一、行列式之前的概念

1.全排列：

把n个不同的元素排成一列，称为n个元素的全排列，简称排列

（实际上就是我们所说的排列组合，符号是A，arrange）

2.标准序列：

前一项均小于后一项的序列就是标准序列

比如 1，3，6，7，9就是标准序列

3.逆序数：

序列中满足前一项大于后一项的数对个数

比如有一个序列：{1，6，9，2，3，4}
遍历该序列，看每个数之前有几个数比它大，加和就是逆序数的值

4.奇偶排列

排列的奇偶性与逆序数的奇偶性相同

5.对换

将序列里任意两个元素交换，这个过程叫对换

对换相邻元素的，称为“相邻对换”

经过任一次对换，排列的奇偶性改变

奇排列变成标准序列的对换次数是奇数，偶排列变成标准序列的对换次数是偶数

二、N阶行列式的展开

$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$

有n行n列的这样的式子是n阶行列式，上图为二阶行列式

$\left|\begin{array}{ccc}a11& a12& a13\\ a21& a22& a23\\ a31& a32& a33\end{array}\right|=(a11\ast a22\ast a33)-(a11\ast a23\ast a32)+(a12\ast a23\ast a31)-(a12\ast a21\ast a32)+(a13\ast a21\ast a32)-(a13\ast a22\ast a31)$

而行列式的值应按照以下规则计算
按**序列奇偶性(见上文)**决定符号,并逐行把数字相乘：

我们可以把矩阵理解为一个值，甚至常数，所以它满足我们学过的一切乘法，加法性质

三、三角行列式

主对角线：左上到右下
上三角行列式的主对角线下方都是0，行列式值等于主对角线乘积
注意：左下到右上不是主对角线

1.三角行列式

上三角行列式
$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 2\end{array}\right|=1\ast 1\ast 2$
下三角行列式
$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 4& 1& 0\\ 3& 1& 2\end{array}\right|=1\ast 1\ast 2$
对角行列式
$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right|=1\ast 1\ast 2$

四、行列式的性质

1.转置

对每一列，从上到下书写到行上，行列式的值不变
$D=\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|=D^T=\left|\begin{array}{ccc}a& d& g\\ b& e& h\\ c& f& i\end{array}\right|$

2.交换

我们可以交换行列式的任意两行或者两列，但是会导致值变为相反数
推论1：若行列式D交换一次后，仍等于D，则D=0
推论2：若行列式有两行(列)相等，则行列式为0（交换后D=-D）
$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|=(-1)\ast \left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ g& h& i\\ d& e& f\end{array}\right|$

3.提取

我们可以把任意一个行或者一列的系数提取到行列式之前
推论：若两行(列)成比例，则行列式为0

$\left|\begin{array}{ccc}2a& 2b& 2c\\ 2d& 2e& 2f\\ g& h& i\end{array}\right|=2\ast \left|\begin{array}{ccc}2a& 2b& 2c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|$

4.拆分

$\left|\begin{array}{cc}a+x& b+y\\ c+z& d+w\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& b+y\\ c& d+w\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}x& b+y\\ z& d+w\end{array}\right|$
我们可以把行列式任意行(列)拆分成和的形式，然后转换为行列式的和
但是要注意我们每次只能拆分一行(列)，多行(列)拆分是错误的
$\cancel{\left|\begin{array}{cc}a+x& b+y\\ c+z& d+w\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right|}$

5.调整

把任意一行(列)乘以k之后可以加到另一行(列)上，行列式不变
通常这样得到三角行列式来快捷计算
$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d+k\ast a& e+k\ast b& f+k\ast c\\ g& h& i\end{array}\right|(k任取)$
例如我们可以轻易把某些行列式调整为三角行列式
$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 4& 3& 1\\ 3& 2& 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& -1& -7\\ 0& -1& -4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& -1& -7\\ 0& 0& 3\end{array}\right|=1\ast (-1)\ast 3=-3$

五、行列式的余子式和代数余子式

1.余子式

$D=\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|$

$M_{ij}是把D划去第i行j列的(n-1)阶行列式$

$M_{22}=\left|\begin{array}{ccc}a& \cancel{b}& c\\ \cancel{d}& \cancel{e}& \cancel{f}\\ g& \cancel{h}& i\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& c\\ g& i\end{array}\right|$

2.代数余子式

$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

3.按行或按列展开

$D_n=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+...+a_{in}{A}_{in}$
这是按行展开，其实就是对某一行遍历，然后划掉当前元素所在行列求代数余子式，然后乘当前位置的值，按列展开同理。

六、特殊行列式

1.和固定型

$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}a& b& b& ...& b\\ b& a& b& ...& b\\ b& b& a& ...& b\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& ...& b\\ b& b& ...& b& a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}a+nb& a+nb& a+nb& ...& a+nb\\ b& a& b& ...& b\\ b& b& a& ...& b\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& ...& b\\ b& b& ...& b& a\end{array}\right|$

$=(a+nb)\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& ...& 1\\ b& a& b& ...& b\\ b& b& a& ...& b\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& ...& b\\ b& b& ...& b& a\end{array}\right|$
接下来就可以愉快的用第一行把行列式消成三角了
$=(a+nb)\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& ...& 1\\ 0& a-b& 0& ...& 0\\ 0& 0& a-b& ...& 0\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& ...& 0\\ 0& 0& ...& 0& a-b\end{array}\right|=(a-b{)}^{n-1}$

2.范德蒙德行列式

$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}{x}_1^0& x_2^0& x_3^0& ...& x_n^0\\ x_1^1& x_2^1& x_3^1& ...& x_n^1\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2& ...& x_n^2\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& ...& x_n^{n-1}\\ x_1^n& x_2^n& x_3^n& ...& x_n^n\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& ...& 1\\ x_1^1& x_2^1& x_3^1& ...& x_n^1\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2& ...& x_n^2\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& ...& x_n^{n-1}\\ x_1^n& x_2^n& x_3^n& ...& x_n^n\end{array}\right|$

这样的行列式称为“范德蒙德行列式”
一般按照以下规则计算

$$\begin{gathered} D_n={\prod }_{1<=i<j<=n}(x_j-x_i)= \\ ---------------------------- \\ (x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n-2})...(x_n-x_1) \\ (x_{n-1}-x_{n-2})(x_{n-1}-x_{n-3})...(x_{n-1}-x_1) \\ ... \\ (x_3-x_2)(x_3-x_1) \\ (x_2-x_1) \end{gathered}$$

证明过程如下

七、克莱姆法则（Cramer’s Rule）

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3+...+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3+...+a_{2n}{x}_n=b_2\\ ...\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+a_{n3}{x}_3+...+a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$
对于这样一个方程组，我们定义一个行列式，只存它的系数，称为”系数行列式”
$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& ...& a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& ...& a_{3n}\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& ...& a_{(n-1)n}\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{n(n-1)}& a_{nn}\end{array}\right|$

应用：克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:

• 当方程组的系数行列式不等于零时，方程组且具有唯一解；
• 如果方程组无解或者有两个不同的解，方程组的系数行列式等于零
• 克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都成立。

克莱姆法则的局限性：

• 方程个数与未知数的个数不同时，系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效。
• 运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式