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引言

高数一篇文章还是写不太下，再分一些到这里来吧

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一、高数

级数

阿贝尔定理：若级数 $\sum a_n{x}^n$ 当 $x=x_0$ 时收敛，则适合不等式 $|x|<|x_0|$ 的一切 $x$ 都使得该幂级数绝对收敛；反之，若级数 $\sum a_n{x}^n$ 当 $x=x_0$ 时发散，则适合不等式 $|x|>|x_0|$ 的一切 $x$ 都使得该幂级数发散。

注意，阿贝尔定理未给出 $x=-x_0$ 时的敛散性，而且最后算收敛域时的两个端点要单独判定。当已知一个幂级数在某点处收敛时，就可以得到一个收敛范围。

对于缺项的幂级数，如 $\sum a_n{x}^{2n-1}$ ，一般把幂级数的一般项看成常数项级数 $u_n=a_n{x}^{2n-1}$ ，然后根据比值判别法 $|u_{n+1}/u_n|<1$ 计算出收敛半径。

幂级数 $\sum a_n{x}^n$ 的收敛半径 $R$ 的计算方法为：$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho ,or\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}=\rho$$ $$R=\{\begin{array}{ll}1/\rho & ,\rho \ne 0,+\infty \\ +\infty & ,\rho =0\\ 0& ,\rho =+\infty \end{array}$$ 区间 $(-R,R)$ 称为幂级数的收敛区间，一定是开区间，而收敛域有可能有闭有开。

空间解析几何

1. 平面

平面的一般式方程：$Ax+By+Cz=D$ ，其中 n → = { A , B , C } \overrightarrow{n}=\{A,B,C\} n ={A,B,C} 为法向量。点法式为平面上找一点，截距式为三轴交点，三点式为找三点，用叉乘求出法向量。

2. 空间直线

一般式方程是两个平面交线，对称式是找一点和方向向量，还有参数式。

点 $M_1(x_1,y_1,z_1)$ 到空间直线 $L:(x-x_0)/m=(y-y_0)/n=(z-z_0)/p$ 的距离公式：$$d=\frac{|s\times \overrightarrow{M_1{M}_0}|}{|s|}$$ 其中，$M_0(x_0,y_0,z_0),s=(m,n,p)$ 。

点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离为 $$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

球坐标变换公式

$r$ 表示几何体上一点到原点距离，从原点引一条射线看范围；$\theta$ 表示 $r$ 在 $xOy$ 平面的投影直线与 $x$ 轴正向的夹角，范围是 $[0,2\pi ]$；$\phi$ 表示和 $z$ 轴正向夹角，范围是 $[0,\pi ]$ ，想象喇叭开花。

变换公式为 $$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \sin \phi \\ y=r\sin \theta \sin \phi \\ z=r\cos \phi \end{array},dxdydz=r^2\sin \phi drd\theta d\phi .$$

零碎公式

关于 $\sec x,\csc x$ 的不定积分：$$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C,\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$$

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写在最后