C++前缀和算法：生成数组原理、源码及测试用例

本文涉及的基础知识点

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例包括课程视频
动态规划，日后完成。

题目

给定三个整数 n、m 和 k 。考虑使用下图描述的算法找出正整数数组中最大的元素。
请你构建一个具有以下属性的数组 arr ：
arr 中包含确切的 n 个整数。
1 <= arr[i] <= m 其中 (0 <= i < n) 。
将上面提到的算法应用于 arr 之后，search_cost 的值等于 k 。
返回在满足上述条件的情况下构建数组 arr 的方法数量，由于答案可能会很大，所以必须对 10^9 + 7 取余。
示例 1：
输入：n = 2, m = 3, k = 1
输出：6
解释：可能的数组分别为 [1, 1], [2, 1], [2, 2], [3, 1], [3, 2] [3, 3]
示例 2：
输入：n = 5, m = 2, k = 3
输出：0
解释：没有数组可以满足上述条件
示例 3：
输入：n = 9, m = 1, k = 1
输出：1
解释：唯一可能的数组是 [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

提示：
1 <= n <= 50
1 <= m <= 100
0 <= k <= n

暴力解法

分析

时间复杂度O(nmk*m)。第一层循环，枚举res[i]，时间复杂度O(n)。第二层第三层循环状态,最大值和search_cost的值。第四层循环，当前值。

核心代码

emplate
class C1097Int
{
public:
C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
{
}
C1097Int operator+(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
return this;
}
C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
{
m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
return this;
}
C1097Int operator-(const C1097Int& o)
{
return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int operator(const C1097Int& o)const
{
return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
}
C1097Int& operator=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
bool operator<(const C1097Int& o)const
{
return m_iData < o.m_iData;
}
C1097Int pow(long long n)const
{
C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
while (n)
{
if (n & 1)
{
iRet *= iCur;
}
iCur *= iCur;
n >>= 1;
}
return iRet;
}
C1097Int PowNegative1()const
{
return pow(MOD - 2);
}
int ToInt()const
{
return m_iData;
}
private:
int m_iData = 0;;
};

template
int operator+(int iData, const C1097Int& int1097)
{
int iRet = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt();
return iRet;
}

template
int& operator+=(int& iData, const C1097Int& int1097)
{
iData = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt();
return iData;
}

template
int operator*(int iData, const C1097Int& int1097)
{
int iRet = int1097.operator*(C1097Int<>(iData)).ToInt();
return iRet;
}

template
int& operator*=(int& iData, const C1097Int& int1097)
{
iData = int1097.operator*(C1097Int<>(iData)).ToInt();
return iData;
}

class Solution {
public:
int numOfArrays(int n, int m, int k) {
vector<vector<C1097Int<>>> pre(k + 1, vector<C1097Int<>>(m+1));//pre[k][j]表示res[0,i)的最大值为j且search_cost 为k的数量
pre[0][0] = 1;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
vector<vector<C1097Int<>>> dp(k + 1, vector<C1097Int<>>(m + 1));
for (int preMax = 0; preMax <= m; preMax++)
{
for (int preK = 0; preK <= k; preK++)
{
for (int cur = 1; cur <= m; cur++)
{
const int iNewK = (cur <= preMax) ? preK : preK + 1;
if (iNewK > k)
{
continue;
}
dp[iNewK][max(cur, preMax)] += pre[preK][preMax];
}
}
}
pre.swap(dp);
}
auto bi = std::accumulate(pre[k].begin(), pre[k].end(), C1097Int<>());
return bi.ToInt();
}
};

测试用例

template
void Assert(const vector& v1, const vector& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
assert(v1[i] == v2[i]);
}
}

template
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}

int main()
{
int res = Solution().numOfArrays(2,3,1);
Assert(6, res);
res = Solution().numOfArrays(20, 30, 5);
Assert(266034711, res);
res = Solution().numOfArrays(30, 20, 4);
Assert(835697098, res);
//CConsole::Out(res);
}

前缀和优化

分析

dp[curK][curMax]的来源有两种，见下表


preMax < curMax	k加1	pre[curK-1][0,curMax) 之和，前缀和。
preMax >= curMax	k不变	cur取[1,curMax]都是pre[curK][curMax]，故pre[curK][curMax]*curMax。

代码

class Solution {
public:
int numOfArrays(int n, int m, int k) {
vector<vector<C1097Int<>>> pre(k + 1, vector<C1097Int<>>(m+1));//pre[k][j]表示res[0,i)的最大值为j且search_cost 为k的数量
pre[0][0] = 1;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
vector<vector<C1097Int<>>> dp(k + 1, vector<C1097Int<>>(m + 1));
for (int curK = 1; curK <= k; curK++)
{
C1097Int<> bi = 0;
for (int curMax = 1; curMax <= m; curMax++)
{
//preMax < curMax
bi += pre[curK-1][curMax - 1];
dp[curK][curMax] = bi;
//
dp[curK][curMax] += pre[curK][curMax] * (curMax);
}
}
pre.swap(dp);
}
auto bi = std::accumulate(pre[k].begin(), pre[k].end(), C1097Int<>());
return bi.ToInt();
}
};

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快

速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
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鄙人想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
墨家名称的来源：有所得以墨记之。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛