尾数位（M）。
- 符号位（S）： 1位，表示数值的正负，0为正，1为负。
- 指数位（E）： 表示数值的大小，通常是偏置表示法（Biased Notation），即实际指数加上一个偏移量。
- 尾数位（M）： 表示数值的有效数字部分，也称为分数部分。

例子：

IEEE 754单精度浮点数格式：
- 符号位：1位
- 指数位：8位
- 尾数位：23位

2.3.2 规格化浮点数

规格化（Normalized Form）：

定义： 当浮点数被表示为规格化形式时，尾数的第一位总是隐含为1（但不在存储中显式出现），这样可以在不增加存储空间的情况下提高表示精度。
特点：
- 提高了表示精度，因为多了一位有效数字。
- 保证了浮点数之间的比较更加直接和高效。

非规格化数（Denormalized or Subnormal Numbers）：

定义： 当指数全为0时，尾数不再隐含前导1，而是直接从第一位开始计算，这样的浮点数被称为非规格化数。
作用： 主要是为了扩展可表示的最小正数和最大负数的范围，填补了规格化数与零之间的空隙。

2.3.3 IEEE 754标准

IEEE 754标准：

概述： IEEE 754是一个广泛接受的标准，规定了浮点数的表示方法、舍入规则以及异常情况的处理等。
版本： 目前有两个主要版本——1985年发布的原始版本和2008年更新的版本。
格式：
- 单精度（Single Precision）： 32位，包括1位符号位、8位指数位和23位尾数位。
- 双精度（Double Precision）： 64位，包括1位符号位、11位指数位和52位尾数位。
- 四精度（Quadruple Precision）： 128位，适用于更高精度需求的场合。

特殊值：

零（Zero）： 所有位均为0表示正零；符号位为1，其他位为0表示负零。
无穷大（Infinity）： 指数全为1，尾数全为0表示正无穷或负无穷。
NaN（Not a Number）： 指数全为1，尾数至少有一位为1表示不是一个合法的数值。

2.4 常见问题和易混淆知识点

无符号数与有符号数的区别

区别： 无符号数只能表示非负数，而有符号数既能表示正数也能表示负数。它们的最大区别在于最高位是否作为符号位使用。
影响： 如果不小心将有符号数当作无符号数处理，可能会导致严重的逻辑错误。例如，在C语言中，如果一个变量被声明为unsigned int，那么即使它的值超过了int类型的上限，也不会触发溢出错误，而是继续循环回0。