等差数列$S_n$的最值问题

1.等差数列前n项和$S_n$有最值的条件
（1）若$a_1<0，d>0$时，$S_n$有最小值。
（2）若$a_1>0，d<0$时，$S_n$有最大值。
2.求解等差数列$S_n$的方法
（1）一元二次函数法
等差数列的前n项和可以整理成一元二次函数的形式：$S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$，对称轴为$n=\frac{a_1-\frac{d}{2}}{2\times \frac{d}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d}$，最值取在最靠近对称轴的整数处。
特别地，若$S_m=S_n$，即$S_{m+n}=0$时，对称轴为$\frac{m+n}{2}$。
（2）$a_n$=0法
最值一定在“变号”时取得，可令a=0，则有
① 若解得n为整数，则$S_n=S_{n-1}$均为最值。例如，若解得n=6，则$S_6=S_5$为其最值。
② 若解得n为非整数，则当n取其整数部分m（m=[n]）时，$S_m$取到最值。例如，若解得n=6.9，则$S_6$为其最值。