正交对角化，奇异值分解

与普通矩阵对角化不同的是，正交对角化是使用正交矩阵对角化，正交矩阵是每列向量都是单位向量，正交矩阵*它的转置就是单位矩阵

与普通矩阵对角化一样，正交对角化的结果也是由特征值组成的对角矩阵

本质还是特征向量对原矩阵的拉伸，收缩。

A为特征向量矩阵，对角化为 $A^{-1}XA$

B为特征向量的正交矩阵，对角化为 $B^{T}XB$

上面两个的结果是一样的

下面用奇异值分解来举个例子

$A=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1\\ 1& 0 \end{bmatrix}$ ， $A^{T}A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0& 1&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$A^{T}A$ 的特征值为 $\lambda _{1}=2,\lambda _{2}=1$ ，特征向量为 $\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$ ，非零奇异值为 $\sigma _{1}=\sqrt{2},\sigma _{2}=\sqrt{1}=1$ ，所以 $\sum _{1}=\begin{bmatrix} \sqrt{2} & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

要使 $V^{T}(A^{T}A)V=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 &1 \end{bmatrix}$ 成立的正交矩阵V，V是由特征向量的单位向量组成如果特征向量是 $\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ 则正交矩阵是 $\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{1}{2}\\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$ ,所以 $V=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$