【等差数列
$⟹$ 通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d=a_m+(n-m)d=nd+a_1-d=An+B$ $⟹$ $A=d，B=a_1-d$
$⟹$ 求和公式：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_{\frac{n+1}{2}}（n为偶数时，可虚拟小数）=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n=C{n}^2+Dn$ $⟹$ $C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2}$
其中，
$S_n=n{a}_{\frac{n+1}{2}}$ $⟹$ 相同的奇数项和之比$\frac{a_k}{b_k}$=$\frac{S_{2k-1}}{T_{2k-1}}$
$S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$ $⟹$ 对称轴为$n=-\frac{a_1-\frac{d}{2}}{2\times \frac{d}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d}$，最值取在最靠近对称轴的整数处
$⟹$下标和：＋
$⟹$连续等长片段和/前n项和：新公差为$d{n}^2$
$⟹$ 偶数项和与奇数项和之比：
若等差数列一共有$2n$项，则$S_{偶}-S_{奇}=nd，\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$。
若等差数列一共有$2n—1$项，则$S_{奇}-S_{偶}=a_{n+1}$，$\frac{S_{奇}}{S_{偶}}=\frac{n}{n-1}$，$S_{2n-1}=S_{奇}+S_{偶}=(2n-1)a_n$
$⟹$ $a_n$与$S_n$的快速转换：$S_n$的二次项系数是$a_n$一次项系数的一半，$a_n$的一次项系数是$S_n$二次项系数的二倍
$⟹$ 轮换对称性
$⟹$ 判定等差数列：①定义法：$a_n-a_{n-1}=d$;②通项形如$a_n=An+B$;③前n项和形如$S_n-C{n}^2+Dn$】
类比记忆法：牢记等差，引出等比
【等比数列
$⟹$ 通项公式：$a_n=a_1{q}^{n-1}=a_m{q}^{n-m}=a_k{q}^{n-k}=\frac{a_1}{q}{q}^n$
$⟹$ 前n项和公式：当q=1时，$S_n=n{a}_1；当q\ne 1时，S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_{n}q}{1-q}=\frac{a_1-a_{n+1}}{1-q}$
$⟹$下标和：×
$⟹$ 连续等长片段和：新公比为$q^n$
$⟹$ 偶数项和与奇数项和之比：
若等比数列一共有$2n$项，则$\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=q$。
若等比数列一共有$2n一1$项，则$S_{奇}$与$S_{偶}$之间的关系无规律。】

【莫名巧合：等差数列
通项公式：$a_n=An+B$ $⟹$ $A=d，B=a_1-d$
求和公式：$S_n=C{n}^2+Dn$ $⟹$ $C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2}$
所以记住，$A=d，B=a_1-d，C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2}，验证：A+B=C+D$】

【递推数列
$⟹$类等差数列$⟹$累加法$⟹$形如$a_{n+1}=a_n+f(n)或a_{n+1}-a_n=f(n)$$⟹$写出若干项，再相加求解。
$⟹$类等比数列$⟹$累乘法$⟹$$a_{n+1}=a_n\cdot f(n)或\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$$⟹$写出若干项，再相乘求解。
$⟹$构造等差数列$⟹$满足$b_{n+1}-b_n=常数$$⟹$结论1：当看到$a_{n+1}=\frac{a_n}{c{a}_n+1}$，那么{$\frac{1}{a_n}$}为等差数列；结论2：当看到$a_{n+1}=q{a}_n+q^n$，两边同时除以$q^{n+1}$来构造等差数列。
$⟹$构造等比数列$⟹$满足$\frac{b_{n+1}}{b_n}=常数$$⟹$结论1：当看到$a_{n+1}=q{a}_n+c$时，转化为$a_{n+1}+k=q(a_n+k)$，其中$k=\frac{c}{q-1}$，构造等比数列即可。或者，类一次函数，$a_{n+1}=A\cdot a_n+B$，构造等比数法，$b_n=a_n+\frac{B}{A-1}$。结论2：当看到$a_{n+1}=A{a}_n+Bn+C$型，可化成$a_{n+1}+p(n+1)+q=A(a_n+pn+q)$的形式来求通项。
$⟹$没上述特点，列举前面若干项，寻找规律】

数列

2023

真题（2023-18）-代数-数列-等比数列-性质-递增需要$a_1＞1，q＞1$；-代数-方程-一元二次方程-根-因式分解

真题（2023-24）-代数-数列-等比数列-$a_n$与$S_n$的关系（重要）

2022

有趣，2022年跟等比中项杠上了

真题（2022-19）-代数-数列-等比数列-出现“三个数”-等比中项；-几何-平面几何

19.在△ 𝐴𝐵𝐶 中，𝐷 为 𝐵𝐶 边上的点， 𝐵𝐷 、 𝐴𝐵 、𝐵𝐶成等比数列，则 ∠𝐵𝐴𝐶 = 90°。
（1）𝐵𝐷 = 𝐷𝐶。
（2） 𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐶。

真题（2022-21）-代数-数列-等比数列-出现“三个数”，用等比中项-$ac=b^2$；-代数-几何-平面几何-三角形-勾股定理

21.某直角三角形的三边长 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 成等比数列，则能确定公比的值。
（1）𝑎 是直角边长。
（2）𝑐 是斜边长。

真题（2022-23）-代数-数列-等比数列-出现“三个数”，用等比中项；+代数-函数-一元二次函数

23.已知𝑎，𝑏为实数，则能确定𝑎的值。
（1）𝑎，𝑏，𝑎 + 𝑏成等比数列。
（2）𝑎(𝑎 + 𝑏) > 0。

真题（2022-24）-代数-数列-等差数列-判定等差数列：①定义法：$a_n-a_{n-1}=d$;②通项形如$a_n=An+B$;③前n项和形如$S_n-C{n}^2+Dn$；-代数-数列-递推数列-形如$a_{n+1}=a_n+f(n)或a_{n+1}-a_n=f(n)$，称为类等差数列，可以写出若干项，再相加求解。=先写出若干项，再用累加法求解。

24.已知正数列{$a_n$}，则{$a_n$}是等差数列。
（1）$a_{n+1}^2-a_n^2=2n,n=1,2,...$。
（2）$a_1+a_3=2a_2$。

2021

真题（2021-02）-代数-数列-等差数列-出现“三”，用等差中项，2b=a+c；-前10题特值法、设未知数

2.三位年轻人的年龄成等差数列，且最大与最小的两人年龄差的10倍是另一人的年龄，则三人中年龄最大的是( )。
A.19
B.20
C.21
D.22
E.23

真题（2021-24）-代数-数列-等比数列-等比数列判定-特征判断法-

24.已知数列{$a_n$}，则数列{$a_n$}为等比数列。
（1）$a_n{a}_{n+1}＞0$。
（2）$a_{n+1}^2-2a_n^2-a_n{a}_{n+1}=0$。

真题（2021-25）-代数-数列-等差数列和等比数列；-几何-平面几何-三角形-相似；这种纯文字题，需要设未知数，但是很麻烦

25.给定两个直角三角形，则这两个直角三角形相似。
（1）每个直角三角形边长成等比数列。
（2）每个直角三角形边长成等差数列。

2020

真题（2020-05）-代数-数列-等差数列-最值-等差数列的前n项和可以整理成一元二次函数的形式：$S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$，对称轴为$n=-\frac{a_1-\frac{d}{2}}{2\times \frac{d}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d}$，最值取在最靠近对称轴的整数处。or-莫名巧合：等差数列-通项公式：$a_n=An+B$ $⟹$ $A=d，B=a_1-d$；求和公式：$S_n=C{n}^2+Dn$ $⟹$ $C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2}$，所以记住，$A=d，B=a_1-d，C=\frac{d}{2}，D=a_1-\frac{d}{2}，验证：A+B=C+D$

5、若等差数列{$a_n$} 满足$a_1=8$，且$a_2+a_4=a_1$，则{$a_n$} 的前n 项和的最大值为（ ）
A.16
B.17
C.18
D.19
E.20

最值：
1.等差数列前n项和$S_n$有最值的条件
（1）若$a_1<0，d>0$时，$S_n$有最小值。
（2）若$a_1>0，d<0$时，$S_n$有最大值。
2.求解等差数列$S_n$最值的方法
（1）一元二次函数法
等差数列的前n项和可以整理成一元二次函数的形式：$S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$，对称轴为$n=-\frac{a_1-\frac{d}{2}}{2\times \frac{d}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d}$，最值取在最靠近对称轴的整数处。
特别地，若$S_m=S_n$，即$S_{m+n}=0$时，对称轴为$\frac{m+n}{2}$。
（2）$a_n=0$法
最值一定在“变号”时取得，可令a=0，则有
① 若解得n为整数，则$S_n=S_{n-1}$均为最值。例如，若解得n=6，则$S_6=S_5$为其最值。
② 若解得n为非整数，则当n取其整数部分m（m=[n]）时，$S_m$取到最值。例如，若解得n=6.9，则$S_6$为其最值。

真题（2020-11）-代数-数列-递推数列-没特点，列举若干项，找周期；类等差数列，累加法；类等比数列，累乘法。

11、已知数列{$a_n$}满足$a_1=1$，$a_2=2$，且$a_{n+2}=a_{n+1}-a_n(n=1,2,3,...)$，则$a_{100}$=（ ）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
E.0

2019

真题（2019-15）-代数-数列-递推公式-构造等比数列-结论1：当看到$a_{n+1}=q{a}_n+c$时，转化为$a_{n+1}+k=q(a_n+k)$，其中$k=\frac{c}{q-1}$，构造等比数列即可。

-秒杀：复杂选项（选多法）：复杂选项可秒杀，按多的选（选多法），选项哪些因素出现多，就选哪些（90%准确率）1、99多，排除选项DE；2、-1，+1多，排除选项B。结果只能是A,C。看题干a1=0，C任何情况的不为0，所以选A。
15、设数列{$a_n$}满足$a_1=0,a_{n+1}-2a_n=1$，则$a_{100}=$（）
A.$2^{99}-1$
B.$2^{99}$
C.$2^{99}+1$
D.$2^{100}-1$
E.$2^{100}+1$

秒杀：复杂选项（选多法）：复杂选项可秒杀，按多的选（选多法），选项哪些因素出现多，就选哪些（90%准确率）1、99多，排除选项DE；2、-1，+1多，排除选项B。结果只能是A,C。看题干a1=0，C任何情况的不为0，所以选A。

真题（2019-16）-代数-数列-等比数列-数列的判定-

16、甲、乙、丙三人各自拥有不超过10本图书，甲再购入2本图书后，他们拥有的图书量构成等比数列，则能确定甲拥有图书的数量。
(1) 已知乙拥有的图书数量。
(2) 已知丙拥有的图书数量。

真题（2019-25）-代数-数列-等差数列-数列判定-特征判断法-$S_n$的特征：形如一个没有常数项的一元二次函数：$S_n=C{n}^2+Dn$（C,D为常数）

25、设数列{$a_n$}的前n项和为$S_n$，则{$a_n$}等差。
（1）$S_n=n^2+2n,n=1,2,3$。
（2）$S_n=n^{+}2n+1,n=1,2,3$。

2018

真题（2018-07）-代数-数列-等比数列-无穷等比数列

7.四边形$A_1{B}_1{C}_1{D}_1$是平行四边形，$A_2{B}_2{C}_2{D}_2$是$A_1{B}_1{C}_1{D}_1$四边的中点，$A_3{B}_3{C}_3{D}_3$分别是$A_2{B}_2{C}_2{D}_2$四边中点，依次下去，得到四边形序列$A_n{B}_n{C}_n{D}_n$(n = 1、2、3…) ，设$A_n{B}_n{C}_n{D}_n$面积为$S_n$，且$S_1=12$，则 $S_1+S_2+S_3+...=（）$
A.$16$
B.$20$
C.$24$
D.$28$
E.$30$

真题（2018-17）-B-代数-数列-等差数列-求和公式：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_{\frac{n+1}{2}}（n为偶数时，可虚拟小数）=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$

17.{$a_n$}等差数列，则能确定$a_1+a_2+...+a_9$的值。
（1）已知$a_1$的值。
（2）已知$a_5$的值。

2017

真题（2017-03）-代数-数列-等差数列-出现“三”-等差中项-数列应用题

3.甲、乙、丙三种货车载重量成等差数列，2 辆甲种车和 1 辆乙种车的满载量为 95 吨，1辆甲种车和 3 辆丙种车载重量为 150 吨，则用甲、乙、丙各一辆车一次最多运送货物为（ ）吨。
A.125
B.120
C.115
D.110
E.105

2016

真题（2016-24）-代数-数列-递推公式-直接计算法-举反例

24.已知数列$a_1,a_2,a_3,...,a_{10}$，则$a_1-a_2+a_3-...+a_9-a_{10}\ge 0$
（1）$a_n\ge a_{n+1},n=1,2,...,9$
（2）$a_n^2\ge a_{n+1}^2,n=1,2,...,9$

2015

真题（2015-20）-E-代数-数列-等差数列

20.设{$a_n$}是等差数列，则能确定数列{$a_n$}。
（1）$a_1+a_6=0$
（2）$a_1{a}_6=-1$

真题（2015-23）-代数-数列-等差数列-前n项和的最值-若$a_1<0，d>0$时，$S_n$有最小值。

23.已知数列{$a_n$}是公差大于零的等差数列，{$S_n$}是{$a_n$}的前n 项和。则$S_n\ge S_{10}，n=1,2,...$
（1）$a_{10}=0$
（2）$a_{11}{a}_{10}＜0$

2014

真题（2014-07）-代数-数列-等差数列-出现“三”，用等差中项-

7.已知{$a_n$}为等差数列，且$a_2-a_5+a_8=9$ ，则$a_1+a_2+...+a_9=（）$
A.27
B.45
C.54
D.81
E.182

真题（2014-18）-代数-数列-等差数列&等比数列-既是等差数列又是等比数列的数列是非零的常数列

18.甲、乙、丙三人的年龄相同
（1）甲、乙、丙的年龄成等差数列
（2）甲、乙、丙的年龄成等比数列

真题（2014-21）-A-代数-数列-等差数列；-方程-一元二次方程-判别式-$△=b^2-4ac$

21.方程 $x^2+2(a+b)x+c^2=0$ 有实根。
（1） a, b, c 是一个三角形的三边长。
（2）实数a, b, c 成等差数列。

2013

真题（2013-13）-代数-数列-等差数列-下标和公式；-代数-方程-一元二次方程-韦达定理-$x_1+x_2=-b/a$

13.已知{$a_n$}为等差数列，若$a_2$和$a_{10}$是方程$x^2-10x-9=0$的两个根，则$a_5+a_7=$（ ）。
A.$-10$
B.$-9$
C.$9$
D.$10$
E.$12$

真题（2013-25）-代数-数列-递推公式-难度升级-中间段才出现周期

25.设$a_1=1,a_2=k,...,a_{n+1}=|a_n-a_{n-1}|,(n\ge 2)$ ，则$a_{100}+a_{101}+a_{102}=2$
（1） $k=2$
（2）k 是小于 20 的正整数