线性代数(三) 线性方程组向量空间

前言

如何利用行列式,矩阵求解线性方程组。

线性方程组的相关概念

在这里插入图片描述
用矩阵方程表示

  • 齐次线性方程组:Ax=0;
  • 非齐次线性方程组:Ax=b.

可以理解 齐次线性方程组 是特殊的 非齐次线性方程组

如何判断线性方程组的解

在这里插入图片描述

  • 其中R(A)表示矩阵A的秩
  • B表示A的增广矩阵
  • n表示末知数个数

在这里插入图片描述

增广矩阵

在这里插入图片描述

矩阵的秩

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

秩r<= 未知数的数量n
r=n时,称为满秩

如何求解矩阵A的秩

  1. 矩阵经过初等变化后秩不变
  2. r+1阶子式的行列式=0的特性

可以将矩阵转为化
在这里插入图片描述

矩阵的秩,就是矩阵初等变换后化成行阶梯形时的非零行的行数。

在这里插入图片描述

  1. 方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等。方程组里的所有方程都是不冲突的,不会出现等式左边都是“x+y”,右边却一个是“1”,一个是“3”的情况,因为这样会得出1=3的错误等式,令方程组无解。
  2. 方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数。方程组里的方程,必须有n个是不能相互推出,这个n,便是未知数的个数。像前文举例的“x+y=2”和“2x+2y=4”,便只能属于是一个方程,因为后者可以通过前者乘以2得出。
  3. 当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均小于方程组中未知数个数n的时候,方程组有无穷多解。当所有的方程都不冲突,但存在一个或一个以上的方程是可以由其他方程变换过来的,这就相当于n个未知数,却没有n个方程,自然就是无穷多解了。
  4. 当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候,方程组无解。存在两个或多个方程有冲突,那别说了,直接无解就是了

增广矩阵求解

在这里插入图片描述

其计算过程还是通过消元法来解方程组。

克拉默法则

当矩阵A的行列式det(A)!=0时,可使用行列式的解方程- 克拉默法则求解

求多解

在这里插入图片描述
可见上述方程组的解,是一个集合,怎么表示这个集合?

在这里插入图片描述

基础解系
指在无穷多组解中,找到一组解,且满足:

  1. 这组解内的向量线性无关
  2. 方程组的任意一个解都可由这组向量线性表示

那么这组解(向量组),就称为基础解系
实际上这和极大线性无关组是一回事

齐次线性方程组 A x ⃗ = 0 ⃗ A\vec{x}=\vec{0} Ax =0 的基础解系为
a ⃗ = ( − 1 , − 2 , 1 ) T \vec{a}=(-1,-2, 1)^T a =(1,2,1)T
通解为
x ⃗ = k 1 ∗ a ⃗ \vec{x}=k_1*\vec{a} x =k1a
其中: k 1 k_1 k1取任意常数

通解就是线性方程组解的具体表达方式

向量组

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

如果R(A)=m,则表示有解。即得不出上述 y = − z y=-z y=z y和z变量的相关性

在这里插入图片描述

线性方程组的解的结构

所谓线性方程组的解的结构,就是当线性方程组有无限多个解时,解与解之间的相互关系.

当方程组存在唯一解时,无须讨论解的结构
在这里插入图片描述

基础解系给出解空间的一组基 而基的线性组合为通解。所以通解就是 基础解系前面乘于个任意数k

在这里插入图片描述

向量空间

在这里插入图片描述

定义:所谓封闭,是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合.

如果向量空间 V 的非空子集合 V1 对于 V 中所定义的加法及乘数两种运算是封闭的,则称 V1 是 V 的子空间

向量容量的基

在这里插入图片描述

  • 原来方程组的多解,在空间中其反应的是一个线,面,立方的区域(方程组的维度而决定)。
  • 方程的基解,即基向量。

主要参考

《如何理解矩阵的「秩」?》
《线性方程组在什么时候有唯一解/无穷个解/无解?》
《11.2 齐次线性方程组的基础解系和通解》
《线性代数之——向量空间》

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.rhkb.cn/news/89074.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系长河编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

【RabbitMQ上手——单实例安装5种简单模式实现通讯过程】

【RabbitMQ入门-单实例安装&5种简单模式实现通讯过程】 一、环境说明二、安装RabbitMQ三、用户权限及Virtual Host设置四、5种简单模式实现通讯过程的实现五、小结 一、环境说明 安装环境&#xff1a;虚拟机VMWare Centos7.6 Maven3.6.3 JDK1.8RabbitMQ版本&#xff1a;…

Windows CMD 关闭,启动程序

Windows CMD 关闭&#xff0c;启动程序 1. Windows 通过 CMD 命令行关闭程序 示例&#xff1a;通过 taskkill 命令关闭 QQ 管家&#xff0c;但是这里有个问题&#xff0c;使用命令行关闭 QQ 管家时&#xff0c;会提示“错误: 无法终止 PID 1400 (属于 PID 22116 子进程)的进程…

ABeam×Startup丨德硕管理咨询(深圳)创新研究团队前往灵境至维·既明科技进行拜访交流

近日&#xff0c;德硕管理咨询&#xff08;深圳&#xff09;&#xff08;以下简称“ABeam-SZ”&#xff09;创新研究团队一行前往灵境至维既明科技有限公司&#xff08;以下简称“灵境至维”&#xff09;进行拜访交流&#xff0c;探讨线上虚拟空间的商业模式。 现场合影 &…

基于灰色神经网络的订单需求预测代码

目录 1 概述 2 代码 3 结果 ​ 1 概述 BP(Back Propagation)神经网络模型是一种信息前向传播,误差反向传播的神经网络模型0,能够通过训练样本反向传播调节网络的阈值和权值,使误差平方最小。 BP神经网络是目前应用最广泛的神经网络模型之一。 灰色人工神经网络模型建模过…

了解华为(H3C)网络设备和OSI模型基本概念

目录 一&#xff0c;认识华为 1.华为发展史 2.华为网络设备介绍 3.VRP概述 二&#xff0c;OSI七层模型 1.七层模型详细表格 2.各层的作用 3.数据在各层之间的传递过程 4.OSI四层网络模型 一&#xff0c;认识华为 官网&#xff1a;https://www.huawei.com/cn/ 1.华为发…

MyBatis快速入门

一、Mybatis介绍 MyBatis是一个支持普通SQL查询&#xff0c;存储过程和高级映射的优秀持久层框架。MyBatis消除了几乎所有的JDBC代码和参数的手工设置以及对结果集的检索封装。MyBatis可以使用简单的XML或注解用于配置和原始映射&#xff0c;将接口和Java的POJO&#xff08;Pla…

<Vite>HMR实现原理

什么是HMR&#xff1f; HMR&#xff08;Hot Module Replacement&#xff09;是一种开发工具&#xff0c;也就是热更新。用于在应用程序运行时替换、添加或删除模块&#xff0c;而无需完全重新加载整个页面或重新启动应用程序。这可以极大地提高开发效率和调试体验。 HMR的优势 …

vue table动态合并, 自定义合并,参照合并,组合合并

<template><div><el-table:data"tableData":span-method"objectSpanMethod"border:header-cell-style"{ textAlign: center }"><el-table-column prop"area" label"区域" align"center">…

ios 知识

IOS 类文件.h和.m中interface的区别 大家都知道我们在创建类文件时会发现&#xff1a; #import <UIKit/UIKit.h>interface ViewController : UIViewControllerend和 #import "ViewController.h"interface ViewController ()end那么他们之间有何区别呢&#x…

MySql存储过程详解

文章目录 存储过程1 介绍 基本语法创建:调用查看删除演示: 变量相关系统变量演示: 用户自定义变量局部变量 if语法参数介绍casewhilerepeatloop游标条件处理程序存储函数 存储过程 1 介绍 存储过程是事先经过编译并存储在数据库中的一段 SQL 语句的集合&#xff0c;调用存储过…

kafka 02——三个重要的kafka客户端

kafka 02——三个重要的kafka客户端 1. 前言1.1 关于 Kafka 的安装1.2 常用客户端简介1.3 依赖 2. AdminClient2.1 Admin Configs2.2 AdminClient API2.2.1 设置 AdminClient 对象2.2.2 创建 topic 获取 topic 列表2.2.3 删除topic2.2.4 查看 topic 的描述信息2.2.5 查看 topi…

Python系统学习1-7-字典

一、字典 1、概念及内存图 列表&#xff1a;由一系列变量组成的可变序列容器字典&#xff1a;由一系列键值对组成的可变散列容器字典优势&#xff1a;利用&#xff08;内存&#xff09;空间&#xff0c;换取&#xff08;CPU查找&#xff09;时间 键key 必须唯一且为不…

学无止境·运维高阶⑤(LVS-DR 群集 配置Nginx负载均衡)

LVS-DR 群集 && 配置Nginx负载均衡 一、LVS-DR 群集1、相关配置环境2、在RS上配置并启动脚本2.1相关脚本2.2 启动脚本&#xff0c;另一台RS同样步骤 3、LVS-DR模式配置脚本4、测试 二、Nginx负载均衡1、安装Nginx并关闭相应设置2、向主机 node2&#xff0c;node3 写入内…

JDK 17 营销初体验 —— 亚毫秒停顿 ZGC 落地实践 | 京东云技术团队

前言 自 2014 年发布以来&#xff0c; JDK 8 一直都是相当热门的 JDK 版本。其原因就是对底层数据结构、JVM 性能以及开发体验做了重大升级&#xff0c;得到了开发人员的认可。但距离 JDK 8 发布已经过去了 9 年&#xff0c;那么这 9 年的时间&#xff0c;JDK 做了哪些升级&am…

《golang设计模式》第二部分·结构型模式-01-适配器模式(Adapter)

文章目录 1. 概念1.1 角色1.2 应用场景1.2 类图 2. 代码示例2.1 设计2.2 代码2.3 示例类图 1. 概念 定义一个适配器&#xff0c;帮助原本不能实现接口的类“实现”该接口 1.1 角色 目标&#xff08;Target&#xff09;&#xff1a;客户端调用的目标接口 被适配者&#xff08…

OSI七层模型及TCP/IP四层模型

目录 OSI七层模型 TCP/IP四层模型 OIS七层模型和TCP/IP模型图 七层详解 两种模型比较 为什么OSI七层体系结构不常用 四层详解 网络为什么要分层&#xff1f; 说说 OSI 七层模型和 TCP/IP 四层模型的关系和区别 OSI七层模型 OSI&#xff08;Open System Interconnect&a…

ModaHub魔搭社区:Milvus Cloud素材集合帖,等你查收

Hi~Milvus Cloud 的各位朋友,这是一期 Milvus Cloud 素材弹药库的集中汇总帖。随着向量数据库的火爆,越来越多的伙伴开始关注到向量数据库并开始使用 Milvus Cloud 。 考虑到目前信息获取的渠道多且分散,我们专门为大家整理了一期 Milvus Cloud 信息集合帖,让大家可以在快…

ppt怎么压缩?试试这样压缩文件

当PPT文件体积过大时&#xff0c;打开的速度就会很慢&#xff0c;演示的时候刘程度也会受到影响&#xff0c;其次&#xff0c;现在很多平台对于上传的文件是有大小限制的&#xff0c;比如超过100M的文件就无法上传、发送等等&#xff0c;那么&#xff0c;怎么才能压缩PPT文件呢…

CentOS安装Postgresql

PG基本安装步骤 安装postgresql&#xff1a; sudo yum install postgresql-server初始化数据库&#xff1a;安装完毕后&#xff0c;需要初始化数据库并创建初始用户&#xff1a; sudo postgresql-setup initdb启动和停止服务&#xff1a; sudo systemctl start postgresql sudo…

Android之版本号、版本别名、API等级对应关系(全)(一百六十二)

简介&#xff1a; CSDN博客专家&#xff0c;专注Android/Linux系统&#xff0c;分享多mic语音方案、音视频、编解码等技术&#xff0c;与大家一起成长&#xff01; 优质专栏&#xff1a;Audio工程师进阶系列【原创干货持续更新中……】&#x1f680; 人生格言&#xff1a; 人生…