【二叉树魔法：链式结构与递归的纠缠】

本章重点

  • 二叉树的链式存储
  • 二叉树链式结构的实现
  • 二叉树的遍历
  • 二叉树的节点个数以及高度
  • 二叉树的创建和销毁
  • 二叉树的优先遍历和广度优先遍历
  • 二叉树基础oj练习

1.二叉树的链式存储

        二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。  

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* left; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* right; // 指向当前节点右孩子BTDataType data; // 当前节点值域
};// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* parent; // 指向当前节点的双亲struct BinTreeNode* left; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* right; // 指向当前节点右孩子BTDataType data; // 当前节点值域
};

2.二叉树链式结构的实现

        这里我们就不讲解二叉树链式结构的增删查改，因为二叉树链式结构的增删查改没有意义，其链式二叉树形式复杂，数据增删查改消耗较大。

        在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

        下面我们根据上图手动去构建一个二叉树链式的结构。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;BTDataType data;
}BTNode;BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (node == NULL){perror("malloc fail");exit(-1);}node->data = x;node->left = node->right = NULL;return node;
}int main()
{//手动构建二叉树BTNode* node1 = BuyNode(1);BTNode* node2 = BuyNode(2);BTNode* node3 = BuyNode(3);BTNode* node4 = BuyNode(4);BTNode* node5 = BuyNode(5);BTNode* node6 = BuyNode(6);node1->left = node2;node1->right = node4;node2->left = node3;node4->left = node5;node4->right = node6;return 0;
}

3.二叉树的遍历

3.1前序、中序以及后序遍历

        学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉 树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

  1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前（依次访问：跟 左子树 右子树）。
  2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）（依次访问：左子树 跟 右子树）。
  3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后（依次访问：左子树 右子树 跟）。

根据上面的图得出：

        由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

        再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是：

  1. 空树
  2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。

  • 前序遍历结果：1 2 3 NULL NULL NULL 4 5 NULL NULL 6 NULL NULL

  • 中序遍历结果： NULL 3 NULL 2 NULL 1 NULL 5 NULL 4 NULL 6 NULL

  • 后序遍历结果： NULL NULL 3 NULL 2 NULL NULL 5 NULL NULL 6 4 1

        从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root);

3.1.1、二叉树前序遍历：void PreOrder(BTNode * root);

// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL");return;}printf("%d ", root->data);PreOrder(root->left);PreOrder(root->right);
}

运行结果：

递归图：


3.1.2、二叉树中序遍历：void InOrder(BTNode* root);

// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL");return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->data);InOrder(root->right);
}

运行结果：


3.1.3、二叉树后序遍历：void PostOrder(BTNode* root);

// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%d ", root->data);
}

运行结果：

3.2层序遍历

        层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层 上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

        我们该如何层序遍历一颗树呢？这里我们还能用递归嘛？不行，层序遍历没有先访问左子树和右子树的关系，层序遍历是一层一层访问的，递归的思想不符合层序遍历，这里我们可以使用队列，先把根节点入队列，然后当根节点出队列的时候，再把根节点的左右孩子入队列，特点是上一层带下一层，由于队列是先进先出的特点，刚好符合层序遍历。

这里需要注意一个问题，我们存储队列的数据是链式树中的data嘛，这样并不行，我们如果存放值进去，就找不到左右孩子的值了，所以我们需要存储结构体，但是二叉树结构体所占空间大，因此我们传入二叉树结构体的地址进去。

//Queue.h中需要修改QDataType
typedef struct BinaryTreeNode* QDataType;#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
#include <stdbool.h>typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;BTDataType data;
}BTNode;#include "Queue.h"// 层序遍历
void LevelOrder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if(root != NULL)QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);printf("%d ", front->data);if(front->left)QueuePush(&q, front->left);if (front->right)QueuePush(&q, front->right);QueuePop(&q);}QueueDestroy(&q);
}
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (node == NULL){perror("malloc fail");exit(-1);}node->data = x;node->left = node->right = NULL;return node;
}
int main()
{//手动构建二叉树BTNode* node1 = BuyNode(1);BTNode* node2 = BuyNode(2);BTNode* node3 = BuyNode(3);BTNode* node4 = BuyNode(4);BTNode* node5 = BuyNode(5);BTNode* node6 = BuyNode(6);node1->left = node2;node1->right = node4;node2->left = node3;node4->left = node5;node4->right = node6;LevelOrder(node1);return 0;
}

运行结果：

4.二叉树的节点个数以及高度

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);

4.1二叉树节点个数：int BinaryTreeSize(BTNode* root);

        求二叉树节点的个数我们最容易想到的就是遍历二叉树，然后遇到一个不为NULL的节点就加，但是我们本章主要是使用递归的思想，所有都采用递归的思想去解题。

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{int size = 0;if (root == NULL)return 0;elsesize++;BinaryTreeSize(root->left);BinaryTreeSize(root->right);
}

        我们首先看看上面的写法有什么错误，很明显，上面犯了一个很严重的错误，返回局部变量的值，我们知道，函数内创建的局部变量在函数释放时候，其空间会被销毁，那么上面的size就会得到一个随机值。

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{static int size = 0;//静态变量，生命周期边长if (root == NULL)return 0;elsesize++;BinaryTreeSize(root->left);BinaryTreeSize(root->right);return size;
}

再看看上面的代码，我们将size用static修饰，那么此时size就会存放在静态区，此时size生命周期就会变长，但是在函数内部我们有一个给size初始化为0的语句，这样会不会在每次函数调用的时候都会初始化为0呢？不会，局部的静态变量初始化只会被执行一次。我们调试发现，当再次进入函数时，给size初始化为0的语句直接被跳过了。

运行结果：

        我们可以看到结果求出来了，也确实是正确的，但是我们可以发现，静态变量的size生命周期是和程序的生命周期相同的，如果我们后面再次调用函数，size会从上一次的基础上加上去，比如我们再调用一次函数，结果是：

        所以我们上面的函数是一次性的，只能使用一次，不方便，不过也有方法解决，我们此时就不用静态变量了，我们将size设置为全局变量，然后在每次调用的时候，手动将size的值赋值为0，但是这样不够优雅，下面我们来介绍一下递归方法。

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

递归图

这样结果就出来啦！！！

4.2二叉树叶子节点个数：int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)

// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;if (root->left == NULL && root->right == NULL)return 1;BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right);
}

递归图：

4.3二叉树第k层节点个数：int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)

// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{assert(k > 0);if (root == NULL)return 0; if (k == 1)return 1;return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

递归图

4.4二叉树查找值为x的节点：BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);

        我们首先拿到这个题目，就可以确定我们是从根节点开始查找，然后再左子树，右子树查找，很明显的前序遍历，因此我们可以按照前序遍历的思路查找该值。、

// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL)return NULL;if (root->data == x)return root;BinaryTreeFind(root->left, x);BinaryTreeFind(root->right, x);
}

        我们看看上面的代码有问题嘛？很明显画个递归图就可以观察到问题。

        很明显，我们找到值相等的节点，但是返回值并不是直接返回到最外面，而是返回给上一层函数，但是上一层函数又没有接收该返回值，返回值就被扔掉了，本来该值已经找到了，又再去递归右树，所以上面的写法是错误的。

// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL)return NULL;if (root->data == x)return root;return BinaryTreeFind(root->left, x) || BinaryTreeFind(root->right, x);
}

        上面的这种写法避免了再去递归右树的问题，但是逻辑或运算符的返回结果是真假，不符合返回指针要求。根据上面的错误，首先要确定能够有返回值返回，其次是左子树找到了就不要去右子树找了。

// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL)return NULL;if (root->data == x)return root;BTNode* ret = BinaryTreeFind(root->left, x);if (ret != NULL)return ret;ret = BinaryTreeFind(root->right, x);if (ret != NULL)return ret;return NULL;
}

递归图：

4.5二叉树的高度int TreeHeight(BTNode* root)

        二叉树的高度怎么求呢？我们可以尝试一下递归的思路，我们可以先求左子树的高度，然后再求右子树的高度，比较两棵子树谁的高度大，返回高度大的那棵子树并加上根节点就是整棵树的高度

//二叉树的高度
int TreeHeight(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;return TreeHeight(root->left) > TreeHeight(root->right) ? TreeHeight(root->left) + 1: TreeHeight(root->right) + 1;
}

我们将上面的代码去力扣上编译一下：链接

但是我们发现上面的程序超出时间限制，为什么呢？我们发现我们的程序先递归一遍求左子树和右子树的高度，然后选出那个较大，并没有保存高度，仅仅只是比较，执行完三目操作符的比较后，假设左子树经过比较高度大，后面的对左子树的高度又要递归一次，所以上面的代码求解高度需要先递归左数，再递归右数，然后比较，再将高度大的那颗树再去递归求高度。我们可以通过保存第一次递归时的高度就可以啦

int maxDepth(struct TreeNode* root){if (root == NULL)return 0;int leftHeight = maxDepth(root->left);int rightHeight = maxDepth(root->right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

但是上面定了变量，那有没有不定义变量的方法呢？我们可以利用函数传参的特点。

int TreeHeight(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;return fmax(TreeHeight(root->left), TreeHeight(root->right)) + 1;
}

通过fmax函数，我们将第一次递归的左子树和右子树高度传入形参中，传参是将求下来的结果放到形参中，这样也就间接保存了左子树和右子树高度。

5.二叉树的创建和销毁

// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi);
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root);

5.1通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树:BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi);

由于二叉树的前序遍历是先访问根节点，在访问左子树，最后访问右子树，所以当第一次访问的到#时，该二叉树的左子树就访问完了，就要开始访问右子树了。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
typedef struct BinaryTreeNode
{struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;char data;
}BTNode;BTNode* BinaryTreeCreate(char* str, int* pi)
{if (str[*pi] == '#'){(*pi)++;return NULL;}BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (root == NULL){perror("malloc fail");exit(-1);}root->data = str[*pi];(*pi)++;//左数构建完自然到右树root->left = BinaryTreeCreate(str, pi);root->right = BinaryTreeCreate(str, pi);return root;
}
// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("# ");return;}printf("%c ", root->data);PreOrder(root->left);PreOrder(root->right);
}
int main()
{char str[100];scanf("%s", str);int i = 0;BTNode* root = BinaryTreeCreate(str, &i);PreOrder(root);return 0;
}

递归图：

前序遍历：

5.2二叉树销毁：void BinaryTreeDestory(BTNode** root);

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root)
{if (root == NULL)return;BinaryTreeDestory(root->left);BinaryTreeDestory(root->right);free(root);root == NULL;
}

        我们看看上面的代码有问题嘛，最后一步的root置空有问题，因为root是形参，形参的改变是不会改变实参的，所以上面是root置空没有效果，可以使用二级指针通过地址去修改实参，或者我们可以在函数调用完后手动加一个置空。

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root)
{if (root == NULL)return;BinaryTreeDestory(root->left);BinaryTreeDestory(root->right);free(root);
}

5.3判断二叉树是否是完全二叉树：int BinaryTreeComplete(BTNode* root);

        我们首先看看完全二叉树的特点：前h-1层的节点个数都是满的，最后一层的个数可能是满的。那我们是不是可以先求二叉树的高度，然后再去求每层节点的个数是否符合h层的节点个数呢？我们来看看下面一个图。

        很明显，前h-1层是符合的，但是最后一层呢？完全二叉树的最后一层节点是一个范围值，比如上图，h层的节点个数是符号最后一层节点数量范围的，但是上面是完全二叉树嘛？很明显，不是，所以上面的思路是错误的。所以要换一个思路，我们发现完全二叉树的层序遍历非空节点是连续的。那我们是不是可以利用这一点去判断一棵树是不是完全二叉树。但是我们要改变一下层序遍历的代码，将空节点也入进队列去。

// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root != NULL)QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);if (front == NULL)break;QueuePush(&q, front->left);QueuePush(&q, front->right);QueuePop(&q);}//已经遇到空节点，如果队列中还有后面的节点非空，就不是完全二叉树while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front != NULL){QueueDestroy(&q);return 0;}}QueueDestroy(&q);return 1;
}

        上面我们需要注意一点，BTNode* front = QueueFront(&q);取到队头节点之后我们就执行QueuePop(&q);那我们后面还能访问front节点嘛？可以，因为pop是删除队列的节点，不是删除树的节点。

1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为（ ）

A ABDHECFG

B ABCDEFGH

C HDBEAFCG

D HDEBFGCA

解析：题目上告知我们该树是完全二叉树，那么每一层有2^{(h-1)}个节点，所以该树则为：

2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为（）

A E

B F

C G

D H

解析：先序遍历为EFHIGJK，先访问根节点，所以根节点为E

3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为____。

A adbce

B decab

C debac

D abcde

解析：中序遍历是先访问左子树，根节点，再右子树，后序遍历是先访问左子树，右子树，根节点，所以可以确定a是根节点，b是左子树，dce是右子树，所以该树则为：

4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出（同一层从左到右）的序列为

A FEDCBA

B CBAFED

C DEFCBA

D ABCDEF

解析：中序遍历是先访问左子树，根节点，再右子树，后序遍历是先访问左子树，右子树，根节点，所以可以确定F是根节点，层序是从根节点一层一层遍历，即可确定答案A

6.二叉树的优先遍历和广度优先遍历深度优先遍历和广度优先遍历

        深度优先遍历（Depth-First Search，DFS）和广度优先遍历（Breadth-First Search，BFS）是两种常用的图遍历算法，用于在图或树数据结构中查找或遍历节点。

深度优先遍历 (DFS)：前序

        DFS 是一种递归或堆栈（栈）的遍历方法，其核心思想是从一个起始节点开始，沿着一条路径尽可能深地探索，直到无法再继续深入，然后回退到上一个节点，再继续探索其他路径。DFS 可以帮助我们找到图中的所有节点，并且可以用于解决许多与路径和连通性相关的问题。

DFS 的基本特点：

  1. 从起始节点开始遍历。
  2. 递归或使用栈来管理节点的访问顺序。
  3. 深度优先，先探索一个分支直到底部，然后再回溯探索其他分支。

        DFS 在解决一些问题时可能会遇到无限深度的情况，为了避免这种情况，通常需要使用适当的条件来限制深度。

        广度优先遍历 (BFS)：层序

        BFS 是一种层次遍历方法，从起始节点开始，首先访问起始节点，然后逐层地访问该节点的邻居节点，直到遍历完所有的节点或达到特定条件为止。BFS 常用于寻找最短路径或在图中查找特定节点。

BFS 的基本特点：

  1. 从起始节点开始遍历。
  2. 使用队列来管理节点的访问顺序。
  3. 广度优先，先访问当前节点的邻居节点，再访问邻居节点的邻居节点。

BFS 可以用于寻找最短路径，因为它会按层级逐步扩展，首次到达目标节点时即可确定为最短路径。

总结：

  • DFS 主要用于深度探索，适用于寻找路径、连通性等问题。
  • BFS 主要用于广度搜索，适用于寻找最短路径、层级遍历等问题。

7.二叉树基础oj练习

1. 单值二叉树。Oj链接

2. 检查两颗树是否相同。OJ链接

3. 对称二叉树。OJ链接

4. 二叉树的前序遍历。 OJ链接

5. 二叉树中序遍历 。OJ链接

6. 二叉树的后序遍历 。OJ链接

7. 另一颗树的子树。OJ链接

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怎么将几张图片做成pdf合在一起&#xff1f;在我们平时的工作中&#xff0c;图片和pdf都是非常重要的电脑文件&#xff0c;使用也非常频繁&#xff0c;图片能够更为直观的展示内容&#xff0c;而pdf则更加的正规&#xff0c;很多重要文件大多会做成pdf格式的。在职场人的日常工…
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TypeError: res.data.map is not a function微信小程序报错

TypeError: res.data.map is not a function微信小程序报错

从数据库查&#xff1a; 调用的是&#xff1a; 访问的springboot后端是这个&#xff1a; 打印出来如下&#xff1a; 看到是json格式的数据 [Users [id3, name刘雨昕, phone18094637788, admintrue, actionsJsonadmin, createAtSat Sep 16 10:11:20 CST 2023, tokentest], User…
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深入了解队列数据结构：定义、特性和实际应用

深入了解队列数据结构：定义、特性和实际应用

文章目录 &#x1f34b;引言&#x1f34b;队列的定义&#x1f34b;队列的实现&#x1f34b;队列的应用&#x1f34b;练习题&#x1f34b;结语 &#x1f34b;引言 队列&#xff08;Queue&#xff09;是计算机科学中一种重要的数据结构&#xff0c;它常用于各种应用程序中&#x…
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拼多多API接口解析，实现根据ID取商品详情

拼多多API接口解析，实现根据ID取商品详情

拼多多是一个流行的电商平台&#xff0c;它提供了API接口供开发者使用。要根据ID获取商品详情&#xff0c;您需要使用拼多多API接口并进行相应的请求。 以下是使用拼多多API接口根据ID获取商品详情的示例代码&#xff08;使用Python编写&#xff09;&#xff1a; import requ…
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​专业图像处理软件 Photoshop 2023 mac版本更新（ps2023中文）

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​Photoshop 2023 mac是一款图像编辑和图形设计软件&#xff0c;广泛应用于专业人士和爱好者。它提供了许多工具和功能&#xff0c;用于创建、编辑和增强数字图像&#xff0c;包括图层、蒙版、滤镜和各种选择工具。Photoshop还支持多种文件格式&#xff0c;包括psD、JPEG、PNG和…
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全套办公软件Office 2019 mac专业版功能

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Microsoft office 2019 Beta for Mac 是一款办公软件套装&#xff0c;它包含常用的办公应用程序&#xff0c;如 Word、Excel、PowerPoint 和 Outlook 等。office 2019 Beta 版本是一个测试版本&#xff0c;旨在让用户提前体验下一个版本的 office 套件&#xff0c;以便用户可以…
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