文章地址:https://arxiv.org/abs/1901.11365

代码地址: https://github.com/czbiohub-sf/noise2self

要点
  Noise2Self方法不需要信号先验信息、噪声估计信息和干净的训练数据。唯一的假设就是噪声在测量的不同维度上表现出的统计独立性，而真实信号表现出一定的相关性。Noiser2Self根据J-invariant提出了一种噪声校正的方案，可以应用到一系列的去噪方法之中，提高这些去噪方法的效果。

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1. 方法原理

如果所研究对象的空间的“潜在维度”远低于测量的维度，则可以隐式地学习该结构，对测量进行降噪，并在没有任何先验知识的情况下恢复信号，信号或噪声。

传统方法问题：

• 需要对噪声模式进行估计（如高斯噪声、结构性噪声），那么这些方法的效果就受限于对噪声模式的估计。
• 需要对信号数据的结构有先验估计，但是这会限制去噪方法迁移到其他数据集。
• 需要校准，因为平滑度、自相似性或矩阵的秩等超参数对去噪方法也会有影响

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J-invariant 定义：

假设 $j\in J$, $J$是m维空间, 存在一个函数变换 $f(x{)}_J:R^m\Rightarrow R^m$。如果这个变换过程不依赖于输入的$x_J$,那么称这个函数是具有J不变性质。

换个能看懂的说法：信号本身是相关的，假设噪声是互不相关的(条件独立的)，那么我们用一个方法对这个噪声图片的部分数据进行处理，这个处理结果应该是和处理全部数据效果相同的，也就是使用部分维度信息达到恢复全局的效果。（需要强调的是我自己这里也没有理解特别透彻，如果有错误可以提出大家讨论）

假设 $x$（噪声图片） 是 $y$（干净图片）的无偏估计($E[x|y]=y$), 噪声是整个域内是条件独立的，那么有：
$$E||f(x)-x|{|}_2^2=E||f(x)-y|{|}_2^2+E||x-y|{|}_2^2$$

可以看到这里的无监督学习的损失等于 传统的监督学习的损失 加上噪声带来的偏差。

用J不变性描述一下 Noise2Noise就变为
如果现在有两个观测的噪声数据 $x_1=y+n_1$ , $x_2=y+n_2$。
观测组合: $x=(x_1,x_2)$
信号组合$y=(y,y)\in R^{2m}$
如果存在 J = { J 1 , J 2 } = { { 1 , . . . , m } , { m + 1 , . . . , 2 m } } J = \{J_1,J_2\} = \{\{1,...,m\},\{m+1,...,2m\}\} J={J1​,J2​}={{1,...,m},{m+1,...,2m}},那么有
$$f_J^{\ast }(x{)}_{J2}=E[y|x_1]$$

就个人理解：J-不变性就是一个假设：如果噪声是条件独立的，那么监督去噪等价于无监督去噪加上一个噪声的偏差影响。

2. 实验结果

2.1 传统校正方法

首先将J不变性应用到 传统方法中：
传统的 “median filter”是将半径范围内所有像素的点都替换为中值
这里对比的是一种“donut filter”中值滤波方法：用中值替换除了中心像素的所有位置

那么“median filter”和“donut”甜甜圈模式的滤波器，其自监督的损失分别为
$$||g_r(x)-x|{|}^2$$

$$||f_r(x)-x|{|}^2$$

用图绘制出来：

从上图可以看出：median滤波器监督学习的损失随着半径的增加而线性增加，而donut滤波器在r = 3的时候其损失有一个最佳值。蓝色实线和蓝色虚线的垂直距离其实表征的是噪声带来的偏差，那么我们就发现了对于传统的滤波器，我们只能够更改输入来进行调整滤波效果，但是对于donut这类具有J-invariant性质的滤波器，我们可以通过一些原则来调整滤波效果（比如这里的距离r）

那么就可以给定一个比较通用的新滤波器形式了
$$f_{\theta }(x{)}_J:=g_{\theta }(1_J.s(x)+1_{Jc}.x{)}_J$$

这里的$g_{\theta }$表示传统的滤波其，$s(x)$表示将一些像素替换为周围其他像素的值/均值的一个操作。

个人理解：和Noise2Void那种盲点去噪的感觉相同，都是将输入的某些值进行替换，然后恢复那个点的信息。如果将这种方法应用到传统方法中可以帮我们找到最佳的滤波参数。

2.2 高斯噪声

2.3 不同网络结构对比

3. 代码实现

相关代码参考: https://github.com/czbiohub-sf/noise2self

3.1 J-invariant + 传统方法

这里以使用 J-invariant 到 中值滤波为例

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加载相关库和数据

import sys
sys.path.append("..")
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from skimage.morphology import disk
from skimage.filters import gaussian, median
from skimage import data, img_as_float, img_as_ubyte
from skimage.color import gray2rgb
from skimage.util import random_noise
from skimage.metrics import structural_similarity as ssim
from skimage.metrics import peak_signal_noise_ratio as psnr
from skimage.metrics import mean_squared_error as mse
from util import plot_grid, plot_images, expand# 加载原始数据
plt.rc('figure', figsize = (5,5))
show = lambda x: plt.imshow(x, cmap=plt.cm.gray)
image = data.camera()
show(image)
plt.show()# 加噪原始数据
np.random.seed(3)
noisy_image = img_as_ubyte(random_noise(image, mode = 'gaussian', var=0.01))
show(noisy_image)
plt.show()

定义中值滤波和donut中值滤波方法（引入J-invariant）

def mask_center(x):x[len(x)//2,len(x)//2] = 0return xplot_images([1-disk(4), 1-mask_center(disk(4))])

滤波并进行对比

radii = range(1, 7)
mask_med = np.array([median(noisy_image, mask_center(disk(i))) for i in radii])
med = np.array([median(noisy_image, disk(i)) for i in radii])plt.figure(figsize=(18,6))
for i in range(1,7):plt.subplot(2,6,i)show(mask_med[i-1])plt.title("r={}".format(radii[i-1]))if i ==1:plt.ylabel("donut")for i in range(1,7):plt.subplot(2,6,6+i)show(med[i-1])if i ==1:plt.ylabel("median filter")plt.show()

统计损失及相关参考指标

def stats(im_list, noisy_img, img):img = img_as_float(img)noisy_img = img_as_float(noisy_img)im_list = [img_as_float(x) for x in im_list]loss = [mse(x, noisy_img) for x in im_list]mse_gt = [mse(x, img) for x in im_list]psnr_gt = [psnr(x, img) for x in im_list]return loss, mse_gt, psnr_gtloss_med, mse_med, psnr_med = stats(med, noisy_image, image)
loss_mask_med, mse_mask_med, psnr_mask_med = stats(mask_med, noisy_image, image)
opt = radii[np.argmin(loss_mask_med)]plt.figure(figsize=(7,5))plt.plot(radii, loss_mask_med, label = 'self-supervised, donut median', color = 'C0')
plt.plot(radii, loss_med, label = 'self-supervised, ordinary median', color = 'C1')plt.axvline(radii[np.argmin(loss_mask_med)], color='k', linestyle='--')
plt.title('Calibrating a Median Filter')plt.plot(radii, mse_mask_med, label = 'reconstruction error, donut median', color = 'C0', linestyle='--')
plt.plot(radii, mse_med, label = 'reconstruction error, ordinary median', color = 'C1', linestyle='--')
plt.ylabel('MSE')
plt.xlabel('Radius of Median Filter')plt.yticks([0.002, 0.012])
plt.ylim(0, 0.0143)
plt.legend(loc='center right')
plt.show()

加入J-invariant之后可以帮助我们找到最佳的滤波参数（此处r = 3）

3.1 J-invariant + 神经网络

加载库及数据

from util import show, plot_images, plot_tensors
from torchvision.datasets import MNIST
from torchvision import transforms
from torch.utils.data import Datasetmnist_train = MNIST(root='/data/mnist/', download = True,transform = transforms.Compose([transforms.ToTensor(),]), train = True)mnist_test = MNIST('/data/mnist/', download = True,transform = transforms.Compose([transforms.ToTensor(),]), train = False)

定义加噪方法

from torch import randn
def add_noise(img):return img + randn(img.size())*0.4class SyntheticNoiseDataset(Dataset):def __init__(self, data, mode='train'):self.mode = modeself.data = datadef __len__(self):return len(self.data)def __getitem__(self, index):img = self.data[index][0]return add_noise(img), img
noisy_mnist_train = SyntheticNoiseDataset(mnist_train, 'train')
noisy_mnist_test = SyntheticNoiseDataset(mnist_test, 'test')
noisy, clean = noisy_mnist_train[0]
plot_tensors([noisy[0], clean[0]], ['Noisy Image', 'Clean Image'])

加mask也就是加盲点，需要恢复的也是这些盲点的信息

class Masker():"""Object for masking and demasking"""def __init__(self, width=3, mode='zero', infer_single_pass=False, include_mask_as_input=False):self.grid_size = widthself.n_masks = width ** 2self.mode = modeself.infer_single_pass = infer_single_passself.include_mask_as_input = include_mask_as_inputdef mask(self, X, i):phasex = i % self.grid_sizephasey = (i // self.grid_size) % self.grid_sizemask = pixel_grid_mask(X[0, 0].shape, self.grid_size, phasex, phasey)mask = mask.to(X.device)mask_inv = torch.ones(mask.shape).to(X.device) - maskif self.mode == 'interpolate':masked = interpolate_mask(X, mask, mask_inv)elif self.mode == 'zero':masked = X * mask_invelse:raise NotImplementedErrorif self.include_mask_as_input:net_input = torch.cat((masked, mask.repeat(X.shape[0], 1, 1, 1)), dim=1)else:net_input = maskedreturn net_input, maskdef __len__(self):return self.n_masksdef infer_full_image(self, X, model):if self.infer_single_pass:if self.include_mask_as_input:net_input = torch.cat((X, torch.zeros(X[:, 0:1].shape).to(X.device)), dim=1)else:net_input = Xnet_output = model(net_input)return net_outputelse:net_input, mask = self.mask(X, 0)net_output = model(net_input)acc_tensor = torch.zeros(net_output.shape).cpu()for i in range(self.n_masks):net_input, mask = self.mask(X, i)net_output = model(net_input)acc_tensor = acc_tensor + (net_output * mask).cpu()return acc_tensordef pixel_grid_mask(shape, patch_size, phase_x, phase_y):A = torch.zeros(shape[-2:])for i in range(shape[-2]):for j in range(shape[-1]):if (i % patch_size == phase_x and j % patch_size == phase_y):A[i, j] = 1return torch.Tensor(A)def interpolate_mask(tensor, mask, mask_inv):device = tensor.devicemask = mask.to(device)kernel = np.array([[0.5, 1.0, 0.5], [1.0, 0.0, 1.0], (0.5, 1.0, 0.5)])kernel = kernel[np.newaxis, np.newaxis, :, :]kernel = torch.Tensor(kernel).to(device)kernel = kernel / kernel.sum()filtered_tensor = torch.nn.functional.conv2d(tensor, kernel, stride=1, padding=1)return filtered_tensor * mask + tensor * mask_invmasker = Masker(width = 4, mode='interpolate')
net_input, mask = masker.mask(noisy.unsqueeze(0), 0)
plot_tensors([mask, noisy[0], net_input[0], net_input[0] - noisy[0]],["Mask", "Noisy Image", "Neural Net Input", "Difference"])

加载网络模型和进行训练

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F
from torch.nn import MSELoss
from torch.optim import Adam
from torch.utils.data import DataLoader
from tqdm import tqdm
from models.modules import ConvBlockclass BabyUnet(nn.Module):def __init__(self, n_channel_in=1, n_channel_out=1, width=16):super(BabyUnet, self).__init__()self.pool1 = nn.MaxPool2d(kernel_size=2)self.pool2 = nn.MaxPool2d(kernel_size=2)self.up1 = lambda x: F.interpolate(x, mode='bilinear', scale_factor=2, align_corners=False)self.up2 = lambda x: F.interpolate(x, mode='bilinear', scale_factor=2, align_corners=False)self.conv1 = ConvBlock(n_channel_in, width)self.conv2 = ConvBlock(width, 2*width)self.conv3 = ConvBlock(2*width, 2*width)self.conv4 = ConvBlock(4*width, 2*width)self.conv5 = ConvBlock(3*width, width)self.conv6 = nn.Conv2d(width, n_channel_out, 1)def forward(self, x):c1 = self.conv1(x)x = self.pool1(c1)c2 = self.conv2(x)x = self.pool2(c2)x = self.conv3(x)x = self.up1(x)x = torch.cat([x, c2], 1)x = self.conv4(x)x = self.up2(x)x = torch.cat([x, c1], 1)x = self.conv5(x)x = self.conv6(x)return x
model = BabyUnet()
loss_function = MSELoss()
optimizer = Adam(model.parameters(), lr=0.001)data_loader = DataLoader(noisy_mnist_train, batch_size=32, shuffle=True)pbar = tqdm(data_loader)for i, batch in enumerate(pbar):noisy_images, clean_images = batchnet_input, mask = masker.mask(noisy_images, i)net_output = model(net_input)loss = loss_function(net_output*mask, noisy_images*mask)optimizer.zero_grad()loss.backward()optimizer.step()pbar.set_description("Iter:{},loss:{}".format(i,loss.item()))# if i % 10 == 0:#     print("Loss (", i, "): \t", round(loss.item(), 4))if i == 100:break

测试训练效果

test_data_loader = DataLoader(noisy_mnist_test,batch_size=32,shuffle=False,num_workers=3)
i, test_batch = next(enumerate(test_data_loader))
noisy, clean = test_batch
simple_output = model(noisy)
invariant_output = masker.infer_full_image(noisy, model)
idx = 3
plot_tensors([clean[idx], noisy[idx], simple_output[idx], invariant_output[idx]],["Ground Truth", "Noisy Image", "Single Pass Inference", "J-Invariant Inference"])

盲点网络训练后使用不同的输入（加盲点或者不加）得到的效果有些许差别，但是整体的去噪效果还可以。

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4. 总结

1. 引入J-invariant的概念到去噪工作之中，通过测试对比发现这种方法的自监督比传统方法有更好的效果，可以帮助传统方法寻找最佳的调整参数
2. J-invariant的思路可以应用到传统去噪方法中或者先前的无监督、自监督学习工作之中，提高效果。（对比了Noise2Noiser和Noiser2Void方法）
3. 和Noise2Void有异曲同工之妙，分析原理都是使用盲点网络的思想对输入数据进行mask，然后使用网络恢复这些盲点位置的信息。所以也存在和盲点网络相同的问题
   • 损失了盲点位置的信息
   • 盲点网络的假设：噪声是条件不相关的，信号是相关的；对于结构性的噪声的效果会较差。
   • 噪声零均值假设等假设限制了该方法应用到实际数据之中。