【数据结构】数组和字符串（九）：稀疏矩阵的链接存储：十字链表的插入、查找、删除操作

文章目录

  • 4.2.1 矩阵的数组表示
  • 4.2.2 特殊矩阵的压缩存储
    • a. 对角矩阵的压缩存储
    • b~c. 三角、对称矩阵的压缩存储
    • d. 稀疏矩阵的压缩存储——三元组表
    • 4.2.3三元组表的转置、加法、乘法、操作
    • 4.2.4十字链表
      • 0. 十字链表的创建、遍历打印、销毁
      • 1. 插入
      • 2. 查找
      • 3. 删除
      • 4. 主函数
      • 5. 代码整合

4.2.1 矩阵的数组表示

【数据结构】数组和字符串（一）：矩阵的数组表示

4.2.2 特殊矩阵的压缩存储

  矩阵是以按行优先次序将所有矩阵元素存放在一个一维数组中。但是对于特殊矩阵，如对称矩阵、三角矩阵、对角矩阵和稀疏矩阵等, 如果用这种方式存储，会出现大量存储空间存放重复信息或零元素的情况，这样会造成很大的空间浪费。为节约存储空间和算法（程序）运行时间，通常会采用压缩存储的方法。

  • 对角矩阵：指除了主对角线以外的元素都为零的矩阵，即对 任意 i ≠ j (1≤ i , j ≤n)，都有M(i, j)=0。由于只有主对角线上有非零元素，只需存储主对角线上的元素即可。
  • 三角矩阵：指上三角或下三角的元素都为零的矩阵。同样地，只需存储其中一部分非零元素，可以节省存储空间。
  • 对称矩阵：指矩阵中的元素关于主对角线对称的矩阵。由于对称矩阵的非零元素有一定的规律，可以只存储其中一部分元素，从而减少存储空间。
  • 稀疏矩阵：指大部分元素为零的矩阵。传统的按行优先次序存储方法会浪费大量空间来存储零元素，因此采用压缩存储的方法更为合适。常见的压缩存储方法有：压缩稠密行（CSR）、压缩稠密列（CSC）、坐标列表（COO）等。

a. 对角矩阵的压缩存储

【数据结构】数组和字符串（二）：特殊矩阵的压缩存储：对角矩阵——一维数组

b~c. 三角、对称矩阵的压缩存储

【数据结构】数组和字符串（三）：特殊矩阵的压缩存储：三角矩阵、对称矩阵——一维数组

d. 稀疏矩阵的压缩存储——三元组表

  对于稀疏矩阵的压缩存储，由于非零元素的个数远小于零元素的个数，并且非零元素的分布没有规律，无法简单地利用一维数组和映射公式来实现压缩存储。针对稀疏矩阵，通常采用特定的数据结构来进行压缩存储，以减少存储空间的占用。

  一种常见的稀疏矩阵压缩存储方法是使用"三元组"表示法，也称为COO（Coordinate）格式，只存储非零元素的值以及它们的行列坐标。通过使用三元组（Triplet）来表示非零元素的位置和值，每个三元组包含三个信息：非零元素的行索引、非零元素的列索引以及非零元素的值。

【数据结构】数组和字符串（四）：特殊矩阵的压缩存储：稀疏矩阵——三元组表

4.2.3三元组表的转置、加法、乘法、操作

【数据结构】数组和字符串（七）：特殊矩阵的压缩存储：三元组表的转置、加法、乘法操作

4.2.4十字链表

  在稀疏矩阵的十字链表中，每个非零元素都由一个节点表示。节点包含了几个字段：

  1. LEFT：指向该节点在同一行中的左邻非零元素的地址信息。
  2. UP：指向该节点在同一列中的上邻非零元素的地址信息。
  3. ROW：存储该节点在矩阵中的行号。
  4. COL：存储该节点在矩阵中的列号。
  5. VAL：存储该节点的元素值。

  每一行都有一个表头节点，它引导着该行的循环链表，循环链表中的每个节点按照列号的顺序排列。同样，每一列也有一个表头节点，它引导着该列的循环链表，循环链表中的每个节点按照行号的顺序排列。
  关于循环链表： 【数据结构】线性表（三）循环链表的各种操作（创建、插入、查找、删除、修改、遍历打印、释放内存空间）

在这里插入图片描述

  • 在稀疏矩阵的十字链表中，每一行和每一列都有一个表头节点。

    • 对于行表头节点 BASEROW[i]，其中 i 表示行号，范围从 1 到 m（矩阵的行数）。如果该行为空（即没有非零元素），则 COL(Loc(BASEROW[i])) 的值为 -1。否则，COL(Loc(BASEROW[i])) 的值为该行中最右边的非零元素的列号。

    • 对于列表头节点 BASECOL[j]，其中 j 表示列号，范围从 1 到 n（矩阵的列数）。如果该列为空（即没有非零元素），则 ROW(Loc(BASECOL[j])) 的值为 -1。否则，ROW(Loc(BASECOL[j])) 的值为该列中最下边的非零元素的行号。

  • 由于行和列都是循环链表，行表头节点 BASEROW[i] 中的 LEFT 指针循环地链接到该行最右边的非零元素，列表头节点 BASECOL[j] 中的 UP 指针循环地链接到该列最下边的非零元素。
     
     通过这种方式，可以用较少的空间表示稀疏矩阵，并且可以快速地进行行和列的遍历操作。每个节点的 LEFT 和 UP 指针可以用来定位其左邻和上邻非零元素，从而实现矩阵的访问和操作。

0. 十字链表的创建、遍历打印、销毁

【数据结构】数组和字符串（八）：稀疏矩阵的链接存储：十字链表的创建、遍历打印（按行、按列、打印矩阵）、销毁

1. 插入

void insertElement(SparseMatrix* matrix, int row, int col, int value) {if (row <= 0 || row > matrix->rows || col <= 0 || col > matrix->cols) {printf("Invalid position!\n");return;}// 创建新节点MatrixNode* newNode = (MatrixNode*)malloc(sizeof(MatrixNode));newNode->row = row;newNode->col = col;newNode->value = value;newNode->right = NULL;newNode->down = NULL;// 插入到行链表if (matrix->rowHeaders[row] == NULL || matrix->rowHeaders[row]->col > col) {// 插入到行链表的头部newNode->right = matrix->rowHeaders[row];matrix->rowHeaders[row] = newNode;} else {MatrixNode* current = matrix->rowHeaders[row];while (current->right != NULL && current->right->col < col) {current = current->right;}newNode->right = current->right;current->right = newNode;}// 插入到列链表if (matrix->colHeaders[col] == NULL || matrix->colHeaders[col]->row > row) {// 插入到列链表的头部newNode->down = matrix->colHeaders[col];matrix->colHeaders[col] = newNode;} else {MatrixNode* current = matrix->colHeaders[col];while (current->down != NULL && current->down->row < row) {current = current->down;}newNode->down = current->down;current->down = newNode;}
}
  • 检查行数和列数是否在有效范围内，如果不是，则打印错误消息并返回。
  • 创建一个新的节点，并将行、列和值存储在节点的相应字段中。
  • 在行链表中插入节点：
    • 如果当前行的行链表为空，或者当前行的行链表头节点的列大于要插入的列：
      • 将要插入的节点的右指针指向当前行的行链表头节点。
      • 将当前行的行链表头节点更新为要插入的节点。
    • 否则，遍历当前行的行链表，直到找到插入位置：
      • 将要插入的节点的右指针指向当前节点的右指针。
      • 将当前节点的右指针指向要插入的节点。
  • 在列链表中插入节点：
    • 如果当前列的列链表为空，或者当前列的列链表头节点的行大于要插入的行：
      • 将要插入的节点的下指针指向当前列的列链表头节点。
      • 将当前列的列链表头节点更新为要插入的节点。
    • 否则，遍历当前列的列链表，直到找到插入位置：
      • 将要插入的节点的下指针指向当前节点的下指针。
      • 将当前节点的下指针指向要插入的节点。

2. 查找

MatrixNode* findElement(SparseMatrix* matrix, int row, int col) {if (row <= 0 || row > matrix->rows || col <= 0 || col > matrix->cols) {printf("Invalid position!\n");return NULL;}MatrixNode* current = matrix->rowHeaders[row];while (current != NULL && current->col != col) {current = current->right;}return current;
}
  • 检查行数和列数是否在有效范围内，如果不是，则打印错误消息并返回NULL。
  • 从第一行开始遍历稀疏矩阵的每一行：
    • 通过行表头节点数组获取当前行的行链表头节点。
    • 遍历当前行的行链表，直到找到要查找的节点或遍历完整个链表。
  • 如果找到要查找的节点，则返回节点的指针；否则，返回NULL。

3. 删除

void deleteElement(SparseMatrix* matrix, int row, int col) {if (row <= 0 || row > matrix->rows || col <= 0 || col > matrix->cols) {printf("Invalid position!\n");return;}// 在行链表中删除节点MatrixNode* current = matrix->rowHeaders[row];MatrixNode* prev = NULL;while (current != NULL && current->col != col) {prev = current;current = current->right;}if (current == NULL) {printf("Element not found!\n");return;}if (prev == NULL) {matrix->rowHeaders[row] = current->right;} else {prev->right = current->right;}// 在列链表中删除节点current = matrix->colHeaders[col];prev = NULL;while (current != NULL && current->row != row) {prev = current;current = current->down;}if (prev == NULL) {matrix->colHeaders[col] = current->down;} else {prev->down = current->down;}// 释放节点内存free(current);
}
  • 检查行数和列数是否在有效范围内，如果不是，则打印错误消息并返回。
  • 在行链表中查找要删除的节点：
    • 从当前行的行链表头节点开始遍历行链表，直到找到要删除的节点或遍历完整个链表。
  • 如果找到要删除的节点：
    • 如果要删除的节点是行链表的头节点：
      • 将当前行的行链表头节点更新为要删除的节点的右指针。
    • 否则，遍历行链表，直到找到要删除的节点的前一个节点：
      • 将前一个节点的右指针指向要删除的节点的右指针。
  • 在列链表中查找要删除的节点：
    • 从当前列的列链表头节点开始遍历列链表，直到找到要删除的节点或遍历完整个链表。
  • 如果找到要删除的节点：
    • 如果要删除的节点是列链表的头节点：
      • 将当前列的列链表头节点更新为要删除的节点的下指针。
    • 否则，遍历列链表，直到找到要删除的节点的前一个节点：
      • 将前一个节点的下指针指向要删除的节点的下指针。
  • 释放要删除的节点的内存。

4. 主函数

int main() {// 创建一个3x3的稀疏矩阵SparseMatrix* matrix = createSparseMatrix(6, 6);// 插入元素insertElement(matrix, 1, 3, 5);insertElement(matrix, 1, 4, 2);insertElement(matrix, 5, 2, 1);insertElement(matrix, 5, 1, 8);insertElement(matrix, 5, 5, 7);// 打印稀疏矩阵printf("Sparse Matrix:\n");printSparseMatrix(matrix);// 查找节点MatrixNode* node = findElement(matrix, 1, 4);if (node != NULL) {printf("\nFound node: (%d, %d, %d)\n", node->row, node->col, node->value);} else {printf("\nNode not found!\n");}// 删除节点deleteElement(matrix,5,5);printf("Sparse Matrix after deletion:\n");printSparseMatrix(matrix);// 销毁稀疏矩阵destroySparseMatrix(matrix);return 0;
}

在这里插入图片描述

5. 代码整合

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>// 定义矩阵节点结构
typedef struct MatrixNode {int row;int col;int value;struct MatrixNode* right;struct MatrixNode* down;
} MatrixNode;// 定义稀疏矩阵结构
typedef struct SparseMatrix {int rows;int cols;MatrixNode** rowHeaders;MatrixNode** colHeaders;
} SparseMatrix;// 创建稀疏矩阵
SparseMatrix* createSparseMatrix(int rows, int cols) {SparseMatrix* matrix = (SparseMatrix*)malloc(sizeof(SparseMatrix));matrix->rows = rows;matrix->cols = cols;// 创建行表头节点数组matrix->rowHeaders = (MatrixNode**)malloc((rows + 1) * sizeof(MatrixNode*));for (int i = 0; i <= rows; i++) {matrix->rowHeaders[i] = NULL;}// 创建列表头节点数组matrix->colHeaders = (MatrixNode**)malloc((cols + 1) * sizeof(MatrixNode*));for (int j = 0; j <= cols; j++) {matrix->colHeaders[j] = NULL;}return matrix;
}// 销毁稀疏矩阵
void destroySparseMatrix(SparseMatrix* matrix) {if (matrix == NULL) {return;}// 释放所有节点内存for (int i = 1; i <= matrix->rows; i++) {MatrixNode* current = matrix->rowHeaders[i];while (current != NULL) {MatrixNode* temp = current;current = current->right;free(temp);}}// 释放行表头节点数组free(matrix->rowHeaders);// 释放列表头节点数组free(matrix->colHeaders);// 释放稀疏矩阵结构free(matrix);
}// 插入元素
void insertElement(SparseMatrix* matrix, int row, int col, int value) {if (row <= 0 || row > matrix->rows || col <= 0 || col > matrix->cols) {printf("Invalid position!\n");return;}// 创建新节点MatrixNode* newNode = (MatrixNode*)malloc(sizeof(MatrixNode));newNode->row = row;newNode->col = col;newNode->value = value;newNode->right = NULL;newNode->down = NULL;// 插入到行链表if (matrix->rowHeaders[row] == NULL || matrix->rowHeaders[row]->col > col) {// 插入到行链表的头部newNode->right = matrix->rowHeaders[row];matrix->rowHeaders[row] = newNode;} else {MatrixNode* current = matrix->rowHeaders[row];while (current->right != NULL && current->right->col < col) {current = current->right;}newNode->right = current->right;current->right = newNode;}// 插入到列链表if (matrix->colHeaders[col] == NULL || matrix->colHeaders[col]->row > row) {// 插入到列链表的头部newNode->down = matrix->colHeaders[col];matrix->colHeaders[col] = newNode;} else {MatrixNode* current = matrix->colHeaders[col];while (current->down != NULL && current->down->row < row) {current = current->down;}newNode->down = current->down;current->down = newNode;}
}// 删除元素
void deleteElement(SparseMatrix* matrix, int row, int col) {if (row <= 0 || row > matrix->rows || col <= 0 || col > matrix->cols) {printf("Invalid position!\n");return;}// 在行链表中删除节点MatrixNode* current = matrix->rowHeaders[row];MatrixNode* prev = NULL;while (current != NULL && current->col != col) {prev = current;current = current->right;}if (current == NULL) {printf("Element not found!\n");return;}if (prev == NULL) {matrix->rowHeaders[row] = current->right;} else {prev->right = current->right;}// 在列链表中删除节点current = matrix->colHeaders[col];prev = NULL;while (current != NULL && current->row != row) {prev = current;current = current->down;}if (prev == NULL) {matrix->colHeaders[col] = current->down;} else {prev->down = current->down;}// 释放节点内存free(current);
}// 查找节点
MatrixNode* findElement(SparseMatrix* matrix, int row, int col) {if (row <= 0 || row > matrix->rows || col <= 0 || col > matrix->cols) {printf("Invalid position!\n");return NULL;}MatrixNode* current = matrix->rowHeaders[row];while (current != NULL && current->col != col) {current = current->right;}return current;
}// 打印稀疏矩阵
void printSparseMatrix(SparseMatrix* matrix) {for (int i = 1; i <= matrix->rows; i++) {MatrixNode* current = matrix->rowHeaders[i];for (int j = 1; j <= matrix->cols; j++) {if (current != NULL && current->col == j) {printf("%d ", current->value);current = current->right;} else {printf("0 ");}}printf("\n");}
}int main() {// 创建一个3x3的稀疏矩阵SparseMatrix* matrix = createSparseMatrix(6, 6);// 插入元素insertElement(matrix, 1, 3, 5);insertElement(matrix, 1, 4, 2);insertElement(matrix, 5, 2, 1);insertElement(matrix, 5, 1, 8);insertElement(matrix, 5, 5, 7);// 打印稀疏矩阵printf("Sparse Matrix:\n");printSparseMatrix(matrix);// 查找节点MatrixNode* node = findElement(matrix, 1, 4);if (node != NULL) {printf("\nFound node: (%d, %d, %d)\n", node->row, node->col, node->value);} else {printf("\nNode not found!\n");}// 删除节点deleteElement(matrix,5,5);printf("Sparse Matrix after deletion:\n");printSparseMatrix(matrix);// 销毁稀疏矩阵destroySparseMatrix(matrix);return 0;
}

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