假设函数定义
假设函数，猜一个 x->y 的类型，比如 y = ax + b，随后监督学习的任务就是找到误差最低的 a 和 b 参数

有时候我们可以定义 x0 = 1，来让假设函数的整个表达式一致统一

如上图是机器学习中的一些术语

额外的符号，使用 (xi, yi) 表示第 i 个样本

n 表示特征数量 （在房屋价格预测问题中，属性/特征有两个：房子面积和卧室数量，因此这里 n = 2）

监督学习的过程就是选择合适的参数，来让假设函数的输出和样本输出相近（针对训练集）

房屋预测案例中的目标函数，最小化误差平方和

我们通常会在目标函数旁边放个 1/2，这是为了后边简化求导计算

我们通常使用梯度下降法来选取更加合适的 theta参数 来优化目标函数，如上图是梯度下降法中的 “baby step”

这里的 阿尔法 就是学习速率

如图，是对目标函数的求导 （由于对几个项的和求导，等于它们的导数和，所以这里我们先不 care 那个 sum(sigma) 符号）

如图，是对求导公式的后续转换

如图，这是对目标函数求导的最终公式的其中一项 （这里只对 theta_j 求导）

这也是最后统合得到的求导公式，对每一个样本 i 进行针对 theta_j 的求导

接下来要做的就是，重复 updating theta_j，直到目标函数收敛

由于我们的目标函数对于每个 theta_j 都是二次函数，所以这是一个凸函数，它是一个大碗，它只有一个全局最优

也可以用等高线图来表示

运用高中的一些数学知识，你会发现，最陡的防线和等高线（椭圆）的切线是90度

调试学习率的一些经验：
如果你发现目标函数在增加而不是减少，那通常说明学习率太大了（超调）
可以尝试 O1, O2， O4, O8 尝试不同的值

另一种可视化学习过程的方式是，看到曲线（假设函数）一点点变化

刚刚提到的机器学习方法中，梯度下降需要用到训练集中所有的样本，来计算梯度（所以也叫批量梯度下降法）。在训练集很大的情况下，这会变得昂贵，因此我们需要做些改变

另一种快得多的方式是随机梯度下降法，它遍历每一个样本 i，随后针对这单个样本对所有的 theta_j 做梯度下降

（原先的方法中，我们每做一个 tiny step 都需要扫描一次所有的样本；而 SGD 中，我们每走一个 step 只需要扫描一个样本，因此快得多）

一个更直观的解释 SGD 的方式是，一开始我的 theta 参数是随机的，然后我看到了第一个样本 x1，随后我针对这个 x1 修改的我 theta，接着我看到了 x2，我再针对 x2 修改我的 theta。在等高线图中，你可能会看到，参数并没有沿着 90 度的方向下降，而是以一种更曲折的方式下降

SGD 通常不会收敛，它会振荡

还有一种下降方法是“小批量梯度下降法”，一次遍历100个样本

还有一种实践中的方法（一点点减少学习速率）

线性回归没有局部最优（在它的目标函数是误差平方和时），只有全局最优。所以，实际上你可以使用一个矩阵去表示它的参数，求cost function(目标函数）对于 参数矩阵的求导，随后让导数 = 0，求这个位置上的导数矩阵，即可直接得到全局最优解。这也叫做正态方程，这个方法仅适用于线性回归

根据吴恩达的推导，正态方程，也就是最终最优的 theta 可以通过这么一个公式求出来

如果发现 X 不可逆，那么通常意味着有多余的 features，你有某些 features 是线性相关的，你可以使用伪逆，或者找出哪些特征是线性相关的

关于怎么选择学习率：这非常依赖经验，通常我们尝试许多个不同的值，然后选择一个