11.The Metric Tensor

Metric Tensor--度量张量

度量张量可以测量空间的长度和角度。

How do you get the length of a vector ?

（正交基的话）可以使用三角形的勾股定理(毕达哥拉斯定理)。

上面用的是正交基e1、e2来计算的，但是，若你想用 $\tilde e_{1} \tilde e_{2}$ 利用勾股定理计算就行不通，因为 $\tilde e_{1}$ 和 $\tilde e_{2}$ 不是正交基，无法这么计算。

Pythagoras's Theorem is a lie for non-orthonormal bases.毕达哥拉斯定理对于非正交基而言是个谎言。其仅在基底向量长度为1且正交的情况下成立。

事实上，若我们使用不同的坐标系，其中一个向量V总是平行于一个基向量时，毕达哥拉斯定理就不起作用。

从这三个例子可以看出，对于一般的非正交坐标系，毕达哥拉斯定理对我们没什么好处。

事实证明，向量长度的真正公式不是由毕达哥拉斯给出的，而是由点积给出的，。

所以向量V的平方长度 = V · V、

orthonormal basis -----正交基

上面第一个红色箭头的就是向量长度的真正公式；
而下面第二个红色箭头是因为正交基，才有这么简单的公式出来。

而在这个新基的基底下，就不会有那么简单的式子了，因为 $\tilde e_{1}$ 和 $\tilde e_{2}$ 不是正交基，长度也不为1。

但是另有办法计算，也就是想办法计算出 $\tilde e_{1} \cdot \tilde e_{1}$ 、 $\tilde e_{1} \cdot \tilde e_{2}$ 、 $\tilde e_{2} \cdot \tilde e_{2}$ ，
而要怎么计算这个呢？我们知道e1 · e1 =1 ， e1 · e2=0 ， e2 · e2 = 1.
故可将新基用旧基来线性表示，再展开计算。

这新公式通常有效，原因是放向量的分量变大时，基向量会变小，因此，当从“a“变到”b“时，
比较左、中图，发现向量的组件从”1“变大为”2“，与a1相比，b1会缩小。
因此，分量的增长和基向量的点积的缩小将平衡，长度将相同。
类似的，中、右图比较，分量缩小，则基向量的点积将增大以平衡事物，并且长度将保持不变。

看图，我们可以把向量的长度写成矩阵的乘法形式，
在任何给定坐标系中获取向量长度的关键是这里的矩阵。
这就是我们所说的度量张量。
用字母g来表示度量张量，

看下图，左边这个是旧基中的度量张量，右边这个是新基中的度量张量

它们度量的是同一个向量V的长度，也就是说，它们是相同的度量张量，它只是由不同的矩阵表示，就像向量一样，度量张量是不变的，但是，当使用不同的坐标系时，它们看起来不同并且具有不同的组件。

因此，归根到底，要使用下图这些公式来获得向量长度，只需要知道基向量点积，
我们可以将e1 · e1 ， e1 · e2， e2 · e2 这些乘积存储到一个矩阵中，该矩阵表示该坐标系的度量张量。

因此，要获得向量长度的平方，可在这里使用下面这些简单的公式，
注意，这里有隐含对 i 和 j 的求和，度量张量的分量由基向量的点积给出。