1. 原型聚类
原型聚类也称为“基于原型的聚类” (prototype-based clustering)，此类算法假设聚类结构能通过一
组原型刻画。算法过程：通常情况下，算法先对原型进行初始化，再对原型进行迭代更新求解。著
名的原型聚类算法：k均值算法、学习向量量化算法、高斯混合聚类算法。
给定数据集
，k均值算法针对聚类所得簇划分
，最
小化平方误差：
其中，
是簇
的均值向量。值在一定程度上刻画了簇内样本围绕簇均值向量的紧密程度，值越
小，则簇内样本相似度越高。
1.1 K均值
K均值算法：算法流程（迭代优化）：初始化每个簇的均值向量，repeat：（更新）簇划分；计算
每个簇的均值向量，until：当前均值向量均未更新。
算法伪代码：
k均值算法实例：
接下来以表9-1的西瓜数据集4.0为例，来演示k均值算法的学习过程。将编号为i的样本称为
假定聚类簇数k =3，算法开始时，随机选择3个样本
作为初始均值向量，即
考察样本
，它与当前均值向量
，的距离分别为0.369，0.506，
0.166，因此
将被划入簇
中。类似的，对数据集中的所有样本考察一遍后，可得当前簇划分
为
于是，可以从分别求得新的均值向量：
不断重复上述过程，如下图所示。
聚类结果：
1.2 学习向量量化
学习向量量化（Learning Vector Quantization, LVQ）：
与一般聚类算法不同的是，LVQ假设数据样本带有类别标记，学习过程中利用样本的这些监督信息
来辅助聚类。给定样本集
，LVQ的目标是学得一组n维
原型向量
，每个原型向量代表一个聚类簇。常用于发现类别的“子类”结构。
聚类效果：
1.3 高斯混合聚类
与k均值、LVQ用原型向量来刻画聚类结构不同，高斯混合聚类 （Mixture-of-Gaussian）采用概率
模型来表达聚类原型：
多元高斯分布的定义：
对n维样本空间中的随机向量x，若x服从高斯分布，其概率密度函数为
其中
是n维均值向量， 
是
的协方差矩阵。也可将概率密度函数记作
。
高斯混合分布的定义：
该分布由K个混合分布组成，每个分布对应一个高斯分布。其中，
与
是第
个高斯混合成分的参数。而
为相应的“混合系数”，且
。
假设样本的生成过程由高斯混合分布给出：首先，根据a1，a2，···，ak定义的先验分布选择高斯
混合成分，其中ai为选择第i个混合成分的概率；然后，根据被选择的混合成分的概率密度函数进行
采样，从而生成相应的样本。
模型求解：最大化（对数）似然
令
得
，令
得
聚类结果：
2. 密度聚类
密度聚类也称为“基于密度的聚类” (density-based clustering)。此类算法假设聚类结构能通过样本
分布的紧密程度来确定。通常情况下，密度聚类算法从样本密度的角度来考察样本之间的可连接
性，并基于可连接样本不断扩展聚类簇来获得最终的聚类结果。接下来介绍DBSCAN这一密度聚
类算法。
DBSCAN算法：基于一组“邻域”参数
来刻画样本分布的紧密程度。
基本概念：
邻域：对样本
，其
邻域包含样本集D中与
的距离不大于的样本；
核心对象：若样本
的邻域至少包含MinPts个样本，则该样本点为一个核心对象；
密度直达：若样本位于样本
的邻域中，且是一个核心对象，则称样本由密度直
达；
密度可达：对样本与，若存在样本序列
，其中
，且
由
密度直达，则该两样本密度可达；
密度相连：对样本与，若存在样本 使得两样本均由
密度可达，则称该两样本密度相
连。
一个例子：令MinPts＝3，则虚线显示出邻域。x1是核心对象。x2由x1密度直达。x3由x1密度可
达。x3与x4密度相连。
对“簇”的定义：由密度可达关系导出的最大密度相连样本集合。
对“簇”的形式化描述：给定领域参数，簇是满足以下性质的非空样本子集：连接性：
xi与xj密度相连，最大性：
，xi与xj密度可达
BBSAN算法伪代码：
聚类效果：
3. 层次聚类
层次聚类在不同层次对数据集进行划分，从而形成树形的聚类结构。数据集划分既可采用“自底向
上”的聚合策略，也可采用“自顶向下”的分拆策略。
AGNES算法（自底向上的层次聚类算法）：首先，将样本中的每一个样本看做一个初始聚类簇，
然后在算法运行的每一步中找出距离最近的两个聚类簇进行合并，该过程不断重复，直到达到预设
的聚类簇的个数。
两个聚类簇
和
的距离，可以有3种度量方式。
最小距离：
最大距离：
平均距离：
AGNES算法树状图：
AGNES算法伪代码：
AGNES算法聚类效果：
