目录
1 矩阵加法
1.1 矩阵加法的定义
1.2 加法的属性
1.2.1 只有同类型，相同n*m的矩阵才可以相加
1.2.1 矩阵加法的可交换律：
1.2.2 矩阵加法的可结合律：
1.3矩阵加法的几何意义
2 矩阵的减法
2.1 矩阵减法定义和原理基本同 矩阵的加法
2.2 矩阵减法的几何意义
3 矩阵标量乘法/ 也称 数乘
3.1 数乘的定义
3.2 矩阵的标量乘法的性质
3.3 几何意义：就是 正向/反向的伸缩
4 左乘 & 右乘 （很简单概念，但是需要界定语言的严谨性）
4.1 搞清楚主体：谁的左乘？右乘？
4.2 搞清楚方向：什么是左乘和右乘
4.3 一般的线性代数公式 AX=Y, 表示 x 左乘矩阵A
5 矩阵的点乘：得到的点积/内积
5.1 详细的矩阵乘法规则
5.1.1 计算规则是：只有形如 n*m矩阵* m*k的矩阵的矩阵才可以相乘
5.1.2 矩阵的乘法不符合交换性，不能交换次序，左乘 ≠ 右乘，A*B ≠B*A
5.2 矩阵点乘法：得到的内积/点积的几何意义
6 矩阵的叉乘：得到的外积/叉积
6.1 定义
6.2 几何意义
7 矩阵求逆(逆矩阵)
7.1 逆矩阵定义
7.2 求逆矩阵的方法
7.3 求逆矩阵的规则
7.3.1 并不是所有的矩阵都可以求逆矩阵
7.4 逆矩阵的函数意义
7.5 逆矩阵的几何意义
8 带引号的“矩阵除法”
8.1 一般没有矩阵除法的说法，但可以这么理解
8.2 矩阵除法的几何意义（？）
1 矩阵加法
1.1 矩阵加法的定义
- 矩阵加法一般是指两个矩阵把其相对应元素加在一起的运算。
1.2 加法的属性
可结合律和可交换律
1.2.1 只有同类型，相同n*m的矩阵才可以相加
- （1,2）+(1,2,3) 无法计算
- 如何合法可加，生成的结果也是一个向量
1.2.1 矩阵加法的可交换律：
- A+B=B+A
- 看坐标系，表示从上面走先走b，再走a到达C，和从下面先走a,再走b到达C是一样的。
1.2.2 矩阵加法的可结合律：
- (A+B)+C=A+(B+C)
- 看坐标系，表示3个矩阵相加，先计算A+B,再计算A+B+C 和先计算B+C 结果是一样的。
1.3矩阵加法的几何意义
- 看下图，实际是向量的相加，是有方向性的，不是简单的相加
- 而无论2个，还是3个向量相加，都可以用三角形发展继续相加，生成的新向量就是矩阵相加的和----一个新向量
2 矩阵的减法
2.1 矩阵减法定义和原理基本同 矩阵的加法
- 虽然一般不说矩阵减法，但原理上OK，EXCEL里计算也OK
2.2 矩阵减法的几何意义
- 矩阵的减法和加法其实是类似的，但是几何意义不同
- 加法是2个向量，首尾相接，形成新的向量--和向量
- 减法是1个减数向量，开始指向另1个被减数的向量，形成的新向量：差向量。如可以可以挪到原点，从原点出发，
- 可以看出如下图，和从原点出发，而数字为减法后得数的终点作为坐标的向量，是相同的。
- 为什么一定要挪回到原点看，因为向量空间里要求所有的向量都是从原点出发，终点坐标代表其坐标的向量。
3 矩阵标量乘法/ 也称 数乘
3.1 数乘的定义
- λ*(A+B) =λ*A+λ*B
- 就是 标量*矩阵对应位置元素，类整数的乘法
3.2 矩阵的标量乘法的性质
- 可结合性：a*X={ax1,ax2,ax3.....axn]
- 可交换性： a*X=X*a
3.3 几何意义：就是 正向/反向的伸缩
- 如果乘以正数，就是正向伸缩
- 如果乘以负数，就是反向伸缩
- 如果乘以a>1，就是伸长，
- 如果a=0.5 就是缩短
4 左乘 & 右乘 （很简单概念，但是需要界定语言的严谨性）
4.1 搞清楚主体：谁的左乘？右乘？
- 比如 Ax=y
- 主体：变量? 那变量 x 左乘矩阵A
- 主题，矩阵？ 那矩阵A 右乘变量x
4.2 搞清楚方向：什么是左乘和右乘
- A*B ≠ B*A
- A*B 是A右乘B， 是A的右边乘以B
- B*A 是A左乘B，是A的左边乘以B
4.3 一般的线性代数公式 AX=Y, 表示 x 左乘矩阵A
- 一般的线性代数公式 AX=Y, 表示 x 左乘矩阵A
5 矩阵的点乘：得到的点积/内积
- 在EXCEL里，使用函数 mmult()+ 选择好生成矩阵的长宽区域+数组公式
- 注意要提前计算好 目标矩阵的大小，比如 n*m矩阵* m*k的矩阵，结果是 m*k的矩阵
5.1 详细的矩阵乘法规则
5.1.1 计算规则是：只有形如 n*m矩阵* m*k的矩阵的矩阵才可以相乘
并不是任意2个矩阵都可以相乘
- 只有形如 n*m矩阵* m*k的矩阵的矩阵才可以相乘，也就是前者的列数=后者的行数
- aij= 矩阵1的第i行* 矩阵2的第j列的结果
本质规则
- 是两个矩阵元素的投射形成的新矩阵
5.1.2 矩阵的乘法不符合交换性，不能交换次序，左乘 ≠ 右乘，A*B ≠B*A
- 矩阵乘法要详细考虑次序，不能交换
- A*B ≠ B*A
- 矩阵乘法的具体公式：需要考虑展开，后面详细再说
5.2 矩阵点乘法：得到的内积/点积的几何意义
- 矩阵的内积得到的是一个标量，也就是具体的数，而不是矩阵。
- 下图是网上找的
- 向量的内,外积及其几何含义讲解_两向量外积的几何意义-腾讯云开发者社区-腾讯云概括地说，向量的内积（点乘/数量积）。对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b：
https://cloud.tencent.com/developer/article/2157496
6 矩阵的叉乘/向量乘法：得到的外积/叉积
6.1 定义
- 没学过，还不太清楚，下面是转载的外积的内容
- 有点像把矩阵的每个元素，当成一个分块矩阵，分别与另外一个矩阵相乘
- 得到的结果是一个矩阵
6.2 几何意义
- 据说，2个向量的外积表现为这2个向量所构成的平行六面体的体积！
7 矩阵求逆(逆矩阵)
7.1 逆矩阵定义
- 矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。A*B=I/E
- 若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。
- 逆矩阵比然唯一
7.2 求逆矩阵的方法
- 主要是利用 A*A-=I 标准矩阵
7.3 求逆矩阵的规则
7.3.1 并不是所有的矩阵都可以求逆矩阵
- 并不是所有的矩阵都可以求逆矩阵
- 特殊条件是：
- 方阵
- 满秩的
- 双射矩阵
满足这些条件的矩阵才可以求逆
7.3.2 比较方便的快速判断方法，判断标准如下
- 如果矩阵的行列式值是否为0，若不为0，则可逆；
- 看这个矩阵的秩是否为n，若为n，则矩阵可逆；如果小于n，不可逆。
- 若存在一个矩阵B，使矩阵A使得AB=BA=E，则矩阵A可逆；
- 对于齐次线性方程AX=0，若方程只有零解，那么这个矩阵可逆；
- 对于非齐次线性方程AX=b，若方程只有特解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆。
7.4 逆矩阵的函数意义
- 如果把矩阵看成函数
- 那么函数，只有当定义域到值域是单射，且值域都是满射时，也就是定义域到值域是双射时才会有反函数
- 同理，也只有这时，矩阵才会有逆矩阵。
7.5 逆矩阵的几何意义
- 常见矩阵乘法 Ax=y，可以认为是把x从自然基底（正交的一组特殊基底）变换为斜的新坐标系。
- 那么，逆矩阵就是反过来，把斜坐标系再给转换为正交的自然基底。
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8 带引号的“矩阵除法”
8.1 一般没有矩阵除法的说法，但可以这么理解
- 这个除法实际只是一个类比，并不是真正的 矩阵除法！
这个题目的意思是：
如果知道 ，A矩阵*B矩阵=C矩阵
但是A矩阵已知，C矩阵也已知，如何求B矩阵？
A矩阵*B？矩阵=C矩阵
A*B？=C 那么B？=？ 其实B=A-*C 而不是C*A-
- 一定注意矩阵的次序，很重要！！
- 正确的，B=A~*C，而且B !=C*A-
- 错误的，B =C*A-
- 因为如下推导
- A*B= A*A-*C =I*C=C
- A*B= A*C*A- !=C
8.2 矩阵除法的几何意义（？）
- 这个应该就是函数变换吧，暂时不知道其几何意义是什么
- A*B= A*A-*C =I*C=C
- B=A-*C
