高等数学学习笔记 ☞ 微分方程

1. 微分方程的基本概念

1. 微分方程的基本概念：

（1）微分方程：含有未知函数及其导数或微分的方程。

举例说明微分方程： ${y}'+y+x=0$ ； $xdy=ydx$ 。

（2）微分方程的阶：指微分方程中未知函数的导数的最高阶数。

举例说明微分方程的阶数：一阶微分方程： ${y}'$ ， $({y}')^{2}$ ；二阶微分方程： ${y}''$ ， ${y}''{y}'$ 。

（3）微分方程的解：就是把一个函数代入微分方程使其成立，那么这个函数就是微分方程的解。

（4）微分方程的通解：它是微分方程的解，该解具有《解里边含有任意常数的个数等于微分方程的阶数》特性。

举例说明微分方程的通解： ${y}'=e^{x}\rightarrow y=e^{x}+C$ ； ${y}''=e^{x}\rightarrow y=e^{x}+C_{1}x+C_{2}$ 。

（5）微分方程的特解：将给定的初始条件代入微分方程的通解，求解任意常数后的通解，称为微分方程的特解。

举例说明微分方程的特解：已知初始条件： $y(0)=1,y(1)=2$ ，微分方程 ${y}''=e^{x}$ 的通解为： $y=e^{x}+C_{1}x+C_{2}$ ，

将初始条件代入通解，可得： $C_{1}=2-e,C_{2}=0$ ，则特解为 $y=e^{x}+(2-e)x$ 。

（6）解微分方程：就是找出未知函数的过程。

2. 微分方程的分类：

（1）根据微分方程中所含有的自变量的个数分类：

①：常微分方程：指微分方程中只包含一个自变量的方程，如： $y=f(x)$ 。

②：偏微分方程：指微分方程中包含两个或两个以上自变量的方程，如： $z=f(x,y)$ 。

备注：偏微分方程里边含有偏导数，如 $y{z}'_{x}+x{z}'_{y}=0$ 。

（2）根据微分方程中未知函数及其导数之间的关系分类：

①：线性微分方程：指未知函数及其导数呈线性关系。如： $3{y}''+e^{x}{y}'+y=0$ 。

②：非线性微分方程：指未知函数及其导数不呈线性关系。如 $3{y}''y+e^{x}{y}'+y=0$ ； ${y}'+2^{y}=0$ 。

备注：微分方程的线性与非线性与线性代数中的线性与非线性是有区别的。

2. 一阶微分方程

2.1 可分离变量的微分方程

1. 定义：就是指自变量和因变量可以分离开来的微分方程。可转化为形如 $M(x)dx=N(y)dy$ 类型的等式。

说明：①： $M(x)$ ：与 $x$ 相关的式子； $N(y)$ ：与 $y$ 相关的式子。

②：等式两端同时取不定积分，即： $\int M(x)dx=\int N(y)dy$ ，再进一步进行求解即可。

2. 举例说明：

（1）求微分方程 $\frac{1}{x}dx=\frac{1}{y}dy$ 的通解：

解：等式两端同时取不定积分，可得： $\int \frac{1}{x}dx=\int \frac{1}{y}dy$ 。

求解等式两端的不定积分可得： $\ln |x|=\ln |y|-C_{1}\Rightarrow \ln |y|-\ln |x|=C_{1}\Rightarrow \ln |\frac{y}{x}|=C_{1}$ 。

等式两端同时取 $e$ 的指数，整理得： $y=\pm e^{c_{1}}x$ 。

进一步整理可得： $y=Cx$ 。

备注：求解微分方程时，根据实际情况适当的对 $C$ 进行处理，如 $\ln |y|=\ln |x|+\ln |C|\Rightarrow y=Cx$ 。

（2）求微分方程 $x(y+1)dx=y(x+1)dy$ 的通解：

解：方程两端同时除以 $(x+1)(y+1)$ ，然后等式两端同时取不定积分，可得： $\int \frac{x}{x+1}dx=\int \frac{y}{y+1}dy$ 。

求解等式两端的不定积分可得： $x-\ln|x+1|=-y+\ln |y+1|+C$ 。

进一步整理可得微分方程的解： $x+y-\ln|x+1|-\ln |y+1|=C$ 。

注意：当最等式两端做除法运算时，需要考虑相应的定义(验证通解是否包含特殊情况)，即：

当同时除以 $(x+1)(y+1)$ 时，默认是 $x\neq -1,y\neq -1$ 的，那么此时就需要验证 $x= -1,y= -1$ 是否是

微分方程的解。将 $x= -1,y= -1$ 代入微分方程可知，等式成立，故 $x= -1,y= -1$ 也是微分方程的解。

备注：求解微分方程时不要漏解，一般要求最终整理出来的式子不要带分式。

2.2 齐次微分方程

1. 定义：就是指自变量和因变量作为一个整体出现且次数相等的微分方程。可转化为形如 $\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$ 或 $\frac{dx}{dy}=g(\frac{x}{y})$ 类型的等式。

说明： $\frac{dy}{dx}$ 表明： $x$ 是自变量和 $y$ 是因变量； $\frac{dx}{dy}$ 表明： $y$ 是自变量和 $x$ 是因变量。

2. 举例说明：

（1）求微分方程 $(x^{3}+y^{3})dx-3xy^{2}dy=0$ 的通解(固定解法，三步走)：

解：方程两端同时除以 $x^{3}$ ，整理可得： $\frac{dy}{dx}=\frac{1+(\frac{y}{x})^{3}}{3(\frac{y}{x})^{2}}$ 。①

三步走：令 $\frac{y}{x}=u$ ，则 $y=xu,\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$ 。②

②带入①上式可得： $u+x\frac{du}{dx}=\frac{1+u^{3}}{3u^{2}}\Rightarrow\frac{3u^{2}}{1-2u^{3}}du=\frac{1}{x}dx$ 。

对上式方程两端同时取不定积分并整理可得： $-\frac{1}{2}\ln |1-2u^{3}|=\ln |x|+C_{1}\Rightarrow x\sqrt{1-2u^{3}}=C_{2}$ 。

进行回代可得： $x\sqrt{1-2(\frac{y}{x})^{3}}=C_{2}\Rightarrow 2y^{3}=x^{3}-Cx$ 。

（2）求微分方程 $\frac{dx}{dy}=\frac{2e^{\frac{x}{y}}(\frac{x}{y}-1)}{1+2e^{\frac{x}{y}}}$ 的通解(固定解法，三步走)：

解：三步走：令 $\frac{x}{y}=u$ ，则 $x=yu,\frac{dx}{dy}=u+y\frac{du}{dy}$ 。

将上式带入微分方程可得： $u+y\frac{du}{dy}=\frac{2e^{u}(u-1)}{1+2e^{u}}\Rightarrow \frac{1+2e^{u}}{2e^{u}+u}du=-\frac{1}{y}dy$ 。

对上式方程两端同时取不定积分并整理可得： $\ln |u+2e^{u}|+\ln|y|=\ln |C|\Rightarrow y(u+2e^{u})=C$ 。

进行回代可得： $y(\frac{x}{y}+2e^{\frac{x}{y}})=C\Rightarrow x+2ye^{\frac{x}{y}}=C$ 。

2.3 一阶线性微分方程

1. 定义：就是指未知函数的导数的最高阶数为1且未知函数及其导数之间呈线性关系的微分方程，

可转化为形如 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ 或 $\frac{dx}{dy}+P(y)x=Q(y)$ 类型的等式。

备注：当 $x$ 与 $y$ 出现在一起时，默认意识都是 $y$ 是关于 $x$ 的函数，但其实 $x$ 也是关于 $y$ 的函数。

2. 种类：

（1）一阶齐次线性微分方程：指 $Q(x)=0$ 或 $Q(y)=0$ 时的一阶线性微分方程。

求解方法：转化为可分离变量的微分方程的形式进行求解。

（2）一阶非齐次线性微分方程：指 $Q(x)\neq 0$ 或 $Q(y)\neq 0$ 时的一阶线性微分方程。

求解方法：

第一步：将原微分方程转化为 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ 或 $\frac{dx}{dy}+P(y)x=Q(y)$ 的标准形式，

并明确 $P(x)$ 与 $Q(x)$ 或 $P(y)$ 与 $Q(y)$ 的表达式。

第二步：直接带入通解公式： $y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$

或 $x=e^{-\int P(y)dy}(\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy+C)$ 。

3. 举例说明：

（1）求微分方程 $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=1$ 的通解：

解：根据微分方程可知： $P(x)=\frac{1}{x},Q(x)=1$ 。

带入通解公式可得： $y=e^{-\int\frac{1}{x}dx}(\int 1 \cdot e^{\int \frac{1}{x}dx}dx+C)$

$=e^{-\ln x}(\int e^{\ln x}dx+C)$

$=\frac{1}{2}x+\frac{1}{x}C$

注意：求解一阶非齐次线性微分方程时，常数 $C$ 只需要在最后那一项添加即可。

（2）求微分方程 $y^{3}dx+(2xy^{2}-1)dy=0$ 的通解：

解：根据微分方程可知： $P(y)=\frac{2}{y},Q(y)=\frac{1}{y^{3}}$ 。

带入通解公式可得： $x=e^{-\int \frac{2}{y}dy}(\int \frac{1}{y^{3}}\cdot e^{\int \frac{2}{y}dy}dy+C)$

$=e^{\ln\frac{1}{y^{2}}}(\int \frac{1}{y^{3}}e^{\ln y^{2}}dy+C)$

$=\frac{1}{y^{2}}(\ln |y|+C)$

注意：求解一阶非齐次线性微分方程时，若 $e$ 的指数幂含有 $\frac{1}{x}$ 或 $\frac{1}{y}$ 形式的不定积分，则积出来的原函数不用加绝对值。

2.4 伯努利方程

1. 定义：形如 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n}(n\neq 0,1)$ 的微分方程。

2. 求解过程：

第一步：等式两端同时除以 $y^{n}$ ，可得： $y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$ 。

第二步：将 $y^{-n}$ 拿到导数部分，可得： $\frac{1}{1-n}\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$ 。

第三步：令 $y^{1-n}=z$ ，并整理可得： $\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$ 。

第四步：将 $(1-n)P(x)$ 看成一个整体， $(1-n)Q(x)$ 看成一个整体，即转化为一阶线性微分方程。

第五步：按照一阶线性微分方程的求解方法，求解完微分方程后进行 $y^{1-n}=z$ 的回代。

3. 举例说明：求微分方程 $\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=(a\ln x)y^{2}$ 的通解：

解：根据微分方程可知： $n=2$ ，则 $\frac{1}{y}=z\Rightarrow y=\frac{1}{z}$ 。

将 $y=\frac{1}{z}$ 带入原微分方程可得： $-\frac{1}{z^{2}}\frac{dz}{dx}+\frac{1}{xz}=\frac{a\ln x}{z^{2}}\Rightarrow \frac{dz}{dx}-\frac{1}{x}z=-a\ln x$ 。

由上式可得： $P(x)=-\frac{1}{x},Q(x)=-a\ln x$ 。

所以： $z=e^{-\int-\frac{1}{x}dx}(\int( -a\ln x)e^{\int -\frac{1}{x}dx}dx+C)\Rightarrow x(-a\cdot \frac{1}{2}\cdot \ln ^{2}x+C)$ 。

将 $y=\frac{1}{z}$ 回代可得： $xy(C- \frac{a}{2} \ln ^{2}x)=1$ 。

3. 高阶微分方程

3.1 可降阶的高阶微分方程

1. 形如： $y^{(n)}=f(x)$ 型的微分方程

例：求微分方程 ${y}''=x-\sin x$ 的通解。

解：对微分方程 ${y}''=x-\sin x$ 连续积分两次可得： ${y}'=\frac{1}{2}x^{2}+\cos x+C_{1}$ ， $y=\frac{1}{6}x^{3}+\sin x+C_{1}x+C_{2}$ 。

备注： $y^{(n)}=f(x)$ 型微分方程的通解含有 $n$ 个任意常数(微分方程的阶数)。

2. 形如： $y^{(n)}=f(x,y^{(n-1)})$ 型的微分方程

例：求微分方程 $xy^{(4)}-y^{(3)}=0$ 的通解。

解：设 $y^{(3)}=p$ ，则 $y^{(4)}={p}'$ ，代入原微分方程可得： $x{p}'-p=0\Rightarrow x\frac{dp}{dx}=p\Rightarrow \frac{dp}{p}=\frac{dx}{x}$ 。

对 $\frac{dp}{p}=\frac{dx}{x}$ 两端同时取积分可得： $p=C_{1}x$ 。

又知 $p=y^{(3)}$ ，则有 $y^{(3)}=C_{1}x$ 。

对 $y^{(3)}=C_{1}x$ 连续积分3次可得： $y=C_{1}x^{4}+C_{2}x^{2}+C_{3}x+C_{4}$ 。

备注：替换后得到的一阶微分方程的形式不同，根据相应的形式去求解。

3. 形如： ${y}''=f(y,{y}')$ 型的微分方程

例：求微分方程 $y{y}''-({y}')^{2}=0$ 的通解。

解：设 ${y}'=p$ ，则 ${y}''=p\frac{dp}{dy}$ ，代入原微分方程可得： $yp\frac{dp}{dy}-p^{2}=0\Rightarrow \frac{dp}{p}=\frac{dy}{y}$ 。

对 $\frac{dp}{p}=\frac{dy}{y}$ 两端同时取积分可得： $p=C_{1}y$ 。

又知 $p={y}'$ ，则有 ${y}'=C_{1}y\Rightarrow \frac{dy}{dx}=C_{1}y\Rightarrow \frac{dy}{y}=C_{1}dx$ 。

对 $\frac{dy}{y}=C_{1}dx$ 同时取积分可得： $\ln |y|=C_{1}x+C_{2}\Rightarrow y=C_{2}e^{C_{1}x}$ 。

核心思想：设 ${y}'=p$ ，即： $\frac{dy}{dx}=p$ ，则 ${y}''={p}'$ ，即： ${y}''=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$ 。

3.2 二阶常系数齐次线性微分方程

1. 二阶齐次线性微分方程：形如 ${y}''+P(x){y}'+Q(x)y=0$ 的微分方程。

2. 二阶齐次线性微分方程解的结构：

（1）若 $y_{1}(x)$ ， $y_{2}(x)$ 是 ${y}''+P(x){y}'+Q(x)y=0$ 的解，则 $y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)$ 也是 ${y}''+P(x){y}'+Q(x)y=0$ 的解。

备注：按照微分方程的解的定义即可求证。

但 $y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)$ 不一定是 ${y}''+P(x){y}'+Q(x)y=0$ 的通解。 $eg:y_{1}(x)=x,y_{2}(x)=5x$ 。

备注：按照微分方程的通解的定义即可求证。

那么如何保证 $y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)$ 是 ${y}''+P(x){y}'+Q(x)y=0$ 的通解呢？

想要保证 $y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)$ 是通解，那么通解必须含有两个任意常数，即这两个常数不会被整合成一个常数。

此时，就需要保证 $y_{1}(x)$ ， $y_{2}(x)$ 不能成比例，也就是保证 $y_{1}(x)$ ， $y_{2}(x)$ 是线性无关的。

所以：若 $y_{1}(x)$ ， $y_{2}(x)$ 是 ${y}''+P(x){y}'+Q(x)y=0$ 的两个线性无关的解，那么 $y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)$ 就是

${y}''+p{y}'+qy=0$ 的通解。(定理)

（2）若 $y_{1}(x)$ ， $y_{2}(x)$ ， $...y_{n}(x)$ 是 $n$ 阶齐次线性微分方程的 $n$ 个线性无关的解，那么 $n$ 阶齐次线性微分方程的通解为

$y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)+...+C_{n}y_{n}(x)$ 。

3. 二阶常系数齐次线性微分方程：形如 ${y}''+p{y}'+qy=0$ 的微分方程。

4. 二阶常系数齐次线性微分方程求解：

若求 ${y}''+p{y}'+qy=0$ 的通解，只需要求解出该微分方程的两个线性无关的解，那么根据相关定理，通解就可以表示为：

$y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)$ 。故当前目标就是求解出该微分方程的两个线性无关的解。

假设 $y=e^{rx}$ ( $r$ 为常数)为 ${y}''+p{y}'+qy=0$ 的解，但到底是不是该微分方程的解谁知道呢，需要进一步验证。

根据 $y=e^{rx}$ 可得： ${y}'=re^{rx}$ ， ${y}''=r^{2}e^{rx}$ 。将其代入 ${y}''+p{y}'+qy=0$ ，整理可得： $e^{rx}(r^{2}+pr+q)=0$ 。

因为 $e^{rx}\neq 0$ ，故若使得 $e^{rx}(r^{2}+pr+q)=0$ 恒成立，则有： $r^{2}+pr+q= 0$ 成立。

由此可知，只需要解算出 $r$ 的值，并带入 $y=e^{rx}$ ，就可以得到 ${y}''+p{y}'+qy=0$ 的解 $y=e^{rx}$ ，故 $y=e^{rx}$ 是微分方程

${y}''+p{y}'+qy=0$ 的解。

此时，我们将 $r^{2}+pr+q= 0$ 称为微分方程 ${y}''+p{y}'+qy=0$ 的特征方程。并通过求解特征方程 $r^{2}+pr+q= 0$ 的特征根

获取微分方程 ${y}''+p{y}'+qy=0$ 的两个线性无关的解。分析如下：

特征方程 $r^{2}+pr+q= 0$ 是一个一元二次方程，它的根有以下三种情形：

（1）特征方程 $r^{2}+pr+q= 0$ 有两个不相等的实根，即 $r_{1}\neq r_{2}$ 。

经过上述分析可知， $y=e^{rx}$ 是微分方程的解，所以我们就直接找到了微分方程的两个解，即 $y_{1}=e^{r_{1}x}$ ， $y_{2}=e^{r_{2}x}$ 。

因为 $\frac{y_{2}}{y_{1}}=\frac{e^{r_{2}x}}{e^{r_{1}x}}=e^{(r_{2}-r_{1})x}$ 不是成比例关系的，故 $y_{1}=e^{r_{1}x}$ 与 $y_{2}=e^{r_{2}x}$ 线性无关。

所以微分方程 ${y}''+p{y}'+qy=0$ 的通解为： $y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}$ 。

举例说明，求微分方程 ${y}''-2{y}'-3y=0$ 的通解：

解：根据所给的微分方程可得：特征方程 $r^{2}-2r-3=0$ 。

解得： $r_{1}=-1,r_{2}=3$ 。

所以通解为： $y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{3x}$

（2）特征方程 $r^{2}+pr+q= 0$ 有两个相等的实根，即 $r_{1}= r_{2}$ 。

经过上述分析可知， $y=e^{rx}$ 是微分方程的解，所以我们就直接找到了微分方程的第一个解，即 $y_{1}=e^{r_{1}x}$ 。

接下来寻找第二个解，第二个解只需要与第一个解线性无关即可。

因为 $\frac{y_{2}}{y_{1}}$ 不能成比例关系，所以设 $\frac{y_{2}}{y_{1}}=u(x)$ ，即： $y_{2}=u(x)y_{1}=u(x)e^{r_{1}x}$ 。

假设 $y_{2}=u(x)e^{r_{1}x}$ 是 ${y}''+p{y}'+qy=0$ 的解，但到底是不是该微分方程的解谁知道呢，需要进一步验证。

根据 $y_{2}=u(x)e^{r_{1}x}$ 可得： ${{y}'_{2}}=e^{r_{1}x}({u}'(x)+r_{1}u(x))$ ， ${y}''_{2}=e^{r_{1}x}({u}''(x)+2r_{1}{u}'(x)+r_{1}^{2}u(x))$ 。

将其代入 ${y}''+p{y}'+qy=0$ ，整理可得： ${u}''(x)+(2r_{1}+p){u}'(x)+(r_{1}^{2}+pr_{1}+q)u(x)=0$ 。

因为 $r_{1}$ 是特征方程 $r^{2}+pr+q= 0$ 的根，则有 $r_{1}^{2}+pr_{1}+q= 0$ 。

又因为特征方程 $r^{2}+pr+q= 0$ 有两个相等的实根，则特征方程可表示为 $(r-r_{1})^{2}=r^{2}-2r_{1}r+r_{1}^{2}=0$ ，

通过等式对比可知： $p=-2r_{1}$ 。

故 ${u}''(x)+(2r_{1}+p){u}'(x)+(r_{1}^{2}+pr_{1}+q)u(x)=0\Rightarrow {u}''(x)=0$ 。

我们的目的是寻找一个 $u(x)$ ，使得 $\frac{y_{2}}{y_{1}}$ 不成比例，所以根据 ${u}''(x)=0$ ，可选取 $u(x)=x$ 。

所以微分方程的第二个解为 $y_{2}=xe^{r_{1}x}$ 。

因为 $\frac{y_{2}}{y_{1}}=x$ 不是成比例关系的，故 $y_{1}=e^{r_{1}x}$ 与 $y_{2}=xe^{r_{1}x}$ 线性无关。

所以微分方程 ${y}''+p{y}'+qy=0$ 的通解为： $y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}xe^{r_{1}x}=(C_{1}+C_{2}x)e^{r_{1}x}$ 。

举例说明，求微分方程 ${y}''+2{y}'+y=0$ 的通解：

解：根据所给的微分方程可得：特征方程 $r^{2}+2r+1=0$ 。

解得： $r_{1}=r_{2}=-1$ 。

所以通解为： $y=C_{1}e^{-x}+C_{2}xe^{-x}=(C_{1}+C_{2}x)e^{-x}$ 。

（3）特征方程 $r^{2}+pr+q= 0$ 有一对共轭复根，即 $r_{1}=\alpha + i\beta$ ， $r_{2}=\alpha - i\beta$ 。

经过上述分析可知， $y=e^{rx}$ 是微分方程的解，所以我们就直接找到了微分方程的两个解，即 $y_{1}=e^{r_{1}x}$ ， $y_{2}=e^{r_{2}x}$ 。

代入整理可得： $y_{1}=e^{(\alpha +i\beta )x}$ ， $y_{2}=e^{(\alpha -i\beta )x}$ ，此时的解为复数形式，为得到实数形式的解，为此进一步将其转化。

利用欧拉公式： $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ 可以把 $y_{1}=e^{(\alpha +i\beta )x}$ ， $y_{2}=e^{(\alpha -i\beta )x}$ 改写为：

$y_{1}=e^{(\alpha +i\beta )x}=e^{\alpha x}(\cos \beta x+i\sin \beta x)$ ， $y_{2}=e^{(\alpha -i\beta )x}=e^{\alpha x}(\cos \beta x-i\sin \beta x)$ 。

因为 $y_{1},y_{2}$ 微分方程的两个解，则 $\bar{y}_{1}=\frac{1}{2}(y_{1}+y_{2})$ ， $\bar{y}_{2}=\frac{1}{2i}(y_{1}-y_{2})$ 依然是微分方程的两个解(代入证明可得结果)，

即： $\bar{y}_{1}=\frac{1}{2}(y_{1}+y_{2})=e^{\alpha x}\cos \beta x$ ， $\bar{y}_{2}=\frac{1}{2i}(y_{1}-y_{2})=e^{\alpha x}\sin \beta x$ 。

因为 $\frac{y_{2}}{y_{1}}=\tan \beta x$ 不是成比例关系的，故 $\bar{y}_{1}=e^{\alpha x}\cos \beta x$ 与 $\bar{y}_{2}=e^{\alpha x}\sin \beta x$ 线性无关。

所以微分方程 ${y}''+p{y}'+qy=0$ 的通解为： $y=e^{\alpha x}(C_{1}\cos \beta x + C_{2}\sin \beta x)$ 。

举例说明，求微分方程 ${y}''-2{y}'+5y=0$ 的通解：

解：根据所给的微分方程可得：特征方程 $r^{2}-2r+5=0$ 。

解得： $r_{1}=1+2i,r_{2}=1-2i$ 。故： $\alpha =1,\beta =2$ 。

所以通解为： $y=e^{ x}(C_{1}\cos 2 x + C_{2}\sin 2 x)$ 。

5. $n$ 阶常系数齐次线性微分方程求解：

对于n阶常系数齐次线性微分方程，根据特征方程的特征根，可以写出其对应的微分方程的解如下所示：
特征方程的根	微分方程通解中的对应项
单实根 $r$	给出一项： $Ce^{rx}$
一对单复根 $r_{1,2}=\alpha \pm i\beta$	给出两项： $e^{\alpha x}(C_{1}\cos \beta x + C_{2}\sin \beta x)$
$k$ 重实根 $r$	给出 $k$ 项： $e^{rx}(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+...+C_{k}x^{k-1})$
一对 $k$ 重复根 $r_{1,2}=\alpha \pm i\beta$	给出 $2k$ 项： $e^{\alpha x}[(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+...+C_{k}x^{k-1})\cos \beta x + (D_{1}+D_{2}x+D_{3}x^{2}+$ $...+D_{k}x^{k-1})\sin \beta x](C,D\, is\, constant)$

举例说明：若微分方程的特征根别 $r_{1}=0$ ， $r_{2}=r_{3}=1$ ， $r_{4,5}=1\pm 2i$ ， $r_{6,7}=r_{8,9}=1\pm 3i$ 。

则通解为： $y=C_{1}+e^{ x}(C_{2}+C_{3}x)+e^{ x}(C_{4}\cos 2 x + C_{5}\sin 2 x)+$ $e^{ x}[(C_{6}+C_{7}x)\cos 3 x + (C_{8}+C_{9}x)\sin 3 x]$ 。

3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程

1. 二阶非齐次线性微分方程：形如 ${y}''+P(x){y}'+Q(x)y=f(x)$ 的微分方程。

2. 二阶非齐次线性微分方程解的结构：

（1）若 $y^{*}$ 是 ${y}''+P(x){y}'+Q(x)y=f(x)$ 的特解， $Y$ 是 ${y}''+P(x){y}'+Q(x)y=0$ 的通解，

则： ${y}''+P(x){y}'+Q(x)y=f(x)$ 的通解为 $y^{*}+Y$ 。

（2）若 $y^{*}_{1}$ ， $y^{*}_{2}$ 是 ${y}''+P(x){y}'+Q(x)y=f(x)$ 的特解，则： $y^{*}_{1}-y^{*}_{2}$ 是 ${y}''+P(x){y}'+Q(x)y=0$ 的特解。

（3）若 $y^{*}_{1}$ 是 ${y}''+P(x){y}'+Q(x)y=f(x)$ 的特解， $y^{*}_{2}$ 是 ${y}''+P(x){y}'+Q(x)y=g(x)$ 的特解，

则： $y^{*}_{1}+y^{*}_{2}$ 是 ${y}''+P(x){y}'+Q(x)y=f(x)+g(x)$ 的特解。

3. 二阶常系数非齐次线性微分方程：形如 ${y}''+p{y}'+qy=f(x)$ 的微分方程。

4. 二阶常系数非齐次线性微分方程求解：

由二阶非齐次线性微分方程解的结构可知：

二阶常系数非齐次线性微分方程的通解等于二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 + 对应的二阶常系数齐次线性微分方程的通解，

上一节已解决二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法，此时需要解决的问题就是求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

以下是微分方程 ${y}''+p{y}'+qy=f(x)$ 中的 $f(x)$ 取两种常见形式时特解的求法。

（1） ${y}''+p{y}'+qy=e^{\lambda x}P_{m}(x)$ 型

备注： $\lambda$ 是常数； $P_{m}(x)$ 是关于 $x$ 的一个 $m$ 次多项式。

观察 ${y}''+p{y}'+qy=e^{\lambda x}P_{m}(x)$ 可知，等号右边是多项式与指数函数的乘积。而多项式与指数函数的乘积的导数依然是多项式

与指数函数的乘积，所以我们有理由怀疑 $y^{*}=e^{\lambda x}R(x)$ 可能是微分方程的特解。其中 $R(x)$ 是某个多项式。

假设 $y^{*}=e^{\lambda x}R(x)$ 是微分方程的特解，则 ${y^{*}}'=e^{\lambda x}[\lambda R(x)+{R}'(x)]$ ， ${y^{*}}''=e^{\lambda x}[\lambda^{2} R(x)+2\lambda {R}'(x)+{R}''(x)]$ 。

将 ${y^{*}}'$ ， ${y^{*}}''$ 带入 ${y}''+p{y}'+qy=e^{\lambda x}P_{m}(x)$ 可得如下等式：

${R}''(x)+(2\lambda +p){R}'(x)+(\lambda ^{2}+p\lambda +q)R(x)=P_{m}(x)\blacksquare$ 。

根据 ${y}''+p{y}'+qy=e^{\lambda x}P_{m}(x)$ 可得对应的 ${y}''+p{y}'+qy=0$ 的特征方程为： $r^{2}+pr+q= 0$ 。

①：若 $\lambda$ 不是特征方程 $r^{2}+pr+q= 0$ 的根，则有 $\lambda ^{2}+p\lambda +q\neq 0$ 。

因为 $P_{m}(x)$ 是关于 $x$ 的一个 $m$ 次多项式，若使得 $\blacksquare$ 式恒成立，则等号左端也应该是关于 $x$ 的一个 $m$ 次多项式，由于 $R(x)$ 求导

之后，次数降低，所以此时只能 $R(x)$ 是关于 $x$ 的一个 $m$ 次多项式。

设 $R(x)=R_{m}(x)=b_{0}x^{m}+b_{1}x^{m-1}+...+b_{m}$ ，将 $R(x),{R}'(x),{R}''(x)$ 带入 $\blacksquare$ 式，利用待定系数法，即可得到

$b_{i}(i=0,1,...m)$ 的值。所以此时微分方程的特解为： $y^{*}=R_{m}(x)e^{\lambda x}$ 。

②：若 $\lambda$ 是特征方程 $r^{2}+pr+q= 0$ 的单根，则有 $\lambda ^{2}+p\lambda +q= 0$ ， $2\lambda +p\neq 0$ 。

因为 $P_{m}(x)$ 是关于 $x$ 的一个 $m$ 次多项式，若使得 $\blacksquare$ 式恒成立，则等号左端也应该是关于 $x$ 的一个 $m$ 次多项式，由于 $R(x)$ 的系数

为零，所以此时只能 ${R}'(x)$ 是关于 $x$ 的一个 $m$ 次多项式，那么 $R(x)$ 则是关于 $x$ 的一个 $m+1$ 次多项式。

设 ${R}'(x)=R_{m}(x)=b_{0}x^{m}+b_{1}x^{m-1}+...+b_{m}$ ，那么 $R(x)$ 可用 $x{R}'(x)=xR_{m}(x)$ 来表示，将 $R(x),{R}'(x),{R}''(x)$

带入 $\blacksquare$ 式，利用待定系数法，即可得到 $b_{i}(i=0,1,...m)$ 的值。所以此时微分方程的特解为： $y^{*}=xR_{m}(x)e^{\lambda x}$ 。

③：若 $\lambda$ 是特征方程 $r^{2}+pr+q= 0$ 的重根，则有 $\lambda ^{2}+p\lambda +q= 0$ ， $2\lambda +p= 0$ 。

因为 $P_{m}(x)$ 是关于 $x$ 的一个 $m$ 次多项式，若使得 $\blacksquare$ 式恒成立，则等号左端也应该是关于 $x$ 的一个 $m$ 次多项式，由于 $R(x)$ 和 ${R}'(x)$

的系数为零，所以此时只能 ${R}''(x)$ 是关于 $x$ 的一个 $m$ 次多项式，则 $R(x)$ 是关于 $x$ 的一个 $m+2$ 次多项式。

设 ${R}''(x)=R_{m}(x)=b_{0}x^{m}+b_{1}x^{m-1}+...+b_{m}$ ，那么 $R(x)$ 可用 $x^{2}{R}''(x)=x^{2}R_{m}(x)$ 来表示，将 $R(x),{R}'(x),{R}''(x)$

带入 $\blacksquare$ 式，利用待定系数法，即可得到 $b_{i}(i=0,1,...m)$ 的值。所以此时微分方程的特解为： $y^{*}=x^{2}R_{m}(x)e^{\lambda x}$ 。

综上所述，总结如下：

如果 $f(x)=e^{\lambda x}P_{m}(x)$ ，那么二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可以表示为： $y^{*}=x^{k}R_{m}(x)e^{\lambda x}$ 。

其中： $R_{m}(x)$ 与 $P_{m}(x)$ 是同次( $m$ 次)的多项式。

$\lambda$ 不是特征方程的根，则 $k=0$ ； $\lambda$ 是特征方程的单根，则 $k=1$ ， $\lambda$ 是特征方程的重根，则 $k=2$ 。