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题目部分
解读与分析
代码实现
题目部分
| 题目 | 数字加减游戏 |
| 难度 | 难 |
| 题目说明 | 小明在玩一个数字加减游戏，只使用加法或者减法，将一个数字 s 变成数字 t 。 每个回合，小明可以用当前的数字加上或减去一个数字。 现在有两种数字可以用来加减，分别为 a, b (a≠b)，其中 b 没有使用次数限制。 请问小明最少可以用多少次 a，才能将数字 s 变成数字 t 。 题目保证数字 s 一定能变成数字 t。 |
| 输入描述 | 输入的唯一一行包含四个正整数s,t,a,b(1≤s,t,a,b≤ |
| 输出描述 | 输出的唯一一行包含一个整数，表示最少需要使用多少次 a 才能将数字 s 变成数字 t。 |
| 补充说明 | 无 |
| ------------------------------------------------------ | |
| 示例 | |
| 示例1 | |
| 输入 | 1 10 5 2 |
| 输出 | 1 |
| 说明 | 初始值 1 加一次 a 变成 6，然后加两次 b 变成 10，因此 a 的使用次数为 1。 |
| 示例2 | |
| 输入 | 11 33 4 10 |
| 输出 | 2 |
| 说明 | 11 减两次 a 变成 3，然后加三次 b 变成 33，因此 a 的使用次数为 2 次。 |
解读与分析
题目解读：
由于 a 加一次后再减一次等于 0，在这里需要计算最少次数，所以我们不必做既加又减的操作。同时，也假设 b 也只做一种操作，也不存在既加又减的情况。
在这个前提下，此题要求在 s 的基础上，加减若干次 a，再加减若干次 b，最后得到 t。
本质上，由 s 变成 t ，与 由 t 变成 s相比，加减 a 、b 的次数是一样的，无非就是逆向操作，加变减，减变加。
更进一步思考，s 变成 t，与 ( s + 1) 变成 ( t + 1 ) 也是一样的，其实就是发生 | s - t | 差值的变化。
分析与思路：
由于 s、t 是固定值，我们假设 n = | s - t |。
此题可以转变为：一个原始数据，加或减a 若干次（假设为 x），加或减 b 若干次（假设为 y），产生的变化为 n 。
此题有 3 种情况：
1. a * x - b * y = n
2. b * y - a * x = n
3. a * x + b * y = n
其中，x、y 均为正整数。
这 3 个等式可以做如下转换。
1. a * x - b * y = n y =
2. b * y - a * x = n y =
3. a * x + b * y = n y =
其中， 第 1 个 和 第 3 个 可以合并成 y = 。
在 y = 和 y =
这两个等式中，它们的分母都能被 b 整除，这意味着这两个等式可以转换成：
1. ( a * x ) % b = n % b
2. ( a * x ) % b = ( b - n % b) % b
这两个等式的右边都是常数。此题进一步简化：找出最小的 x，使其满足以上 2 个条件中的任意一个。
x 的取值范围是多少呢？由于等式对 b 进行取模操作，即意味着当 x == 0 等同于 x == b， x == 1 也等同于 x == ( b + 1)。直观地看， x 的取值范围为 0 ≤ x < b。
更进一步，假设 a、b 的最小公倍数是 L，那么 a 加 次与 b 加
次是相等的，因此 x 的取值范围可以进一步缩小到 0 ≤ x <
。
那么，此题就可以简化成，把 x 从 0 到 ，代入到等式
1. ( a * x ) % b = n % b
2. ( a * x ) % b = ( b - n % b) % b
中，当这两个等式中任意一个成立时，x 的值即是最小的值。
题目中提到，“题目保证数字 s 一定能变成数字 t”，那我们在从 x = 0 开始代入等式，每次增加 1 尝试等式是否成立时，无需去计算 的值，必定会在
之前求出 x 的值。
更进一步，先求 a 与 b 的最大公约数（设为 C1），再求 n 与 b 的最大公约数（C2），接着求 C1 和 C2 的最大公约数（设为 C），那么等式就变成了：
1. ( * x ) %
=
%
2. ( * x ) %
= (
-
%
) %
此时， 与
的最小公倍数变为原来的
，x 的范围进一步缩小。
但是，写代码的时候完全不必关心这些。尽管 x 的取值范围进一步缩小，实际上是进一步精确了，x 的值不会发生改变，从 0 开始遍历，遍历的次数不会发生改变。
此题空间复杂度为 O(1)。由于输入数字最大不超过10的5次方，运行时间很短。
代码实现
Java代码
import java.util.Scanner;/*** 数字加减游戏* * @since 2023.09.08* @version 0.1* @author Frank**/
public class NumPlusMinusGame {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);while (sc.hasNext()) {String input = sc.nextLine();String[] numbers = input.split( " " );processNumPlusMinusGame( numbers );}}private static void processNumPlusMinusGame( String numbers[] ){int s = Integer.parseInt( numbers[0] );int t = Integer.parseInt( numbers[1] );int a = Integer.parseInt( numbers[2] );int b = Integer.parseInt( numbers[3] );int n = Math.abs( s - t );// 当modValue1 可能等于 modValue2，如 modValue1 等于0 或 等于 b/2 的情况。int modValue1 = n % b;int modValue2 = ( b - n % b ) % b;int i = 0;while( true ){int tmpModValue = ( a * i ) % b;if( tmpModValue == modValue1 || tmpModValue == modValue2 ){System.out.println(i);return;}i ++;}}
}JavaScript代码
const rl = require("readline").createInterface({ input: process.stdin });
var iter = rl[Symbol.asyncIterator]();
const readline = async () => (await iter.next()).value;
void async function() {while (line = await readline()) {var numberArr = line.split(" ");processNumPlusMinusGame(numberArr);}}();function processNumPlusMinusGame(numberArr) {var s = parseInt(numberArr[0]);var t = parseInt(numberArr[1]);var a = parseInt(numberArr[2]);var b = parseInt(numberArr[3]);var n = Math.abs(s - t);// 当modValue1 可能等于 modValue2，如 modValue1 等于0 或 等于 b/2 的情况。var modValue1 = n % b;var modValue2 = (b - n % b) % b;var i = 0;while (true) {var tmpModValue = (a * i) % b;if (tmpModValue == modValue1 || tmpModValue == modValue2) {console.log(i);return;}i++;}}此题主要工作量在解题思路上，代码量非常少。
(完)
