一.概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树,查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法:当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

二.插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

1.搜索二叉树

2.平衡因子

一颗树如何插入会影响节点的平衡因子呢？（平衡因子是右节点减去左节点）

如果我们插在6的左边，那么6的平衡因子减一，同理7的左子树高度加一，那么7的平衡因子减一，再继续向上5的右子树的最高高度并没有发生改变，所以5的平衡因子不发生改变。

同理，插在6的右边，6的平衡因子加一，7的平衡因子减一。

如果插在9的右边，那么8的平衡因子就会变为2，说明此树不平衡。

总结：
1.新镇在左，parent平衡因子减减。
2.新增在右，parent平衡因子加加。
3.如果更新后的parent平衡因子为0，说明parent所在的树的高度不变，不会再影响祖先，不用再继续更新了。
4如果更新后parent的平衡因子为1或者-1，那么就需要继续向上更新。
5.如果更新后，parent平衡因子为2或-2，说明该树不平衡，对parent所在的子树进行旋转。

三.旋转

1.更新平衡因子

由上面分析可以知道更新结束的条件是平衡因子为0或者更新到根节点。

首先在每个节点里加入平衡因子

接着在插入的同时更新平衡因子

2.旋转

旋转要保持的要求：
1.旋转后也是搜索二叉树。
2.变成平衡树并且降低树的高度。

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1.左单旋

通过观察我们可以发现，我们其实只需要移动蓝色的节点就可以实现左旋。我们将这三个节点分别记录，然后修改它们的内部属性即可。

2.右单旋

3.先右旋再左旋

这里的旋转并不难，直接复用就可以.

困难的部分是如何调控平衡因子，插入的位置不同，平衡因子也不同分三种情况讨论。

4.先左旋再右旋

同理，左右旋与上文一样，需要分三种情况来讨论。

四.完整代码

测试

#include"KVL.h"
#include<vector>int main()
{AVLTree<int,int> t;srand(time(0));vector<int>a;for (int i = 0; i < 100; i++)a.push_back(rand());for (auto x : a)t.Insert(make_pair(x,x));t.Print();
}

树

#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;template<class K,class V>
struct KVLTreeNode
{pair<K, V>_kv;KVLTreeNode<K, V>* _left;KVLTreeNode<K, V>* _right;KVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf;//平衡因子KVLTreeNode(const pair<K,V>&kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}
};template<class K,class V>
class AVLTree
{
public:typedef KVLTreeNode<K,V> Node;bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = _root;while (cur){if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}elsereturn false;}cur = new Node(kv);if (kv.first < parent->_kv.first){parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}//控制平衡while (parent){if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else // if (cur == parent->_right){parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){// 更新结束break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 继续往上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 子树不平衡了，需要左旋转if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}//右旋转else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}//先左单旋再右旋转else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}//先右单选再左单旋else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}break;}else{assert(false);}}return true;}void RotateL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;Node* ppnode = parent->_parent;//记录父节点的父节点//父节点的右孩子变成curleftparent->_right = curleft;if(curleft)//细节注意curleft为空时不能操作curleft->_parent = parent;//父节点变为cur的左孩子cur->_left = parent;parent->_parent = cur;//如果原来父节点是根节点if (parent == _root){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else//如果不是根节点判断它应该是左儿子还是右儿子{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}parent->_bf = cur->_bf = 0;}void RotateR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* curright = cur->_right;Node* pphead = parent->_parent;//父节点到cur右边cur->_right=parent;parent->_parent = cur;//父节点的左孩子变成currightparent->_left = curright;if (curright)curright->_parent = parent;//cur的父节点变为原来父节点的父节点if (pphead)//如果不是根节点{if (pphead->_left == parent)pphead->_left = cur;elsepphead->_right = cur;cur->_parent = pphead;}else{_root = cur;cur->_parent = nullptr;}parent->_bf = cur->_bf = 0;}void RotateRL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;int bf = curleft->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);//第一种情况if (bf == 0){parent->_bf = cur->_bf = 0;}//第二种情况else if (bf == 1){parent->_bf = -1, cur->_bf = 0, curleft->_bf = 0;}//第三种情况else if(bf==-1){cur->_bf = 1, curleft->_bf = 0, parent->_bf = 0;}//其他情况错误else{assert(false);}}void RotateLR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* curright = cur->_right;int bf = curright->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){parent->_bf = cur->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = curright->_bf = 0, cur->_bf = -1;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1, cur->_bf = curright->_bf = 0;}else{assert(false);}}void Print(){Print(_root);}void Print(Node* root){if (root == nullptr) return;Print(root->_left);cout << root->_kv.second << ' ';Print(root->_right);}
private:Node* _root=nullptr;
};