【作者主页】Francek Chen
【专栏介绍】$\lceil$PyTorch深度学习$\rfloor$ 深度学习 (DL, Deep Learning) 特指基于深层神经网络模型和方法的机器学习。它是在统计机器学习、人工神经网络等算法模型基础上，结合当代大数据和大算力的发展而发展出来的。深度学习最重要的技术特征是具有自动提取特征的能力。神经网络算法、算力和数据是开展深度学习的三要素。深度学习在计算机视觉、自然语言处理、多模态数据分析、科学探索等领域都取得了很多成果。本专栏介绍基于PyTorch的深度学习算法实现。
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  前一节我们描述了过拟合的问题，本节我们将介绍一些正则化模型的技术。我们总是可以通过去收集更多的训练数据来缓解过拟合。但这可能成本很高，耗时颇多，或者完全超出我们的控制，因而在短期内不可能做到。假设我们已经拥有尽可能多的高质量数据，我们便可以将重点放在正则化技术上。

  回想一下，在多项式回归的例子（模型选择、欠拟合和过拟合）中，我们可以通过调整拟合多项式的阶数来限制模型的容量。实际上，限制特征的数量是缓解过拟合的一种常用技术。然而，简单地丢弃特征对这项工作来说可能过于生硬。我们继续思考多项式回归的例子，考虑高维输入可能发生的情况。多项式对多变量数据的自然扩展称为单项式（monomials），也可以说是变量幂的乘积。单项式的阶数是幂的和。例如，$x_1^2{x}_2$和$x_3{x}_5^2$都是3次单项式。

  注意，随着阶数$d$的增长，带有阶数$d$的项数迅速增加。 给定$k$个变量，阶数为$d$的项的个数为$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1+d}{k-1}\right)$，即$C_{k-1+d}^{k-1}=\frac{(k-1+d)!}{(d)!(k-1)!}$。因此即使是阶数上的微小变化，比如从$2$到$3$，也会显著增加我们模型的复杂性。仅仅通过简单的限制特征数量（在多项式回归中体现为限制阶数），可能仍然使模型在过简单和过复杂中徘徊，我们需要一个更细粒度的工具来调整函数的复杂性，使其达到一个合适的平衡位置。

一、范数与权重衰减

  在【深度学习基础】预备知识 | 线性代数 中，我们已经描述了$L_2$范数和$L_1$范数，它们是更为一般的$L_p$范数的特殊情况。

  在训练参数化机器学习模型时，权重衰减（weight decay）是最广泛使用的正则化的技术之一，它通常也被称为$L_2$正则化。这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度，因为在所有函数$f$中，函数$f=0$（所有输入都得到值$0$）在某种意义上是最简单的。但是我们应该如何精确地测量一个函数和零之间的距离呢？没有一个正确的答案。事实上，函数分析和巴拿赫空间理论的研究，都在致力于回答这个问题。

  一种简单的方法是通过线性函数$f(\mathbf{x})={\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{x}$中的权重向量的某个范数来度量其复杂性，例如$\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2$。要保证权重向量比较小，最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。将原来的训练目标最小化训练标签上的预测损失，调整为最小化预测损失和惩罚项之和。现在，如果我们的权重向量增长的太大，我们的学习算法可能会更集中于最小化权重范数$\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2$。这正是我们想要的。让我们回顾一下【深度学习基础】线性神经网络 | 线性回归 中的线性回归例子。我们的损失由下式给出：
$$L(\mathbf{w},b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right)}^2\text{\hspace{1em}(1)}$$

  回想一下，${\mathbf{x}}^{(i)}$是样本$i$的特征，$y^{(i)}$是样本$i$的标签，$(\mathbf{w},b)$是权重和偏置参数。为了惩罚权重向量的大小，我们必须以某种方式在损失函数中添加$\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2$，但是模型应该如何平衡这个新的额外惩罚的损失？实际上，我们通过正则化常数$\lambda$来描述这种权衡，这是一个非负超参数，我们使用验证数据拟合：
$$L(\mathbf{w},b)+\frac{\lambda }{2}\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2\text{\hspace{1em}(2)}$$

  对于$\lambda =0$，我们恢复了原来的损失函数。对于$\lambda >0$，我们限制$\Vert \mathbf{w}\Vert$的大小。这里我们仍然除以$2$：当我们取一个二次函数的导数时，$2$和$1/2$会抵消，以确保更新表达式看起来既漂亮又简单。为什么在这里我们使用平方范数而不是标准范数（即欧几里得距离）？我们这样做是为了便于计算。通过平方$L_2$范数，我们去掉平方根，留下权重向量每个分量的平方和。这使得惩罚的导数很容易计算：导数的和等于和的导数。

  此外，为什么我们首先使用$L_2$范数，而不是$L_1$范数。事实上，这个选择在整个统计领域中都是有效的和受欢迎的。$L_2$正则化线性模型构成经典的岭回归（ridge regression）算法，$L_1$正则化线性回归是统计学中类似的基本模型，通常被称为套索回归（lasso regression）。使用$L_2$范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。这使得我们的学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。在实践中，这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。相比之下，$L_1$惩罚会导致模型将权重集中在一小部分特征上，而将其他权重清除为零。这称为特征选择（feature selection），这可能是其他场景下需要的。

  使用与随机梯度下降中的相同符号，$L_2$正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式：
$$\begin{array}{rl}\mathbf{w}& \leftarrow \left(1-\eta \lambda \right)\mathbf{w}-\frac{\eta }{|\mathcal{B}|}\sum _{i\in \mathcal{B}}{\mathbf{x}}^{(i)}\left({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}^{(i)}+b-y^{(i)}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

  根据之前章节所讲的，我们根据估计值与观测值之间的差异来更新$\mathbf{w}$。然而，我们同时也在试图将$\mathbf{w}$的大小缩小到零。这就是为什么这种方法有时被称为权重衰减。我们仅考虑惩罚项，优化算法在训练的每一步衰减权重。与特征选择相比，权重衰减为我们提供了一种连续的机制来调整函数的复杂度。较小的$\lambda$值对应较少约束的$\mathbf{w}$，而较大的$\lambda$值对$\mathbf{w}$的约束更大。

  是否对相应的偏置$b^2$进行惩罚在不同的实践中会有所不同，在神经网络的不同层中也会有所不同。通常，网络输出层的偏置项不会被正则化。

二、高维线性回归

  我们通过一个简单的例子来演示权重衰减。

%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

  首先，我们像以前一样生成一些数据，生成公式如下：
$$y=0.05+\sum _{i=1}^{d}0.01x_i+ϵ,\text{其中}ϵ\sim \mathcal{N}(0,0.01^2)\text{\hspace{1em}(4)}$$

  我们选择标签是关于输入的线性函数。标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到$d=200$，并使用一个只包含20个样本的小训练集。

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

三、权重衰减的从零开始实现

  下面我们将从头开始实现权重衰减，只需将$L_2$的平方惩罚添加到原始目标函数中。

（一）初始化模型参数

  首先，我们将定义一个函数来随机初始化模型参数。

def init_params():w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)b = torch.zeros(1, requires_grad=True)return [w, b]

（二）定义$L_2$范数惩罚

  实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。

def l2_penalty(w):return torch.sum(w.pow(2)) / 2

（三）定义训练代码实现

  下面的代码将模型拟合训练数据集，并在测试数据集上进行评估。从线性神经网络以来，线性网络和平方损失没有变化，所以我们通过d2l.linreg和d2l.squared_loss导入它们。唯一的变化是损失现在包括了惩罚项。

def train(lambd):w, b = init_params()net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_lossnum_epochs, lr = 100, 0.003animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log', xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])for epoch in range(num_epochs):for X, y in train_iter:# 增加了L2范数惩罚项，# 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)l.sum().backward()d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)if (epoch + 1) % 5 == 0:animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss), d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

（四）忽略正则化直接训练

  我们现在用lambd = 0禁用权重衰减后运行这个代码。注意，这里训练误差有了减少，但测试误差没有减少，这意味着出现了严重的过拟合。

train(lambd=0)

（五）使用权重衰减

  下面，我们使用权重衰减来运行代码。注意，在这里训练误差增大，但测试误差减小。这正是我们期望从正则化中得到的效果。

train(lambd=3)

四、权重衰减的简洁实现

  由于权重衰减在神经网络优化中很常用，深度学习框架为了便于我们使用权重衰减，将权重衰减集成到优化算法中，以便与任何损失函数结合使用。此外，这种集成还有计算上的好处，允许在不增加任何额外的计算开销的情况下向算法中添加权重衰减。由于更新的权重衰减部分仅依赖于每个参数的当前值，因此优化器必须至少接触每个参数一次。

  在下面的代码中，我们在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数。默认情况下，PyTorch同时衰减权重和偏移。这里我们只为权重设置了weight_decay，所以偏置参数$b$不会衰减。

def train_concise(wd):net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))for param in net.parameters():param.data.normal_()loss = nn.MSELoss(reduction='none')num_epochs, lr = 100, 0.003# 偏置参数没有衰减trainer = torch.optim.SGD([{"params":net[0].weight,'weight_decay': wd}, {"params":net[0].bias}], lr=lr)animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log', xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])for epoch in range(num_epochs):for X, y in train_iter:trainer.zero_grad()l = loss(net(X), y)l.mean().backward()trainer.step()if (epoch + 1) % 5 == 0:animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss), d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())

  这些图看起来和我们从零开始实现权重衰减时的图相同。然而，它们运行得更快，更容易实现。对于更复杂的问题，这一好处将变得更加明显。

train_concise(0)

train_concise(3)

  到目前为止，我们只接触到一个简单线性函数的概念。此外，由什么构成一个简单的非线性函数可能是一个更复杂的问题。例如，再生核希尔伯特空间（RKHS）允许在非线性环境中应用为线性函数引入的工具。不幸的是，基于RKHS的算法往往难以应用到大型、高维的数据。在本专栏中，我们将默认使用简单的启发式方法，即在深层网络的所有层上应用权重衰减。

小结

• 正则化是处理过拟合的常用方法：在训练集的损失函数中加入惩罚项，以降低学习到的模型的复杂度。
• 保持模型简单的一个特别的选择是使用$L_2$惩罚的权重衰减。这会导致学习算法更新步骤中的权重衰减。
• 权重衰减功能在深度学习框架的优化器中提供。
• 在同一训练代码实现中，不同的参数集可以有不同的更新行为。