【数据结构】二叉树的顺序结构及实现

1. 二叉树的顺序结构

2. 堆的概念及结构

3. 堆的实现

3.1 堆向下调整算法

3.2 堆的创建

3.3 建堆时间复杂度

3.4 堆的插入

3.5 堆的删除

3.6 堆的代码实现

4. 堆的应用

4.1 堆排序

4.2 TOP-K问题

1. 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

2. 堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合 $K=\left \{ k_{0},k_{1},k_{2},...,k_{n-1} \right \}$ ，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足： $K_{i}<=K_{2*i+2}$ 且 $K_{i}<=K_{2*i+2}$ （ $K_{i}>=K_{2*i+1}$ 且 $K_{i}>=K_{2*i+2}$ ）i = 0，1，2...，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

3. 堆的实现

3.1 堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

int array[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };

3.2 堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

int a[] = { 1,5,3,8,7,6 };

3.3 建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

因此：建堆的时间复杂度为O(N)。

3.4 堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

3.5 堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

3.6 堆的代码实现

// heap.h#pragma once#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
#include <stdbool.h>
#include <string.h>
#include <time.h>typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;
}HP;// 向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);
// 向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);
// 交换
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);
// 打印堆
void HeapPrint(HP* php);
// 堆的初始化
void HeapInit(HP* php);
// 堆的初始化（数组）
void HeapInitArray(HP* php, int* a, int n);
// 堆的销毁
void HeapDestroy(HP* php);
// 堆的插入
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(HP* php);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(HP* php);
// 堆的判空
bool HeapEmpty(HP* php);

// heap.c#include "heap.h"void HeapInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->size = 0;php->capacity = 0;
}void HeapInitArray(HP* php, int* a, int n)
{assert(php);assert(a);php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);if (php->a == NULL){perror("malloc fail");exit(-1);}php->size = n;php->capacity = n;memcpy(php->a, a, sizeof(HPDataType) * n);// 建堆for (int i = 1; i < n; i++){AdjustUp(php->a, i);}
}void HeapDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (parent - 1) / 2;}else{break;}}
}void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < n){// 找出小的那个孩子if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child]){++child;}if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);// 继续往下调整parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);// 扩容if (php->size == php->capacity){int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);if (tmp == NULL){perror("realloc fail");exit(-1);}php->a = tmp;php->capacity = newCapacity;}php->a[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}void HeapPrint(HP* php)
{assert(php);for (int i = 0; i < php->size; i++){printf("%d ", php->a[i]);}printf("\n");
}void HeapPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);--php->size;AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}HPDataType HeapTop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);return php->a[0];
}bool HeapEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}

4. 堆的应用

4.1 堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆

1）升序：建大堆

2）降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序

建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。

// 堆排序void HeapSort(int* a, int n)
{// 向下调整建堆for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(a, n, i);}int end = n - 1;while (end > 0){Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);--end;}
}

4.2 TOP-K问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆

1）前k个最大的元素，则建小堆

2）前k个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

// 文件中的TopK问题
void PrintTopK(const char* filename, int k)
{// 建堆，用a中前k个元素建堆FILE* fout = fopen(filename, "r");if (fout == NULL){perror("fopen fail");return;}int* minheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (minheap == NULL){perror("malloc fail");return;}for (int i = 0; i < k; i++){fscanf(fout, "%d", &minheap[i]);}// 前k个数建小堆for (int i = (k - 2) / 2; i >= 0; --i){AdjustDown(minheap, k, i);}// 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素比较int x = 0;while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF){if (x > minheap[0]){// 替换你进堆minheap[0] = x;AdjustDown(minheap, k, 0);}}for (int i = 0; i < k; i++){printf("%d ", minheap[i]);}printf("\n");free(minheap);fclose(fout);
}void CreateNDate()
{// 造数据int n = 10000000;srand((unsigned int)time(0));const char* file = "data.txt";FILE* fin = fopen(file, "w");if (fin == NULL){perror("fopen error");return;}for (int i = 0; i < n; ++i){int x = (rand() + i) % 10000000;fprintf(fin, "%d\n", x);}fclose(fin);
}int main()
{CreateNDate();PrintTopK("data.txt", 5);return 0;
}

本文完

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